数学建模学科论文.docx
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数学建模学科论文
数学科学学院
本科生学科论文
课程名称：
数学建模
题目名称：
易拉罐形状和尺寸的最优设计
专业年级：
学生学号：
学生姓名：
论文成绩：
2013年6月5日
评价指标体系与得失分说明
评分内容
具体要求
权重
分项评分标准
优
良
中
及
不
创新
模型有新观点、新方法、新材料、新发现。
0.3
模型
论证
能独立查阅文献资料及从事其他形式的调研，能较好地理解课题任务并提出实施方案，有分析整理各类信息并从中获取新知识的能力。
任务量饱满。
0.2
编程
能力
程序规范，代码合理，有较好的运行结果。
0.2
表述
论证、分析、设计、计算、结构、建模、实验正确合理，绘图（表）符合要求。
0.2
规范
结构严谨、文字通顺、用语符合技术规范，图表清楚，格式规范，符合规定字数要求。
0.1
【模型方法与类型】轮廓模型拟合模型规划模型仿真模型随机模型层次模型概率模型统计模型考古模型污染模型种群模型传染病型药物模型分配模型密码模型作战模型集决模型需求模型供给模型均衡模型投产模型仿真模型
优点：
不足：
其它：
综合成绩：
涂改无效！
教师签章：
年月日
聊城大学学科论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人（组）郑重声明：
所呈交的学科论文，是本人在老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律结果由本人（组）承担。
论文作者签名：
刘文倩郭英华朱晓敏日期:
2013年6月2日
学科论文使用授权说明
本人完全了解聊城大学关于收集、保存、使用学科论文的规定，即：
●按照学校要求提交学科论文的印刷本和电子版本；
●学校有权保存学科论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在网上提供服务；
●学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；
●授权学校可以在网上全文发布。
（保密论文在解密后遵守此规定）
论文作者签名：
刘文倩郭英华朱晓敏日期：
2013年6月2日
目录
1.问题重述6
1.1背景资料与条件6
1.2需要解决的问题6
2.问题分析6
2.1问题的重要性分析（社会背景）6
2.2有关方面在这个问题上做过的研究7
2.3问题的思路分析7
3.基本假设7
3.1模型一：
易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型7
3.2模型二：
易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型7
4.符号说明7
4.1模型一和模型二符号说明7
4.2易拉罐测量数据8
5.模型的建立与求解8
5.1模型一的建立8
5.2模型二的建立10
6.模型的分析11
6.1假设的合理性分析11
6.2可靠性分析11
7.模型的检验11
8.模型的推广11
9.模型的评价与优化12
9.1模型的优缺点分析12
9.2模型的优化12
参考文献13
附件14
易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘要
利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。
运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解,通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用LINGO软件求得其最优解，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：
模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比
（
为圆柱的高,
为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高
时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的
倍时，最优设计方案
。
在优化模型中，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出
时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
关键词：
易拉罐；材料；LINGO；最优设计；形状与尺寸
1.问题重述
1.1背景资料与条件
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了，现在来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
1.2需要解决的问题
取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
假设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？
其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比等等。
2.问题分析
1.1.
1.
2.
2.1问题的重要性分析（社会背景）
我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料公司的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。
为什么不同的大公司会用几乎相同的饮料罐？
我们通过分析发现这些公司都有一个共同的特点，销售量特别大。
我们知道对于最优设计的少数易拉罐来说节省的钱是有限的，但是如果是生产几亿、甚至几十亿个易拉罐的话，那么节约的钱就很可观了。
由此看来，这些公司相似的设计绝对不是偶然的，这应该是某中意义下的最优设计。
所谓的最佳生产方案即生产经营单位利用有限的空间、物质资源及生产能力，在一定时间内，将配置实现最优化的利用、调度，获得合理范围内的最大收益。
真对生产易拉罐的公司来说,将其材料的费用、易拉罐用的材料、易拉罐的形状和尺寸、易拉罐的新颖时尚程度、易拉罐的个性化、生产易拉罐的技术难度、易拉罐的环保、易拉罐对人体是否有有害影响等作为厂家综合考虑的因素，利用其间各种联系，可得出几种合理资源配置方案，再在这其中找出最佳方案，即能使生产经营单位得到收益最高的方案，即所谓的这家易拉罐公司得到收益最高的方案。
2.2有关方面在这个问题上做过的研究
目前很多人在考虑易拉罐的最优设计时，只考虑体积相同时而没有考虑其他的条件，如易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时，有些现实问题没有考虑到，材料的价格是否合适，外表是否美观，所以我们尽量考虑到这些因素，找到最优设计。
2.3问题的思路分析
假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。
在表面积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。
在建立模型之前，必须考虑易拉罐的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材料受力的情况。
3.基本假设
3.
3.1模型一：
易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型
1）假设一：
易拉罐是正圆柱体
2）假设二：
易拉罐整体厚度均相同
3.2模型二：
易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型
1）假设一；易拉罐是正圆柱体
2）假设二；易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a
4.符号说明
4.
4.1模型一和模型二符号说明
R:
圆柱半径
r:
圆台半径
H:
圆柱高
h:
圆台高
S:
易拉罐表面积
V:
易拉罐体积
MIN:
最小化
为方便在LINGO软件中计算，定义：
X1:
在软件LINGO中的圆柱半径（R）
X2:
在软件LINGO中的圆柱高（H）
X3:
在软件LINGO中的圆台半径（r）
X4:
在软件LINGO中的圆台高（h）
4.2易拉罐测量数据
雪碧（mm）
可乐（mm）
芬达（mm）
加多宝（mm）
平均
（mm）
D1（罐盖直径）
57.84
58.30
58.04
58.60
58.20
D2（罐身直径）
65.70
65.56
65.51
65.58
65.60
D3（罐底直径）
47.56
47.62
47.18
47.74
47.53
X1（罐盖厚度）
0.314
0.302
0.315
0.310
0.310
X2（罐身厚度）
0.108
0.110
0.114
0.110
0.111
X3（罐底厚度）
0.327
0.320
0.339
0.344
0.333
H1（罐盖高度）
10.30
10.98
10.42
9.96
10.42
H2（罐身高度）
101.98
102.06
102.36
101.92
102.08
H3（罐底高度）
5.62
5.30
5.12
4.86
5.23
L（罐盖斜边长度）
0.193
0.204
0.210
0.201
0.202
拉环长度
42．53
42．48
42．48
42．51
42．50
5.模型的建立与求解
5.
5.1模型一的建立
5.1.1模型一概述
确定变量和参数：
设易拉罐内半径为R，高为H，,厚度为a，体积为V，其中r和h是自变量，所用材料的面积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：
设
5.1.2模型一的运用与求解
模型建立：
其中S是目标函数，
是约束条件，V是已知的，即要在体积一定的条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少？
模型求解：
因为按照实际测量数据可知
，所以带
的项可以忽略，且
，则有
，
求
的最小值，令其导数为零，即
，解得临界点为
，则
因为
，则
，所以当
时，是
最优解。
5.1.3模型一结果
在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:
h=1:
2，此时，模型最优。
5.2模型二的建立
5.2.1模型二概述
确定变量和参数：
设饮料内半径为R，高为H，体积为V，易拉罐顶盖、底盖厚度为a,其它部分厚度为b。
其中r和h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而a,b,c和V是固定参数。
则S和V分别为：
其中
5.2.2模型二的运用与求解
模型建立：
其中S是目标函数，
是约束条件，厚度比例与V是已知的，即要在体积V一定的条件下求r和h的取值是多少时体积S最小。
模型求解:
因为按照实际测量数据可知
，所以带
的项可以忽略，且
，则
.求
的最小值，令其导数为零，即
，解得临界点为
则
.
5.2.3模型二结果
因为
，则
，因此当H=6R时，S为最优解。
6.模型的分析
5.1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
6.1假设的合理性分析
假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:
H=1:
6，此时，，观察模型
（一）与模型
（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab，壁的厚度为a，其中b为比例系数，则R:
H=1:
2b。
6.2可靠性分析
在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时，圆柱的表面积最小。
考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于开盖），高度h是底半径r的6倍时，圆柱的表面积最小。
第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。
7.模型的检验
用模型计算数据与实际数据进行比对，计算误差大小，结合模型的分析说明误差产生的原因，以及误差是否在模型估计和实际许可的范围之内。
所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时，模型最优。
不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于能力有限暂时无法解释。
8.模型的推广
模型在实际问题中的应用：
这种模型是确定体积相同的时候，尽可能少使用材料，而且美观大方的设计理念，在生活中有很多应用，比如说很厂商需要找设计公司设计出用材料最少的包装盒，就会用到这种设计理念。
9.模型的评价与优化
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
9.1模型的优缺点分析
9.1.1模型的优点
优化设计，利用简单的算法简便了大部分运算，得出较为准确的模型。
9.1.2模型的缺点
过于简略，模型并不很完善，实际情况边角误差较大。
9.2模型的优化
9.2.1模型的优化方案
易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体，易拉罐整体厚度不，
确定变量和参数：
设易拉罐顶盖半径为，底盖半径为R，正圆柱体高为H，正圆台高为h,体积为V，其中R,r,H,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：
其中
9.2.2优化模型的建立、求解与分析
模型建立：
其中S是目标函数，
是约束条件，V是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R，r，H，h的取值各是多少？
模型求解：
利用LINGO求解，设
=
且
则
利用LINGO计算结果（见附表二），得，
，
时，S为最优解。
模型分析：
在假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆拄体，且厚度不同，顶盖、底部半径是罐身3倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过软件（LINGO）得到
约等于
，
，模型最优。
以材料节约、实用为基础，建立易拉罐的形状和尺寸最有设计的模型。
这个模型更为优化。
因为，本文在建立模型时发现，这个模型在制作过程中，所用材料更为节约，造价更低，所以，这种模型更为优化。
参考文献
[1]吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材[M],长春：
吉林大学出版社,2002。
[2]刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模[M].北京：
北京师范大学出版社，1997。
[3]陈如栋,于延荣,数学模型与数学建模[M].北京：
国防工业出版社,2006。
[4]姜启源,谢金星,叶俊,数学模型（第三版）[M].北京：
高等教育出版社,2003。
[5]梁炼，数学建模[M]。
华东理工大学大学出版社2005.3。
[6]邓俊辉译,计算几何-算法与应用（第二版）[M].北京：
清华大学出版社，2005.9。
[7]叶其孝，对一些问题的思考。
网址：
:
85/~kjqk/bjlydxxb/bjly2003/0303pdf/030312.pdf
[8]王绵森、马知恩,《工科数学分析基础》（上册），高等教育出版社，1998
[9]吴英桦、俞加梁，《容器设计》，中国轻工业出版社，1995
[10]解可新、韩立兴、林友联，《最优化方法》，天津大学出版社，1997
附件
1.附件一
标题：
LINGO最优化软件
说明：
在LINGO输入
min=（x1^2+x3^2+2*x1*x2+（x1+x3）*（x4^2+（x1-x3）^2）^（1/2））*3.1415926;
3.14159*x1^2*x2+（1/3）*3.14159*（x1^2+x1*x3+x3^2）*x4=355;
init:
x1=2;
x2=4;
x3=2;
x4=1;
endinit
得
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