最新高等数学上册期末考试试题含答案AEQ.docx
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最新高等数学上册期末考试试题含答案AEQ
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．
设一路灯高4m，一人高
m，若人以56m·min-1的等速沿直线离开灯柱，证明：
人影的长度以常速增长.
证明：
如图，设在t时刻，人影的长度为ym.
则
化简得
（m·min－1）.
即人影的长度的增长率为常值.
2．将函数
展开成x的幂级数．
解：
由于
所以
（|x|≤1）
3．若
存在，证明：
级数
收敛．
证：
∵
存在，∴∃M>0，使|n2Un|≤M，
即n2|Un|≤M，|Un|≤
而
收敛，故
绝对收敛．
4．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。
解：
如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素
（图22）
则
则
故所求引力的大小为
，方向自N点指向圆弧的中点。
5．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求
d）星形线所围面积；
e）绕x轴旋转所得旋转体的体积；
f）星形线的全长．
解：
（1）
．
（2）
（3）xt′=3acos2tsint
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，
．
6．求下列曲线段的弧长：
a），0≤x≤2；
解：
见图18，2yy′=2．
∴．从而
（18）
b）y=lnx，；
解：
．
c）；
解：
=4.
7．求下列各曲线所围图形的面积：
（1）与x2+y2=8（两部分都要计算）；
解：
如图D1=D2
解方程组得交点A（2，2）
（1）
∴,
．
（2）与直线y=x及x=2；
解：
.
（2）
（3）y=ex，y=ex与直线x=1；
解：
．
（3）
（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．（b>a>0）；
解：
．
（4）
（5）抛物线y=x2和y=x22；
解：
解方程组得交点（1，1），（1，1）
．
（5）
（6）y=sinx，y=cosx及直线；
解：
．
（6）
（7）抛物线y=x2+4x3及其在（0，3）和（3，0）处的切线；
解：
y′=2x+4．∴y′（0）=4，y′（3）=2．
∵抛物线在点（0，3）处切线方程是y=4x3
在（3，0）处的切线是y=2x+6
两切线交点是（，3）．故所求面积为
（7）
（8）摆线x=a（tsint），y=a（1cost）的一拱（0≤t≤2π）与x轴；
解：
当t=0时，x=0,当t=2π时，x=2πa．
所以
（8）
（9）极坐标曲线ρ=asin3φ；
解：
．
（9）
（10）ρ=2acosφ；
解：
．
（10）
8．讨论下列广义积分的敛散性：
;
解：
原式=
故该广义积分当
时收敛；
时发散.
.
解：
原式=
综上所述，当k<1时，该广义积分收敛，否则发散.
9．已知
求
.
解：
原式=
10．问a，b为何值时，点（1，3）为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解：
y′=3ax2+2bx,y″=6ax+2b
依题意有
解得
.
11．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
;
证明：
令
，
则曲线y=f（x）是凹的，因此
，
即
.
;
证明：
令f（x）=ex
.
则曲线y=f（x）是凹的，
则
即
.
证明：
令f（x）=xlnx（x>0）
则曲线
是凹的，
，x≠y，有
即
，
即
.
12．判定下列曲线的凹凸性：
（1）y=4x－x2；
解：
，故知曲线在
内的图形是凸的.
（2）
；
解：
由sinhx的图形知，当
时，
，当
时，
，
故y=sinhx的曲线图形在
内是凸的，在
内是凹的.
；
解：
，故曲线图形在
是凹的.
（4）y=xarctanx.
解：
，
故曲线图形在
内是凹的.
13．试证明：
如果函数
满足条件
，那么这函数没有极值.
证明：
，令
，得方程
，
由于
，那么
无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.
14．将f（x）=2+|x|（-1≤x≤1）展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数
的和.
解：
f（x）在（-∞,+∞）内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f（x）是偶函数，故bn=0,（n=1,2,…）
所以
，x∈[-1,1]
取x=0得，
，故
所以
15．验证：
函数
在
上满足罗尔定理的条件，并求出相应的
，使
.
证：
在区间
上连续，在
上可导，且
，即在
上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点
使
.事实上，由
得
故取
，可使
.
16．设
求
.
解:
17．一点沿对数螺线
运动，它的极径以角速度
旋转，试求极径变化率.
解：
18．求函数
在
处的
阶泰勒公式.
解：
19．利用麦克劳林公式，按
乘幂展开函数
.
解：
因为
是
的6次多项式，所以
计算出：
，
故
20．求自由落体运动
的加速度.
解：
即为加速度.
21．已知
求当
时
的值.
解：
.
22．已知
，求
.
解：
当
时，
当
时，
故
不存在.
又
故
不存在.
综上所述知
.
23．如果
为偶函数，且
存在，证明：
证明：
故
24．设
，求
.
解：
，故
.
25．设
在
上连续，且
，证明：
至少存在一点
，使
.
证：
令
则
在
上连续，且
若
，则
若
则
若
则
由零点定理，至少存在一点
使
即
.
综上所述，至少存在一点
，使
.
26．当x=0时，下列函数无定义，试定义
的值，使其在x=0处连续:
解：
∴补充定义
可使函数在x=0处连续.
∴补充定义
可使函数在x=0处连续.
∴补充定义
可使函数在x=0处连续.
∴补充定义
可使函数在x=0处连续.
27．研究下列函数的连续性，并画出图形：
解：
（1）由初等函数的连续性知，
在（0，1），（1，2）内连续，
又
而
，
在
处连续，
又，由
，知
在
处右连续，
综上所述，函数
在[0，2）内连续.函数图形如下：
图1-2
（2）由初等函数的连续性知
在
内连续，又由
知
不存在，于是
在
处不连续.
又由
及
知
，从而
在x=1处连续，
综上所述，函数
在
及
内连续，在
处间断.函数图形如下：
图1-3
（3）∵当x<0时，
当x=0时，
当x>0时，
由初等函数的连续性知
在
内连续，
又由
知
不存在，从而
在
处间断.综上所述，函数
在
内连续，在
处间断.图形如下：
图1-4
（4）当|x|=1时，
当|x|<1时，
当|x|>1时，
即
由初等函数的连续性知
在（－∞,－1）,（－1,1）,（1,+∞）内均连续，又由
知
不存在，从而
在
处不连续.
又由
知
不存在，从而
在
处不连续.
综上所述，
在（－∞,－1）,（－1,1）,（1,+∞）内连续，在
处间断.
图形如下：
图1-5
28．当
时，无穷小量
与
是否同阶？
是否等价？
解：
∴当
时，
是与
同阶的无穷小.
∴当
时，
是与
等价的无穷小.
29．利用重要极限
，求下列极限：
解：
（6）令
，则当
时，
.
30．试证:
方程
只有一个实根.
证明:
设
，则
为严格单调减少的函数，因此
至多只有一个实根.而
，即
为
的一个实根，故
只有一个实根
，也就是
只有一个实根.
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一、解答题
1．无
2．无
3．无
4．无
5．无
6．无
7．无
8．无
9．无
10．无
11．无
12．无
13．无
14．无
15．无
16．无
17．无
18．无
19．无
20．无
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无
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