在建模中渗透数学思想方法.docx

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在建模中渗透数学思想方法

在建模中渗透数学思想方法

数学思想方法对数学的发展起着指引方向的作用，是数学的灵魂。

在小学数学教育中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值；能把知识学习与培养能力、发展智力有机地统一，这不仅是新课程标准所强调的，更是实施素质教育的真正内涵。

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。

数学方法是在数学思想的指导下，为数学思维活动提供具体的实施手段，数学方法是数学思想的具体化形式，是提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等。

实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题，通常混称为“数学思想方法”。

二、《平行四边形的面积》所渗透的数学思想

我认为在小学阶段学习“面积”的内容能够渗透的数学思想方法主要有：

数形结合的数学思想、转化的数学思想、符号化数学思想、类比推理的数学思想，也可以适当渗透分类、演绎的数学思想。

（一）数形结合思想

数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，使问题简明直观。

以《平行四边形的面积》为例：

首先通过观察法让学生来判断平行四边形与长方形的面积的大小，而后将两个图形移到方格纸中（一个小方格是1平方米），让学生探究两个图形的面积，这里渗透了数形结合的思想。

以数助形，对直观图形赋予数的意义很快就有同学通过数方格的方法求出了两个图形的面积。

还有在拓展环节。

我设计了面积相等的长方形停车位和平行四边形停车位，为什么一般情况下，停车位都是平行四边形的，而不是长方形的经过分析知道了当车身身长不超过长方形停车位的长时，可以停在长方形停车位，当车身太长时，停在平行四边形的车位上。

数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：

一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”。

数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面：

（1）实数与数轴上的点的对应关系；

（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）与几何有关的知识，如三角函数、向量等；（5）概率统计的图形表示；（6）在数轴上表示不等式的解集；（7）数量关系式具有一定的几何意义，如s=100t。

数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面：

一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。

二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。

这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。

三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。

四是用代数（算术）方法解决几何问题。

如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等。

（二）转化的思想方法

人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为转化思想。

例如在教学《平行四边形的面积》一课时，运用了转化的思想：

用割补的方法求平行四边形的面积。

先是学生小组合作探究剪拼的方法，然后观察发现平行四边形的底和高与剪拼出来的长方形的长与宽的关系，归纳出平行四边形的面积计算公式。

 这里让学生领悟转化的思想方法，又同时在“转化”的过程中培养学生的实践创新能力，进而提高学生的解决问题的能力。

在随后学习的三角形、梯形、圆的面积计算，都是通过剪拼的方法，把要研究的图形转化成前面已学过的图形来推导出它的面积公式。

在转化过程中，观察转化后的长方形的面积与长方形的面积相等时，同学们观察到的都是把剪下来的图形又拼在了一起，面积不变，也就是相等。

这时以为爱发言的同学说了：

“老师，我还有一种证明长方形的面积和平行四边形的面积相等的方法。

”我让她发了言，结果她说：

“就是把平行四边形一拉，变成了长方形，所以平行四边形的面积等于长方形的面积。

”听了她的发言，我灵机一动，这不就是一个很好的教学机遇吗？

于是我把平行四边形描在黑板上，又把平行四边形拉成长方形，再把长方形描在黑板上

H

G

E

F

D

C

B

A

使学生明确地看到平行四边形的面积拉成长方形它的面积是长方形ABGH的面积，而原来平行四边形的面积实际是长方形ABEF的面积，由此看出，平行四边形拉成长方形面积变大了，大的面积是长方形EFHG的面积。

转化思想在小学数学中的应用如下表。

知识领域

知识点

应用举例

数与代数

数的意义

整数的意义：

用实物操作和直观图帮助理解

小数的意义：

用直观图帮助理解

分数的意义：

用直观图帮助理解

负数的意义：

用数轴等直观图帮助理解

四则运算的意义

乘法的意义：

若干个相同加数相加的一种简便算法。

除法的意义：

乘法的逆运算。

四则运算的法则

整数加减法：

用实物操作和直观图帮助理解算法。

小数加减法：

小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算。

小数乘法：

先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点。

小数除法：

把除数转化为整数，基本按照整数除法的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。

分数加减法：

异分母分数加减法转化为同分母分数加减法。

分数除法：

转化为分数乘法。

四则运算各部分间的关系

a+b=c,c－a=b

ab=c,a=c÷b

简便计算

利用运算定律进行简便计算

方程

解方程：

解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）。

解决问题的策略

化繁为简：

植树问题、鸡兔同笼问题等。

化抽象为直观：

用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系、帮助推理。

化实际问题为数学问题：

化一般问题为特殊问题：

化未知问题为已知问题：

空间与图形

三角形内角和

通过操作把三个内角转化为平角

多边形的内角和

转化为三角形求内角和

面积公式

正方形的面积：

转化为长方形求面积

平行四边形面积：

转化为长方形求面积

三角形的面积：

转化为平行四边形求面积

梯形的面积：

转化为平行四边形求面积

圆的面积：

转化为长方形求面积

组合图形的面积：

转化为求基本图形的面积

体积公式

正方体的体积：

转化为长方体求体积

圆柱的体积：

转化为长方体求体积

圆锥体积：

转化为圆柱求体积

统计与概率

统计图和统计表

运用不同的统计图表描述各种数据

可能性

运用不同的方式表示可能性的大小

（二）符号思想方法

数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。

符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想方法。

例如，在教学长方形，平行四边形等图形的面积公式时，我们都会让学生学习用字母公式，简洁明了，就是运用了符号化的思想。

符号在小学数学中的应用如下表。

知识领域

知识点

应用举例

应用拓展

数与代数

数的表示

阿拉伯数字：

0~9

中文数字：

一~十

百分号：

％

千分号：

‰

用数轴表示数

数的运算

+、－、×、÷、（ ）﹝﹞﹛﹜2（平方）3（立方）

数的大小关系

＝、≈、>、<

≥、≤、≠

运算定律

加法交换律：

a+b=b+a

加法结合律：

a+b+c=a+（b+c）

乘法交换律：

ab=ba

乘法结合律：

（ab）c=a（bc）

乘法分配律：

a（b+c）=ab+ac

方程

ax+b=c

数量关系

时间、速度和路程：

s=vt

数量、单价和总价：

a=np

正比例关系：

y/x=k

反比例关系：

xy=k

用表格表示数量间的关系

用图象表示数量间的关系

空间与图形

用字母表示计量单位

长度单位：

km、m、dm、cm、mm

面积单位：

km2、m2、dm2、cm2、mm2

质量单位：

t、kg、g

用符号表示图形

用字母表示点：

三角形ABC

用符号表示角：

∠1、∠2、∠3、∠4

△ABC

线段AB

直线CD

直线L

两线段平行：

AB∥CD

两线段垂直：

AB⊥CD

ABCD

用字母表示公式

三角形面积：

S＝

ab

平行四边形面积：

S＝ah

梯形面积：

S＝

（a+b）h

圆周长：

C＝2πr

圆面积：

S＝πr?

长方体体积：

v=abc

正方体体积：

v=a?

圆柱体积：

v=sh

圆锥体积：

v=

sh

统计与概率

统计图和统计表

用统计图表描述和分析各种信息

（四）模型思想方法

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。

从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。

数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。

模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

建立和求解模型的过程包括：

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立计算公式、方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。

平行四边形面积公式的推导本身就是一个建模的过程。

小学阶段这样的建模还有很多。

小学数学中的模型如下表。

知识领域

知识点

应用举例

数与代数

数的表示

自然数列：

0,1,2,…

用数轴表示数

数的运算

a+b=c

c－a=b,c－b＝a

a×b＝c（a≠0,b≠0）

c÷a=b,c÷b＝a

运算定律

加法交换律：

a+b=b+a

加法结合律：

a+b+c=a+（b+c）

乘法交换律：

ab=ba

乘法结合律：

（ab）c=a（bc）

乘法分配律：

a（b+c）=ab+ac

方程

ax+b=c

数量关系

时间、速度和路程：

s=vt

数量、单价和总价：

a=np

正比例关系：

y/x=k

反比例关系：

xy=k

用表格表示数量