最新高等数学上册期末考试试题含答案AEQ.docx

1、最新高等数学上册期末考试试题含答案AEQ2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1设一路灯高4 m，一人高m，若人以56 mmin-1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t时刻，人影的长度为y m.则 化简得 (mmin1).即人影的长度的增长率为常值.2将函数展开成x的幂级数解：由于所以（|x|1）3若存在，证明：级数收敛证：存在，M0，使|n2Un|M，即n2|Un|M，|Un|而收敛，故绝对收敛4设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d

2、s对质点N的引力的近似值即为引力元素（图22）则则 故所求引力的大小为，方向自N点指向圆弧的中点。5 设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a0求d) 星形线所围面积；e) 绕x轴旋转所得旋转体的体积；f) 星形线的全长解：(1)(2)(3)xt=3acos2tsintyt=3asin2tcostxt2+ yt2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，6 求下列曲线段的弧长：a) ，0x2；解：见图18，2yy=2 从而(18)b) y=lnx，；解：c) ；解：=4.7 求下列各曲线所围图形的面积：（1） 与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程

3、组得交点A(2，2)(1) ,（2） 与直线y=x及x=2；解： .(2)（3） y=ex，y=ex与直线x=1；解：(3)（4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb(ba0)；解：(4)（5） 抛物线y=x2和y=x22；解：解方程组得交点 (1，1)，(1，1)(5)（6） y=sinx，y=cosx及直线；解： (6)（7） 抛物线y=x2+4x3及其在(0，3)和(3，0)处的切线；解：y=2x+4 y(0)=4，y(3)=2抛物线在点(0，3)处切线方程是y=4x3在(3，0)处的切线是y=2x+6两切线交点是(，3)故所求面积为(7)（8） 摆线x=a(tsint)，y=

4、a(1cost)的一拱 (0t2)与x轴；解：当t=0时，x=0, 当t=2时，x=2a所以(8)（9） 极坐标曲线 =asin3；解： (9)（10） =2acos；解： (10)8讨论下列广义积分的敛散性：;解：原式=故该广义积分当时收敛；时发散.解：原式=综上所述，当k0)则曲线是凹的，xy，有即 ，即 .12判定下列曲线的凹凸性：(1) y=4xx2；解：，故知曲线在内的图形是凸的.(2) ；解：由sinhx的图形知，当时，当时，故y=sinhx的曲线图形在内是凸的，在内是凹的.；解：，故曲线图形在是凹的.(4) y=xarctanx.解：，故曲线图形在内是凹的.13试证明：如果函数满

5、足条件，那么这函数没有极值.证明：，令，得方程，由于 ，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.14将f (x) = 2+|x| (-1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和.解：f(x)在(-,+)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,)所以，x-1,1取x=0得，故所以15验证：函数在上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使.证：在区间上连续，在上可导，且，即在上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点使.事实上，由得故取，可使.16设,求.解: 17一点沿对数螺线运动，它的极径以角速度旋转，试求极径变化率.解： 18求函数在处的阶

6、泰勒公式.解： 19利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.解：因为是的6次多项式，所以计算出：，故20求自由落体运动的加速度.解：即为加速度.21已知求当时的值.解：.22已知，求.解：当时，,当时，,故不存在.又 故不存在.综上所述知.23如果为偶函数，且存在，证明：证明：故24 设，求.解：，故.25设在上连续，且，证明：至少存在一点，使.证：令,则在上连续，且若，则若,则,若,则,由零点定理，至少存在一点,使即.综上所述，至少存在一点，使.26当x=0时，下列函数无定义，试定义的值，使其在x=0处连续:解：补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.补充定义可使函数在x=

7、0处连续.补充定义可使函数在x=0处连续.27研究下列函数的连续性，并画出图形：解：(1)由初等函数的连续性知，在（0，1），（1，2）内连续，又 而，在处连续，又，由，知在处右连续，综上所述，函数在0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知在内连续，又由知不存在，于是在处不连续.又由及知，从而在x=1处连续，综上所述，函数在及内连续，在处间断.函数图形如下：图1-3(3)当x0时，由初等函数的连续性知在内连续，又由 知不存在，从而在处间断.综上所述，函数在内连续，在处间断.图形如下：图1-4(4)当|x|=1时，当|x|1时，即 由初等函数的连续性知在(,1),(1

8、,1),(1,+)内均连续，又由知不存在，从而在处不连续.又由 知不存在，从而在处不连续.综上所述，在(,1),(1,1),(1,+)内连续，在处间断.图形如下：图1-528当时，无穷小量与是否同阶？是否等价？解：当时，是与同阶的无穷小.当时，是与等价的无穷小.29利用重要极限，求下列极限：解：(6)令，则当时，.30试证:方程只有一个实根.证明:设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有一个实根.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、解答题1无2无3无4无5无6无7无8无9无10无11无12无13无14无15无16无17无18无19无20无21无22无23无24无25无26无27无28无29无30无