离散数学习题整合.docx
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离散数学习题整合
CHOI复习j
§1.2
1.命题判断（每空1分，共4分）1.1-1.3P32-
A小李和小王是同班同学B小猪不是鲜花C3-2n<0D若2+2=4,则太阳从
西方升起。
上述语句中，—是简单命题，—不是命题，—是符合命题且真值为假，_是符合命题且真值为真。
（参考答案：
ACDB）
2.命题符号化（每空2分，共4分）习题1.5（7）（3）P32-
P：
天下人雨，q：
他乘公共汽车去上班，命题“除非天下大雨，否则他不乘公共汽车去上班”可符号化为—o（参考答案：
q-p必要条件为后件）
r：
天很冷，s：
老李来了，命题“虽然天很冷，老李还是来了”可符号化为_,（参考答案rAs）
3.五个真值表（每空2分，共4分）习题1.6
（2）（4）P32-
设P的真值为0,r的真值为1,q、s都是命题，则命题公式（3or）人Jqvs）的真值为,命题公式->3v（qCr人「p〉））tCrv「s）的真值为。
（参考答案：
0,1）
4.用符号p、q填空。
（每空1分，共4分）朕本概念
设p：
x>0（其中x是整数），q：
太阳从西方升起，则_是命题，_是命题变项，是命题常项，_不是命题。
（参考答案：
q，p,q,p）
5.命题符号化，相容或与排斥或
设r：
现在小李在图书馆，s：
现在小李在学生宿舍，则“现在小李在图书馆或学生宿舍”可符号化为—。
（参考答案：
B）
ArVsB（rA-'sJV（"YAs）CrAsD（rA-'s）或（~yAs）
§1.2命题公式及分类
已知：
A是含三个命题变项的命题公式，且A（001）=0,A（100）=l,则A是o（D）
A矛盾是B可满足式C重言式D非重言式的可满足式
§1.3等值演算
用等值演算法证明等值式：
（p/\q）f中〜（q-r）.（演算的每一步都要写依据）
§1.4范式
6.（每项1分，共4分）已知命题公式A（p,q）的真值表
P
q
A（p,q）
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
求A的永主析取范式、主合取范式、成真赋值和成假赋值。
（参考答案：
miVm3,M0AM2,
01、11,00、10）
7.（2分）命题公式B（p,qj）=（「p/\r7\「q）的主析取范式是。
（参考答案：
C）
Am2BM6CmiDM5E
命题公式B（pzq,r）=（-pV-qVr）W主析取范式是。
（参考答案：
A）
AmoVmiVm2Vm3Vm4Vm5Vm7BIVkCmiDMi
§1.5全功能集（2分）
不是联结词全功能集。
（参考答案：
D）
A{t}B{--*}C{-V}D{A,V}
是联结词全功能集。
（参考答案：
A）
A{l,}B{V,A}C{V}D{A}
§1.6组合电路
（习题1.16）有一盏灯由三个开关控制，要求按任何一个开关都能使灯由黒变亮或由亮变黑,试设计这样的一个电路。
（解题基本步骤：
状态设置、设计真值表、写主析取范式、化简、绘制电路.答案不唯一）
§1.7推理理论
（习题1.19
（1））用直接证明法或归谬法证明下面的推理.
前提：
■'（pA^q）,「qVr,~T.结论：
~p-
证明：
...
（习题1.19⑶）用直附加前提法证明卞面的推理.
前提：
P~*q.结论：
P-*（pAq）.
证明：
...
（例题1.28）公安人员审查一件盗窃案，已知事实如下：
（1）李或王盗窃了录音机；
（2）若李盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前;
（3）若王的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；
（4）若王的证词不正确，则作案时间发生在午夜前：
（5）午夜时屋里灯光灭了.
试问盗窃录音机的是李还是王，并证明你的结论。
参考答案：
王盗窃了录音机.
设p：
李盗窃了录音机；
q：
王盗窃了录音机；
r：
作案时间发生在午夜前；
s：
王的证词正确；
t：
午夜时屋里灯光灭了.
前提：
pVq,pf~T,s-*t,飞~*「，飞.结论：
q.证明：
...
CH02复习题
§2.1例2.1（3）
1将命题“若李一的成绩比王二高，王二的成绩比吴三高，那么李一的成绩比吴三高”用0元谓词符号化。
解：
设H（x,y）：
x的成绩比y高，a：
李一，b：
王二，c:
吴三
则命题可符号化为H（a,b）AH（b,c）H（a,c）
§2.1例2.4（4）
2在一阶逻辑中将命题“素数不全是奇数”符号化。
解：
设F（x）：
x是素数，G（x）：
x是奇数
则命题可符号化为x（F（x）AG（x））
或x（F（x）G（x））
3（每空1分，共4分）
给定解释I，对一阶逻辑合式公式中每个出现的指定中的一
个元素，称作在下的赋值。
（自由个体变项个体域解释I）
§2.2
4下面的一阶逻辑合式公式不是闭式。
（D有自由出现）
Ax（F（x）G（X））By（F（x,y）G（x））CxF（x）yG（y）DxF（x,y）yG（y）§2.2
5下面各种叙述，不正确。
（C例2.8（5））也町改造成正误判断题
A在给定的解释和赋值卞，任何一阶逻辑合式公式都是命题VP45-
B闭公式的真值与赋值无关，只需要给定解释
C非闭式的公式的真值只与赋值有关
D可满足式可能是逻辑有效式§2.3
6在四个合式公式（尸（x）T（G（y）/\〃（尤y）））、Vx（尸（x）T3y（G（y）人〃（x,y）））、
V4（F3"（x））、「丑（尸323）中共有个是前束范式。
（参考答案：
A）
A2B3C1D0
（*参考答案:
B）
7已知F（x）亠>王丫（必3人F（x））,Gi（x）二Vxr（MCy）a尸3）,G：
（x）二v->F（af））,
G3（x）*xW3t「F3）,则在G：
（x）、G,x）和Gs（x）中，有个是F（x）的前束范式。
A0B3C2D1
例2.11（3）
8求公式xF（x）G（x）的前束范式。
解：
xF（x）G（x）
xF（x）xG（x）（蕴涵等值式）
xF（x）xG（x）（量词否定等值式）xF（x）G（x））（量词分配等值式）解法2：
xF（x）G（x）
xF（x）yG（y）（换名规则）x（F（x）yG（y））（量词扩TH2.2
（2）③）xyF（x）G（y））（量词扩TH2.2⑵④）
解法3：
xF（x/）G（x）F（y）G（x））
§2.4例2.17
设个体域D={a,b}t消去公式x（F（x）AyG（y））中的量词。
离散CH03复习题
判断（1分/每小题）
若集合A={1,{1,2},3},则2A（X）
若集合B={2,{a,b}},则{a,b}B（X）
单选（2分/每小题）
下面的集合算式不正确。
（VA=.-.C）
AA-（BUC）=A-B）U（A-C）BA_B=AA〜BCA二ADABA-B=
已知B={{a,b},c},则|P（A）|=.（VP（A）={,{c},{{a,b}},B},AA）
A|{,{c},{{a,b}},B}|B2C3D8
填空（2分/每小题）
若|P（A）|=128,则|A|=.（V|P（A）|=27/A7）
设A={lz33}>贝'J|A|=.VA={1,3}»・・・2）
计算（8分/每小题）
某班有48个学生，第一次作业优秀7人，第二次作业优秀6人，两次作业都没得优秀的
41人，求两次作业都得优秀的人数。
（求解过程参见[例3.12],参考答案：
6）
解：
用A、B分别表示第一次和第二次作业优秀的人数集合，E为某班全体学生的集合
则：
|E|=48,|A|=7,|B|=6,|〜AC〜B|=41
|〜AC〜B|=|E卜（|A|+|B|）+|ADB|
|ADB|=41-48+（7+6）
=6
己知A二{{a,b},c,d},B={c,d},计算ADB、AUB、A-B、AB。
（P74-3.13（l））
画图
画（AC〜B）U（C-B）的文氏图。
（3.15（3））
证明：
（AC〜B）U
（C-B）=（AUC）一B
证：
左式二（AC〜B）=（AUC）Cl〜B=（AUC）-B
U（CH〜B）（3.27/差交运算转换）
（3.8/分配律）
（3.27/差交运算转换）
离散CH04复习J
判断（1分/每小题）
§4.1
1.A是任意集合，则AXA的任何子集称作A上的二元关系，（V）
2.若集合B={2,{a,b}},则{a,b}B（X）
单选（2分/每小题）
§4.1
3.A是任意集合，{〈x,x>|xA}称作关系。
（•・•恒等关系蕴含其是A上的・・・B）
A空B恒等C全域DA上的
4.设A={a,b,c}»R={,,,,,},则是
R的关系矩阵。
（参见P80-,参考答案：
（A）
BCD
设S={1,2,3,4},R是S上的关系，其关系矩阵是，R的关系图中有_个环。
A1B3C6D7
填空（2分/每小题）
§4.1
6.A、B是任意两个集合，若|A|=m,|B|=n,贝lJ|P（AXB）|=。
（）
7.设A是任意集合，|A|=n,则A上有个不同的二元关系。
（,|AXA|=n2）
§4.5
8.R是集合A上的等价关系，如果有序对R,则记作。
（a〜b）
9.若R是集合A上的偏序关系，则可将此偏序关系简记作;有序对,可记作o（ab）
计算（8分/每小题）
§4.2
10.己知关系R={<2,{2}>,<{2},{2,{2}}>},求RR、R{2}、R[{2}].（同例4.7理解定义4.9）解：
RR={<2,{2,{2}}>}
R⑵={<2,{2}>}限制
R[{2}]=ran（R{2}）=ran{<2,{2}>}={{2}}像集
11.已知人*,b,c,d},Ri和R2是A上的关系，且Rx={,,},
R2={,,,}。
求R2R1。
解：
VRiR2,R2Ri
RiRiR2,・°・R2Ri
故R2Ri={,证明题
综合：
§1等值公式和等值运算+§3集合运算+§4关系性质的定义
12.设集合A上的两个关系Ri和R2都是对称的，证明RlAR2仍是对称的。
证明：
参见主教材P87-
13.试证任何集合A的幕集P（A）上的包含关系R是偏序关系
证明：
xP（A）,都有xx-R・・・R是自反的
RAxHy
xyAxHy
xy（集合包含关系的定义）
yx
R（包含关系的定义）/.R是反对称的
x、t、yP（A）,®RAR
则xtAty（关系R的定义）
xy（集合运算律）
R（关系R的定义）...R是传递的
14.己知R的关系图如下图所示，画R的自反闭包「（R）、对称闭包s（R）、传递闭包t（R）・
15.画<{1234567,8},R整除〉的哈斯图。
16.判断函数f：
N-N,是否是满射、单射、双射，为什么?
解：
作f的对应关系图如右，由图可知1无原像，故f非满射，也非双射。
但f是单射。
离散CH05
选择一个最合适的答案
1•下图中的边亠租边序列『：
eoeie2e3e4e5称为。
（A）
2•卞面有向图中的顶点序列VoViV2V3V4V2V5称为o（C）
D复杂通路
A路径
B初级通路
C简单通路
D复杂通路
3.能构成图的度数序列。
（C）
D（3,3,3）
A（3,3,2,1）B（2,3,2）C
（1）
填空：
4.设G（V,E）是n阶有向简单图，若u,胆V,都有,则称G是n
阶有向完全图。
（<—v>eEAeE）
5.G（V,E）是n阶有向完全图，通常记为o（K,,）
6.在下面的有向图中，从V2到V2的长度为2的初级回路是°
v2e4v1e1v2
7•在下面的无向图中，顶点是割点，边是桥。
（琏）（e3）
8•设G是有向图或无向图，称p（G）是图G的o（连通分支个数）简答（6分/每小题）
§5.2
9.下面三个无向图，它们之间哪些同构，哪些不同构。
若不同构，为什么？
若同构，请建立顶点之间的双射。
答：
图Gi与图G2不同构，因为图$与G2存在度不相同的顶点。
…2分同理G2G3....2分
GiG3・...2分
4°^^0B
建立顶点之间的如下对应关系f:
3-C,4-*f是双射，并且
两图的边也一一对应。
10•无向图的（点）着色：
P132-例5.5
11•图强连通，图单向连通，图弱连通，图非连通。
R00
必D2D3
参考答案：
D2、6.D4、DJ
12•应用题P133-[例5.6]
离散CH06
选择一个最合适的答案
1.下面三种说法，其中不正确的有个。
（C还有必要条件）
1Hall定理是二部图G（V“V.E）存在完备匹配的充要条件
2无论是有向图还是无向图，都有判断其是否存在欧拉通路和欧拉回路的充要条件
3目前只有判断哈密顿图的充分条件
A0B3C1D2
2.下面四种说法，其中正确的有个。
①存在既是欧拉图又是哈密顿图的无向图
③存在不是欧拉图却是哈密顿图的无向图
A4B3C2
（A）
②存在是欧拉图不是哈密顿图的无向图
4存在既不是欧拉图又不是哈密顿图的无向图
D1
填空
§6.1
3.用GM,Q表示二部图G,|X|=n,|V2|=m,记号表示图G为
（完全二部图）
§6.4
4・若图G画在平面上使得除顶点处外没有出现，则称G为平面图。
（边交叉）
（3,8）
5•卞面的平面图共有个面，其中无限面Ro的次数deg（Ro）=
平而图6-1
非连通平而图6-2
o（9）
应用题：
7.P151-习题6.5（二部图的应用）
8.P151-习题6.15（哈密顿图的应用）
9.P152-习题6.18（欧拉通路或欧拉回路的应用）
10.*P152-习题6.23（平面图在作色中的应用）
离散CH07复习J
§7.1
1.P165-I12设n阶连通无向图G（V,Q有m条边，G的生成树有条边，余树有
条边。
（n-1,m-n+l）
2.P167-例7.5
（2）画出4个顶点非同构无向树。
（2种）
3.P173-习题7.16（3）画出4个顶点非同构的根树（4种）
4.下面三条叙述中有条正确。
（B）
①一阶零图是一棵树②只有一片树叶的树在同构意义下只有1种
③树中每条边都是桥④在树中任意两个不相邻顶点卩U加一条边会形成唯一-条初级回路
AOB3C2D1
计算题
5.（6分）一棵树有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶，则该树有片树叶。
（9＜与P171-习题7.1同类型〉）
解：
设该树有x片树叶、n个节点、m条边
贝IJ度数之和=4X2+3X3+lXx二17+x
n二2+3+x=5+x
m二n~l（树）=4+x
17+x=2m（握手定理）二2（4+x）x=9
6.P171-最小生成树-习题7.8（b）
7.P173-最佳二元前缀码-习题7.17
离散CH09
§9.1
1曾是非零实数集，1是L上普通乘法的幺元，蔦对普通乘法，a的逆元是°
（a-1或1/a）
2n阶单位矩阵是n阶矩阵的幺元。
（乘法）
3在集合A的幕集P（A）±,是U运算的幺元Cl运算的零元。
（0）
是门运算的幺元U运算的零元。
（A）
4正确。
（D）
A减法是自然数集N上的二元运算
C加法是非零实数集R•上的二元运算
5错误。
（C）
A0是加法的幕等元
C单位矩阵E是矩阵加法的幕等元
B除法是整数集上的二元运算
D㊉是任意集合A的幕集P（A）上的二元运算
B1是乘法的幕等元
D0是幕集P（S）上㊉运算的幕等元
6二{0,1},X表示空串，是回文语言，是镜像语言…（A,D）
A（0n10r|nN}={l,010,00100,-}B{（TT|nN}={X,01,0011,-}
C{（01）n|nN}={X,01,0101,-}D{01,10}
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