百度网数学题选答2.docx

1、XX网数学题选答2XX网数学题选答21.化简p2+4=(x-p)2+y2=x2+(y-2)2得到y=3 x-2。解：由右式，4y-4=2px-p2,y=(2px+4-p2)/4,代入左式*16，得16p2+64=16(x-p)2+(2px+4-p2)2,64=16x2-32px+4p2x2+4p(4-p2)x+(4-p2)2,(16+4p2)x2-4p(4+p2)x+p4-8p2-48=0,两边都除以p2+4,得4x2-4px+p2-12=0,(2x-p)2=12,p=2x土23，代入，y=土x3-2.与您的答案不一致。 2.已知函数f(x)=lnx-ax(a为实常数).（1）求函数f(x)的

2、单调区间；（2）若a0.求不等式f(x)-f(a/2-x)0的解集。解：（1）f(x)=1/x-a=(1-ax)/x,a0,f(x)；a0时f(x)=-a(x-1/a)/x,0x0,f(x)；x1/a时f(x)0,f(x)。（2）g(x)=f(x)-f(a/2-x)=lnx-ln(a/2-x)-2ax+a2/2,它的定义域是0xa/2.g(x)=1/x+1/(a/2-x)-2a=a/x(a-2x)-2a=a1-2x(a-2x)/x(a-2x)=a4x2-2ax+1/x(a-2x)=a(2x-a/2)2+1-a2/4/x(a-2x),0a0,g(x)，g(a/4)=0,原不等式的解集为x|a/4

3、x=0,原不等式的解集为x|1/2x2时x1,2=a土（a2-4)/4,x2xx1时g(x)0,g(x)，x2xa/4时不等式成立，g(0+)=-，g(a+/2)=+，g(x)在（0，a/2)内连续，所以存在x3（0，x2),x4（x2,a/2),使得g(x3)=g(x4)=0,（x3,x4无法用a表示），原不等式的解集为x|x3xa/4,或x4xa/2. 3.已知整数边长的周长值的一半与面积相等,求所有这样的三角形.解：设三边分别为a,b,c,p=(a+b+c)/2,面积为，则内切圆半径r=/p=1,由内切圆半径公式，(p-a)(p-b)(p-c)=p=(p-a)+(p-b)+(p-c),方

4、程xyz=x+y+z(xyz)恰有唯一正整数解x=1,y=2,z=3.p=6,(a,b,c)=(3,4,5),满足题设的三角形是唯一的。4.已知命题p:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增.命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-41;2.p真，0aq真，=a-20,且(a-2)2+16(a-2)=(a-2)(a+14)-14a2.0a1,或0a1. 5.设数列an的前n项和为Sn，其中an0，a1为常数，且-a1，Sn，Sn-1为等差数列（1）求an通项公式；（2）设bn=1-Sn问是否存在bn为等比数列，若存在，求出a1的值，若不存在，说明理由解：（1）-a1，Sn，Sn

5、-1为等差数列，2Sn=S-a1,以n+1代n,得2S=Sn-a1,相减得2a=an,a/an=1/2,an=a1/2(n-1),(2)Sn=2a1(1-1/2n),bn=1-Sn=1-2a1(1-1/2n),bn为等比数列,b/bn=1-2a11-1/2(n+1)/1-2a1(1-1/2n)=常数k,1-2a11-1/2(n+1)=k-2a1k(1-1/2n),a1(1-2k)/2n=(k-1)(1-2a1),k=1/2,a1=1/2. 6.已知函数f（x）=sinx+cosx+1-，R，x0，/2。若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+）是增函数，且g（2）=0，求当gf（x）0时

6、的取值范围解：f（x）=sinx+cosx+1-=a(2）sin(x+/4)-1+1，R,x0,/2,(2）sin(x+/4)1,2,f(x)介于1与a(2-1）+1之间.奇函数g（x）在（0，+）是增函数,g(x)在（-，0），由gf（x）0=g(土2),得0f(x)2,或f(x)-2（舍），0a(2-1）+12,-（2+1）a),f(x)是f(x)的导数,设A1=1,A(n+1)=An-f(An)/f(An)(n=1,2,3) 1)求,的值.2)已知对任意的正整数n有An,记Bn=ln(An-)/(An-)(n=1,2,3.),求数列Bn的前n项和Sn解：1）=（-1+5）/2，=（-1-

7、5）/2.2）f(x)=2x+1,A=An-An2+An-1/2An+1=(An2+1)/(2An+1),A-/A-=An2+1+(1+5）（An+1/2)/An2+1+(1-5）（An+1/2)=An2+(1+5）An+(3+5）/2/An2+(1-5）An+(3-5）/2=(An-)/(An-)2,B=2Bn,数列Bn是以B1=ln(1-)/(1-)=2ln(3+5）/2为首项,2为公比的等比数列，Sn=2ln(3+5）/2*(2n-1).8.已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ABC=60，CD=1,AD=根号3，PA=PB=PC, M是线段PC上不同于P，C任意一

8、点，且BMPA求证：AB/平面PCD求证平面PAD平面PBC求三棱锥P-ABC的体积解：1)ABCD,AB不在平面PCD上，AB平面PCD.2)直角梯形ABCD中作CEAB于E,ABCD,ABC=60，AE=CD=1,CE=AD=3，BE=1，AC=BC,ABC是等边三角形。作PO底面于O,PA=PB=PC，OA=OB=OC,O是ABC的中心，AOBC,PABC,已知PABM,PA平面PBC,平面PAD平面PBC.3)由2），APB=BPC=CPA=90，PCPE,PO2=OC*OE=2/3，PO=6/3，SABC=3，V(P-ABC)=2/3.9.三角形ABC中，AC=2，BC=6，已知点O

9、是三角形ABC内一点，且满足OA+3OB+4OC=0（都是向量），求OC与（BA+2BC）的数量积解：|AC|=|OC-OA|=2，OC2-2OA*OC+OA2=4，OA*OC=(OA2+OC2-4)/2，同理，OC2-2OB*OC+OB2=36，OB*OC=(OB2+OC2-36)/2，由OA+3OB+4OC=0得OA=-3OB-4OC,平方得OA2=9OB2+24OB*OC+16OC2=9OB2+12(OB2+OC2-36)+16OC2=21OB2+28OC2-432，OA*OC+3OB*OC+4OC2=0，(OA2+OC2-4)/2+3（OB2+OC2-36)/2+4OC2=0，OA2+

10、3OB2+12OC2=112，24OB2+40OC2-432=112，3OB2=68-5OC2，把代入，OA2=7(68-5OC2)+28OC2-432=44-7OC2，OC*(BA+2BC)=OC*(OA-OB+2OC-2OB)=OC*(OA-3OB+2OC)=OA*OC-3OB*OC+2OC2=(OA2+OC2-4)/2-3(OB2+OC2-36)/2+2OC2=(1/2)(OA2-3OB2+2OC2-40)=(1/2)(44-7OC2+5OC2-68+2OC2-40)=-32.10在三角形ABC中,AB的模=AC的模=根号2,向量AC与向量CB的夹角为150度,则BC的模为多少？解：AC

11、和CB夹角为150，向量AB=AC+CB|AB|2=(AC+CB)2=|AC|2+|CB|2+2AC*CB2=2+|BC|2+22|CB|cos150|BC|2-6|BC|=0(|BC|-6)|BC|=0|BC|=6 解2：CA和CB夹角C=180-150=30|AB|=|AC|，B=C=30，A=120。由正弦定理|BC|/sin120=|AB|/sin30|BC|=3*2=611.在直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数m,n,使得OC向量mOA向量nOB向量，则m2+(n-3)2的取值范围是什么？解：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),

12、由向量OC=mOA+nOB得x=mx1+nx2,y=my1+ny2,A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,1=x2+y2=(mx1+nx2)2+(my1+ny2)2=m2(x12+y12)+2mn(x1x2+y1y2)+n2(x22+y22)=m2+n2+2mn(x1x2+y1y2),由柯西不等式，（x1x2+y1y2)2=(x12+y12)(x22+y22)=1,-1=x1x2+y1y20,m2+n2-2mn=1=m2+n2+2mn,|n-1|=m=2n2-8n+10=2(n-2)2+2=2,当m=1,n=2时取等号；m2+(n-3)2=2n2-4n+10，无最大值。综上，m2+(n-3)

13、2的取值范围是2，+）12.设函数f（x）=mx-mx-1.1.f（x）0恒成立，求m的范围 2.对于m属于【-2，2】，f（x）-m+5恒成立，求x的范围.解：1.f（x）0恒成立,分两种情况：1）m=0时f(x)=-10;2)m0,=（-m)2+4m=m(m+4)0,-4m0.综上，-4m=0.2.m-2,2,f(x)-m+5恒成立，g(m)=m(x2-x+1)-60,g(2)=2(x2-x+1)-60,且g(-2)=-2(x2-x+1)-60,化为x2-x-20,解得-1x0,q0且q-1,bn=a+a，数列an、bn的前几项之和An、Bn, 比较An、Bn的大小解：b/bn=a+a/a

14、+a=q,Bn/An=(a3+a2)/a1=q2+q,-1q0时Bn/An0,Bn00时，An=a11+q+q(n-1)0,0q(-1+5)/2时，0Bn/An1,Bn(-1+5)/2时BnAn.已发博文14. 不用导数，求以A(0,1)为圆心的圆与函数y=1/(x-1)的图像有公共点,求圆A的半径的最小值.解：设圆A:x=rcost,y=rsint+1(t为参数)，代入y=1/(x-1)得（rcost-1）(rsint+1)=1,r2*sintcost+r(cost-sint)-2=0,设u=cost-sint(这是关键)，则u-2，2,sintcost=(1-u2)/2,代入*（-2），整

15、理得r2*u2-2ru+4-r2=0,/4=r2-r2(4-r2)=r2(r2-3) 0,r23,r3.r=3时，变为3u2-23u+1=0,u=1/3.圆A的半径的最小值为3.15. 已知a1=1/2,且an的前n项和满足Sn=n2an-n(n-1),求an的通项公式.解：Sn=n2an-n(n-1),n1时S=(n-1)2a-(n-1)(n-2),-，an=n2an-(n-1)2a+2-2n0=（n+1)an-(n-1)a-2,（an-1)/(a-1)=(n-1)/(n+1),(a-1)/(a-1)=(n-2)/n,（a2-1)/(a1-1)=(2-1)/(2+1),累乘得（an-1)/(

16、a1-1)=1*2/n(n+1),a1=1/2,an=1-1/n(n+1).n=1时上式也成立。16. 已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为1/27（1）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率；（2）若将这枚硬币连抛两次之后，再另抛一枚质地均匀的硬币一次在这三次抛掷中，正面朝上的总次数为，求的分布列及期望E解：设抛残缺不均匀的硬币落地正面朝上的概率为p,依题意p3=1/27,p=1/3.(1)将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率=c(3,2)*p2*(1-p)=3*(1/3)2*2/3=2/9.(2)=0时P(0)=(2/3)2*1/2=2/9,同理

17、，P(1)=c(2,1)*1/3*2/3*1/2+(2/3)2*1/2=2/9+2/9=4/9,P(2)=(1/3)2*1/2+c(2,1)*1/3*2/3*1/2=1/18+4/18=5/18,P(3)=(1/3)2*1/2=1/18.0.1.2.3P().2/9.4/9.5/18.1/18.E=*P()=0*2/9+1*4/9+2*5/18+3*1/18=(8+10+3)/18=7/6. 17. O为三角形ABC的外心,AB向量的模=16,AC向量的模=10根号2,诺AO向量=xAB向量+yAC向量,且32x+25y=25,求AO向量. 解：由32x+25y=25得y=1-32x/25,向

18、量AO=xAB+(1-32x/25)AC,BO=BA+AO=(x-1)AB+(1-32x/25)AC,CO=CA+AO=xAB-32x/25*AC,O为ABC的外心，AO2=BO2=CO2，|AB|=16，|AC|=102，256x2+200(1-32x/25)2+2x(1-32x/25)AB*AC=256(x-1)2+200(1-32x/25)2+2(x-1)(1-32x/25)AB*AC=256x2+200(32x/25)2-64x2/25*AB*AC,200（1-64x/25)+2xAB*AC=0,256(1-2x)+200(1-64x/25)+2(57x/25-1)AB*AC=0.10

19、0-256x+xAB*AC=0,228-512x+(57x/25-1)AB*AC=0.*（57x/25-1)-*x，得（100-256x)(57x/25-1)-x(228-512x)=0,(100-256x)(57x-25)-25x(228-512x)=0,-256*57x2+(5700+6400)x-2500+25*512x2-5700x=0,-7*256x2+6400x-2500=0,7*64x2-1600x+625=0,=16002-4*7*64*625=1002(256-112)=1002*122,x1=(1600+1200)/(14*64)=25/8,x2=25/56,向量AO=xA

20、B+(1-32x/25)AC=(25/8)AB-3AC或(25/56)AB+(3/7)AC.18. 已知三角形ABC的三条边AB=4,AC=3,BC=2倍根号3，O为三角形ABC的外心，求向量AO与向量BC的数量积 解：记|OA|=r,由余弦定理，cosCAO=3/(2r),cosBAO=2/r,向量AO*BC=AO*(AC-AB)=r(3cosCAO-4cosBAO)=9/2-8=-3.5. 19. 在平面直角坐标系中，一条直线L经过点M（3，1）与X轴，Y轴分别交于A.B两点，且MA=MB。圆O1是三角形AOB的内切圆，半径为R1。圆O2与圆O1，直线l，y轴分别相切，半径为R2，圆O3与

21、圆O2，直线l,y轴分别相切，半径为R3，按此规律，则圆O2010的半径R2010=？ 解：直线L经过点M（3，1）与X轴，Y轴分别交于A.B两点，且MA=MB，A(23,0），B(0,2),ABO=60,R1=3-1。圆Oi与直线L、y轴相切，圆心Oi在ABO的平分线上，OBOi=30，i=1,2,3,。作OiNiy轴于Ni,作OPiOiNi,则OiOPi=30，OiPi=Ri-R,圆Oi与圆O外切，OiO=Ri+R=2(Ri-R),R/Ri=1/3,R2010=R1*(1/3)2009=(3-1）/32009. 20. 反比例函数xy=k的图像，4x1时，4y1. 若M,N分别在反比例函数

22、图像的两分支上的两个动点。若以点O，点M，点N为顶点，组成一个三角形，求MNO的周长的取值范围 解：4x1时，4y1，k=4.设M(m,4/m),N(n,4/n),m0n,m+n0，OM=m2+(4/m)2=（2m2*16/m2)=22，当m=土2时取等号，同理ON|min=22.下面用导数求w=MN2=(m-n)2+(4/m-4/n)2=(m-n)2*1+16/(mn)2的驻点坐标：wm=2(m-n)1+16/(mn)2-32(m-n)2/(m3n2)=0,化简得m3n2+16m-16(m-n)=0,m3n=-16,同理由wn=0得n3m=-16.解得m=2,n=-2,这时w=32,|MN|

23、=42.MNO的周长L=OM+ON+MN82，为所求。21. 设函数f（x）exsinx，g（x）ax，F（x）f（x）g（x）.（1）若x0是F（x）的极值点，求a的值；（2）当a13时，若存在x1，x20，）使得f（x1）g（x2），求x2x1的最小值；（3）当x0，）时，F（x）F（x）恒成立，求a的取值范围.解：(1)F(x)=ex+cosx-a,x0是F（x）的极值点,F(0)=2-a=0,a=2.(2)令x=x1,由f（x1）g（x2）得x2=3f(x),设w=x2-x1=3(ex+sinx)-x,x=0,则w=3(ex+cosx)-10,w，w|min=w(0)=3,为所求。（3

24、）x0，）时，F（x）F（x）恒成立，ex+sinx-ax=e(-x)-sinx+ax,ex-e(-x)+2sinx=2ax,x=0时上式成立；x0时a0,则H(x)=xex-xe(-x)-2xsinx=xex-e(-x)-2sinx,设G(x)=ex-e(-x)-2sinx,x0,则G(x)=ex+e(-x)-2cosx0,G（x)，G(x)G(0)=0,H(x)0,H(x)，H(x)H(0)=0.h(x)0,h(x)，h(x)h(0+)=2,a=2.22. y=f(x)为偶函数且对任意x,y有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1，求f(x)的解析式。解1：令x=y=0,得f(0)=

25、2f(0)+1,f(0)=-1.令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)-2x2+1,y=f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),f(x)=x2-1.解2：令x=y=0,得f(0)=2f(0)+1,f(0)=-1.令y=x,得f(2x）=2f(x)+2x2+1,设f(2x)+a(2x)2+b=2f(x)+ax2+b,则-2ax2+b=2x2+1,a=-1,b=1.f(2x)-(2x)2+1=2f(x)-x2+1,f(x)-x2+1=2nf(x/2n)-(x/2n)2+12nf(0)-(x/2n)2+10，（nN+,n）,f(x)=x2-1.23. 已知方程x+mx+4=0和x-(m-2)x

26、-16=0有一个相同的根.求m值及这个相同的根解1 x+mx+4=0和x-(m-2)x-16=0有一个相同的根,-，（2m-2)x+20=0,x=10/(1-m),代入，100/（1-m)2+10m/(1-m)+4=0,两边都乘以（1-m)2/2,得50+5m(1-m)+2(1-m)2=0,50+5m-5m2+2-4m+2m2=0,52+m-3m2=0,3m2-m-52=0,解得m=-4,或13/3.m=-4时由，相同的根=2，同理，m=13/3时相同的根=-3.解2 x+mx+4=0和x-(m-2)x-16=0有一个相同的根,+，2x2+2x-12=0,x2+x-6=0,解得x1=2,x2=-3.由，m=-(