百度网数学题选答2.docx

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XX网数学题选答2

XX网数学题选答2

1.化简p^2+4=（x-p）^2+y^2=x^2+（y-2）^2得到y=√3x-2。

解：

由右式，4y-4=2px-p^2,

y=（2px+4-p^2）/4,①

代入左式*16，得

16p^2+64=16（x-p）^2+（2px+4-p^2）^2,

64=16x^2-32px+4p^2x^2+4p（4-p^2）x+（4-p^2）^2,

（16+4p^2）x^2-4p（4+p^2）x+p^4-8p^2-48=0,

两边都除以p^2+4,得

4x^2-4px+p^2-12=0,

（2x-p）^2=12,

p=2x土2√3，

代入①，y=土x√3-2.

与您的答案不一致。

2.已知函数f（x）=lnx-ax（a为实常数）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若a>0.求不等式f（x）-f（a/2-x）>0的解集。

解：

（1）f'（x）=1/x-a=（1-ax）/x,

a<=0时f'（x）>0,f（x）↑；

a>0时f'（x）=-a（x-1/a）/x,

00,f（x）↑；

x>1/a时f'（x）<0,f（x）↓。

（2）g（x）=f（x）-f（a/2-x）

=lnx-ln（a/2-x）-2ax+a^2/2,

它的定义域是0

g'（x）=1/x+1/（a/2-x）-2a

=a/[x（a-2x）]-2a

=a[1-2x（a-2x）]/[x（a-2x）]

=a[4x^2-2ax+1]/[x（a-2x）]

=a[（2x-a/2）^2+1-a^2/4]/[x（a-2x）],

00,g（x）↑，g（a/4）=0,

原不等式的解集为{x|a/4

a=2时g'（x）=（2x-1）^2/[x（1-x）]>=0,原不等式的解集为{x|1/2

a>2时x1,2=[a土√（a^2-4）]/4,x2

x2

g（0+）=-∞，g（a+/2）=+∞，g（x）在（0，a/2）内连续，所以存在

x3∈（0，x2）,x4∈（x2,a/2）,使得g（x3）=g（x4）=0,（x3,x4无法用a表示），

原不等式的解集为{x|x3

3.已知整数边长的周长值的一半与面积相等,求所有这样的三角形.

解：

设三边分别为a,b,c,p=（a+b+c）/2,面积为△，则

内切圆半径r=△/p=1,

由内切圆半径公式，（p-a）（p-b）（p-c）=p=（p-a）+（p-b）+（p-c）,

方程xyz=x+y+z（x≤y≤z）恰有唯一正整数解x=1,y=2,z=3.

∴p=6,（a,b,c）=（3,4,5）,满足题设的三角形是唯一的。

4.已知命题p:

函数y=loga（1-2x）在定义域上单调递增.

命题q:

不等式（a-2）x^2+2（a-2）x-4<0对任意实数x恒成立,

若p则q是真命题,求实数a的取值范围.

解：

若p则q是真命题，分两种情况：

1.p假，a>1;

2.p真，0

==>q真，

==>a-2<0,且（a-2）^2+16（a-2）=（a-2）（a+14）<0,

==>-14

∴0

综上，a>1,或0

5.设数列｛an｝的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1，Sn，Sn-1为等差数列

（1）求｛an｝通项公式；

（2）设bn=1-Sn问是否存在｛bn｝为等比数列，若存在，求出a1的值，若不存在，说明理由

解：

（1）-a1，Sn，Sn-1为等差数列，

∴2Sn=S-a1,

以n+1代n,得

2S=Sn-a1,

相减得2a=an,

∴a/an=1/2,

∴an=a1/2^（n-1）,

（2）Sn=2a1（1-1/2^n）,

bn=1-Sn=1-2a1（1-1/2^n）,

｛bn｝为等比数列,

<==>b/bn={1-2a1[1-1/2^（n+1）]}/[1-2a1（1-1/2^n）]=常数k,

<==>1-2a1[1-1/2^（n+1）]=k-2a1k（1-1/2^n）,

<==>a1（1-2k）/2^n=（k-1）（1-2a1）,

<==>k=1/2,a1=1/2.

6.已知函数f（x）=αsinx+αcosx+1-α，α∈R，x∈[0，π/2]。

若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+∞）是增函数，且g

（2）=0，求当g[f（x）]＜0时α的取值范围

解：

f（x）=αsinx+αcosx+1-α

=a[（√2）sin（x+π/4）-1]+1，α∈R,x∈[0,π/2],

（√2）sin（x+π/4）∈[1,√2],

f（x）介于1与a（√2-1）+1之间.

奇函数g（x）在（0，+∞）是增函数,

∴g（x）在（-∞，0）↑，

由g[f（x）]＜0=g（土2）,得

0

∴0

∴-（√2+1）

7已知函数f（x）=x²+x-1,α,β为方程以f（x）=0的两个根（α>β）,f'（x）是f（x）的导数,设A1=1,A（n+1）=An-[f（An）/f'（An）]（n=1,2,3…）

1）求α,β的值.

2）已知对任意的正整数n有An>α,记Bn=ln[（An-β）/（An-α）]（n=1,2,3...）,求数列{Bn}的前n项和Sn

解：

1）α=（-1+√5）/2，β=（-1-√5）/2.

2）f'（x）=2x+1,

A=An-[An^2+An-1]/[2An+1]

=（An^2+1）/（2An+1）,

[A-β]/[A-α]

=[An^2+1+（1+√5）（An+1/2）]/[An^2+1+（1-√5）（An+1/2）]

=[An^2+（1+√5）An+（3+√5）/2]/[An^2+（1-√5）An+（3-√5）/2]

=[（An-β）/（An-α）]^2,

∴B=2Bn,

∴数列{Bn}是以B1=ln[（1-β）/（1-α）]=2ln[（3+√5）/2]为首项,2为公比的等比数列，

∴Sn=2ln[（3+√5）/2]*（2^n-1）.

8.已知四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠ABC=60°，CD=1,AD=根号3，PA=PB=PC,M是线段PC上不同于P，C任意一点，且BM⊥PA

求证：

AB//平面PCD

求证平面PAD⊥平面PBC

求三棱锥P-ABC的体积

解：

1）AB∥CD,AB不在平面PCD上，

∴AB∥平面PCD.

2）直角梯形ABCD中作CE⊥AB于E,AB‖CD,∠ABC=60，AE=CD=1,CE=AD=√3，

∴BE=1，∴AC=BC,

∴△ABC是等边三角形。

作PO⊥底面于O,

PA=PB=PC，

∴OA=OB=OC,

∴O是△ABC的中心，

∴AO⊥BC,

∴PA⊥BC,

已知PA⊥BM,

∴PA⊥平面PBC,

∴平面PAD⊥平面PBC.

3）由2），∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，

∴PC⊥PE,

∴PO^2=OC*OE=2/3，

PO=√6/3，

S△ABC=√3，

∴V（P-ABC）=√2/3.

9.三角形ABC中，AC=2，BC=6，已知点O是三角形ABC内一点，且满足OA+3OB+4OC=0（都是向量），求OC与（BA+2BC）的数量积

解：

|AC|=|OC-OA|=2，

∴OC^2-2OA*OC+OA^2=4，

OA*OC=（OA^2+OC^2-4）/2，

同理，OC^2-2OB*OC+OB^2=36，

OB*OC=（OB^2+OC^2-36）/2，

由OA+3OB+4OC=0得

OA=-3OB-4OC,

平方得OA^2=9OB^2+24OB*OC+16OC^2

=9OB^2+12（OB^2+OC^2-36）+16OC^2

=21OB^2+28OC^2-432，①

OA*OC+3OB*OC+4OC^2=0，

∴（OA^2+OC^2-4）/2+3（OB^2+OC^2-36）/2+4OC^2=0，

∴OA^2+3OB^2+12OC^2=112，

24OB^2+40OC^2-432=112，

3OB^2=68-5OC^2，②

把②代入①，OA^2=7（68-5OC^2）+28OC^2-432=44-7OC^2，

OC*（BA+2BC）

=OC*（OA-OB+2OC-2OB）

=OC*（OA-3OB+2OC）

=OA*OC-3OB*OC+2OC^2

=（OA^2+OC^2-4）/2-3（OB^2+OC^2-36）/2+2OC^2

=（1/2）（OA^2-3OB^2+2OC^2-40）

=（1/2）（44-7OC^2+5OC^2-68+2OC^2-40）

=-32.

10在三角形ABC中,AB的模=AC的模=根号2,向量AC与向量CB的夹角为150度,则BC的模为多少？

解：

AC和CB夹角为150°，

向量AB=AC+CB

|AB|^2=（AC+CB）^2=|AC|^2+|CB|^2+2AC*CB

2=2+|BC|^2+2√2|CB|cos150°

|BC|^2-√6|BC|=0

（|BC|-√6）|BC|=0

|BC|=√6

解2：

CA和CB夹角C=180°-150°=30°

|AB|=|AC|，B=C=30°，A=120°。

由正弦定理

|BC|/sin120°=|AB|/sin30°

|BC|=√3*√2=√6

11.在直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数m,n,使得OC向量＝mOA向量＋nOB向量，则m^2+（n-3）^2的取值范围是什么？

解：

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x,y）,

由向量OC=mOA+nOB得

x=mx1+nx2,y=my1+ny2,

A,B,C是圆x2^+y^2=1上相异三点,

∴1=x^2+y^2=（mx1+nx2）^2+（my1+ny2）^2

=m^2（x1^2+y1^2）+2mn（x1x2+y1y2）+n^2（x2^2+y2^2）

=m^2+n^2+2mn（x1x2+y1y2）,

由柯西不等式，（x1x2+y1y2）^2<=（x1^2+y1^2）（x2^2+y2^2）=1,

∴-1<=x1x2+y1y2<=1,m,n>0,

∴m^2+n^2-2mn<=1<=m^2+n^2+2mn,

∴|n-1|<=m<=n+1,

∴m^2+（n-3）^2>=2n^2-8n+10=2（n-2）^2+2>=2,当m=1,n=2时取等号；

m^2+（n-3）^2<=2n^2-4n+10，无最大值。

综上，m^2+（n-3）^2的取值范围是[2，+∞）

12.设函数f（x）=mx^-mx-1.

1.f（x）＜0恒成立，求m的范围

2.对于m属于【-2，2】，f（x）＜-m+5恒成立，求x的范围.

解：

1.f（x）＜0恒成立,分两种情况：

1）m=0时f（x）=-1<0;

2）m<0,△=（-m）^2+4m=m（m+4）<0,

-4

综上，-4

2.m∈[-2,2],f（x）<-m+5恒成立，

<==>g（m）=m（x^2-x+1）-6<0,

<==>g

（2）=2（x^2-x+1）-6<0,且g（-2）=-2（x^2-x+1）-6<0,

化为x^2-x-2<0,且x^2-x+4>0,

解得-1

13在等比数列{an}中,已知a1>0,q≠0且q>-1,bn=a+a，数列｛an｝、｛bn｝的前几项之和An、Bn,比较An、Bn的大小

解：

b/bn=[a+a]/[a+a]=q,

∴Bn/An=（a3+a2）/a1=q^2+q,

-10,

∴Bn<0

q>0时，An=a1[1+q+……+q^（n-1）]>0,

0

q=（-1+√5）/2时Bn=An;

q>（-1+√5）/2时Bn>An.

已发博文

14.不用导数，求以A（0,1）为圆心的圆与函数y=1/（x-1）的图像有公共点,求圆A的半径的最小值.

解：

设圆A:

x=rcost,y=rsint+1（t为参数），代入y=1/（x-1）得

（rcost-1）（rsint+1）=1,

r^2*sintcost+r（cost-sint）-2=0,①

设u=cost-sint（这是关键），则u∈[-√2，√2],sintcost=（1-u^2）/2,

代入①*（-2），整理得

r^2*u^2-2ru+4-r^2=0,②

△/4=r^2-r^2（4-r^2）=r^2（r^2-3）≥0,

∴r^2≥3,r≥√3.

r=√3时，②变为3u^2-2√3u+1=0,u=1/√3.

∴圆A的半径的最小值为√3.

15.已知a1=1/2,且{an}的前n项和满足Sn=n^2an-n（n-1）,求{an}的通项公式.

解：

Sn=n^2an-n（n-1）,①

n>1时S=（n-1）^2a-（n-1）（n-2）,②

①-②，an=n^2an-（n-1）^2a+2-2n

∴0=（n+1）an-（n-1）a-2,

∴（an-1）/（a-1）=（n-1）/（n+1）,

（a-1）/（a-1）=（n-2）/n,

……

（a2-1）/（a1-1）=（2-1）/（2+1）,

累乘得（an-1）/（a1-1）=1*2/[n（n+1）],a1=1/2,

∴an=1-1/[n（n+1）].

n=1时上式也成立。

16.已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为1/27

（1）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率；

（2）若将这枚硬币连抛两次之后，再另抛一枚质地均匀的硬币一次．在这三次抛掷中，正面朝上的总次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ

解：

设抛残缺不均匀的硬币落地正面朝上的概率为p,依题意p^3=1/27,

∴p=1/3.

（1）将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率

=c（3,2）*p^2*（1-p）=3*（1/3）^2*2/3=2/9.

（2）ξ=0时P（0）=（2/3）^2*1/2=2/9,

同理，P

（1）=c（2,1）*1/3*2/3*1/2+（2/3）^2*1/2=2/9+2/9=4/9,

P

（2）=（1/3）^2*1/2+c（2,1）*1/3*2/3*1/2=1/18+4/18=5/18,

P（3）=（1/3）^2*1/2=1/18.

ξ...........0.....1......2.....3

P（ξ）....2/9...4/9...5/18..1/18.

Eξ=∑<ξ=0,3>ξ*P（ξ）=0*2/9+1*4/9+2*5/18+3*1/18

=（8+10+3）/18=7/6.

17.O为三角形ABC的外心,AB向量的模=16,AC向量的模=10根号2,诺AO向量=xAB向量+yAC向量,且32x+25y=25,求AO向量.

解：

由32x+25y=25得y=1-32x/25,

∴向量AO=xAB+（1-32x/25）AC,

BO=BA+AO=（x-1）AB+（1-32x/25）AC,

CO=CA+AO=xAB-32x/25*AC,

O为△ABC的外心，

∴AO^2=BO^2=CO^2，

|AB|=16，|AC|=10√2，

∴256x^2+200（1-32x/25）^2+2x（1-32x/25）AB*AC

=256（x-1）^2+200（1-32x/25）^2+2（x-1）（1-32x/25）AB*AC

=256x^2+200（32x/25）^2-64x^2/25*AB*AC,

∴200（1-64x/25）+2xAB*AC=0,

256（1-2x）+200（1-64x/25）+2（57x/25-1）AB*AC=0.

∴100-256x+xAB*AC=0,①

228-512x+（57x/25-1）AB*AC=0.②

①*（57x/25-1）-②*x，得

（100-256x）（57x/25-1）-x（228-512x）=0,

（100-256x）（57x-25）-25x（228-512x）=0,

-256*57x^2+（5700+6400）x-2500

+25*512x^2-5700x=0,

-7*256x^2+6400x-2500=0,

7*64x^2-1600x+625=0,

△=1600^2-4*7*64*625

=100^2（256-112）

=100^2*12^2,

x1=（1600+1200）/（14*64）=25/8,

x2=25/56,

∴向量AO=xAB+（1-32x/25）AC=（25/8）AB-3AC或（25/56）AB+（3/7）AC.

18.已知三角形ABC的三条边AB=4,AC=3,BC=2倍根号3，O为三角形ABC的外心，求向量AO与向量BC的数量积

解：

记|OA|=r,由余弦定理，cosCAO=3/（2r）,cosBAO=2/r,

∴向量AO*BC=AO*（AC-AB）=r（3cosCAO-4cosBAO）=9/2-8=-3.5.

19.在平面直角坐标系中，一条直线L经过点M（√3，1）与X轴，Y轴分别交于A.B两点，且MA=MB。

圆O1是三角形AOB的内切圆，半径为R1。

圆O2与圆O1，直线l，y轴分别相切，半径为R2，圆O3与圆O2，直线l,y轴分别相切，半径为R3……，按此规律，则圆O2010的半径R2010=？

解：

直线L经过点M（√3，1）与X轴，Y轴分别交于A.B两点，且MA=MB，

∴A（2√3,0），B（0,2）,∠ABO=60°,R1=√3-1。

∵圆Oi与直线L、y轴相切，

∴圆心Oi在∠ABO的平分线上，∠OBOi=30°，i=1,2,3,……。

作OiNi⊥y轴于Ni,作OPi⊥OiNi,则∠OiOPi=30°，OiPi=Ri-R,

∵圆Oi与圆O外切，

∴OiO=Ri+R=2（Ri-R）,

∴R/Ri=1/3,

∴R2010=R1*（1/3）^2009=（√3-1）/3^2009.

20.反比例函数xy=k的图像，－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1.若M,N分别在反比例函数图像的两分支上的两个动点。

若以点O，点M，点N为顶点，组成一个三角形，求△MNO的周长的取值范围

解：

－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1，∴k=4.

设M（m,4/m）,N（n,4/n）,m>0>n,m+n≠0，

OM=√[m^2+（4/m）^2]>=√（2m^2*16/m^2）=2√2，当m=土2时取等号，

同理ON|min=2√2.

下面用导数求w=MN^2=（m-n）^2+（4/m-4/n）^2=（m-n）^2*[1+16/（mn）^2]的驻点坐标：

w’m=2（m-n）[1+16/（mn）^2]-32（m-n）^2/（m^3n^2）=0,

化简得m^3n^2+16m-16（m-n）=0,m^3n=-16,

同理由w’n=0得n^3m=-16.

解得m=2,n=-2,这时w=32,|MN|=4√2.

∴△MNO的周长L=OM+ON+MN>8√2，为所求。

21.设函数f（x）＝e^x＋sinx，g（x）＝ax，F（x）＝f（x）－g（x）.

（1）若x＝0是F（x）的极值点，求a的值；

（2）当a＝1╱3时，若存在x1，x2∈［0，＋∞）使得f（x1）＝g（x2），求x2－x1的最小值；

（3）当x∈［0，＋∞）时，F（x）≥F（－x）恒成立，求a的取值范围.

解：

（1）F'（x）=e^x+cosx-a,

x＝0是F（x）的极值点,

∴F'（0）=2-a=0,a=2.

（2）令x=x1,由f（x1）＝g（x2）得x2=3f（x）,

设w=x2-x1=3（e^x+sinx）-x,x>=0,

则w’=3（e^x+cosx）-1>0,w↑，

∴w|min=w（0）=3,为所求。

（3）x∈［0，＋∞）时，F（x）≥F（－x）恒成立，

<==>e^x+sinx-ax>=e^（-x）-sinx+ax,

<==>e^x-e^（-x）+2sinx>=2ax,

x=0时上式成立；

x>0时a<=[e^x-e^（-x）+2sinx]/（2x）,记为h（x）,

h'（x）={x[e^x+e^（-x）+2cosx]-[e^x-e^（-x）+2sinx]}/（2x^2）

={（x-1）e^x+（x+1）e^（-x）+2xcosx-2sinx}/2x^2）,

设H（x）=（x-1）e^x+（x+1）e^（-x）+2xcosx-2sinx,x>0,

则H'（x）=xe^x-xe^（-x）-2xsinx=x[e^x-e^（-x）-2sinx],

设G（x）=e^x-e^（-x）-2sinx,x>0,则

G'（x）=e^x+e^（-x）-2cosx>0,

∴G（x）↑，G（x）>G（0）=0,

∴H'（x）>0,H（x）↑，H（x）>H（0）=0.

∴h'（x）>0,h（x）↑，h（x）>h（0+）=2,

∴a<=2.

22.y=f（x）为偶函数且对任意x,y有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy+1，求f（x）的解析式。

解1：

令x=y=0,得f（0）=2f（0）+1,f（0）=-1.

令y=-x,得f（0）=f（x）+f（-x）-2x^2+1,

y=f（x）为偶函数,∴f（-x）=f（x）,

∴f（x）=x^2-1.

解2：

令x=y=0,得f（0）=2f（0）+1,f（0）=-1.

令y=x,得f（2x）=2f（x）+2x^2+1,

设f（2x）+a（2x）^2+b=2[f（x）+ax^2+b],则

-2ax^2+b=2x^2+1,a=-1,b=1.

∴f（2x）-（2x）^2+1=2[f（x）-x^2+1],

∴f（x）-x^2+1=2^n[f（x/2^n）-（x/2^n）^2+1]

→2^n[f（0）-（x/2^n）^2+1]→0，（n∈N+,n→∞）,

∴f（x）=x^2-1.

23.已知方程x²+mx+4=0和x²-（m-2）x-16=0有一个相同的根.求m值及这个相同的根

解1x²+mx+4=0①和x²-（m-2）x-16=0②有一个相同的根,

①-②，（2m-2）x+20=0,x=10/（1-m）,③

代入①，100/（1-m）^2+10m/（1-m）+4=0,

两边都乘以（1-m）^2/2,得

50+5m（1-m）+2（1-m）^2=0,

50+5m-5m^2+2-4m+2m^2=0,

52+m-3m^2=0,

3m^2-m-52=0,

解得m=-4,或13/3.

m=-4时由③，相同的根=2，

同理，m=13/3时相同的根=-3.

解2x²+mx+4=0①和x²-（m-2）x-16=0②有一个相同的根,

①+②，2x^2+2x-12=0,

x^2+x-6=0,

解得x1=2,x2=-3.

由①，m=-（