R《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答.pdf

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初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院1/77第一章第一章整数的可除性整数的可除性1整除的概念带余除法1证明定理3定理3若12naaa，都是m得倍数，12nqqq，是任意n个整数，则1122nnqaqaqa是m得倍数证明：

12,naaa都是m的倍数。

存在n个整数12,nppp使1122,nnapmapmapm又12,nqqq是任意n个整数1122nnqaqaqa1122nnqpmqpmqpm1122（）nnpqqpqpm即1122nnqaqaqa是m的整数2证明3|

（1）（21）nnn证明

（1）（21）

（1）（21）nnnnnnn

（1）

（2）

（1）

（1）nnnnnn又

（1）

（2）nnn，

（1）

（2）nnn是连续的三个整数故3|

（1）

（2）,3|

（1）

（1）nnnnnn3|

（1）

（2）

（1）

（1）nnnnnn从而可知3|

（1）（21）nnn3若00axby是形如axby（x，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00（）|（）axbyaxby初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院2/77证：

ab不全为0在整数集合|,SaxbyxyZ中存在正整数，因而有形如axby的最小整数00axby,xyZ，由带余除法有0000（）,0axbyaxbyqrraxby则00（）（）rxxqayyqbS，由00axby是S中的最小整数知0r00|axbyaxby00|axbyaxby（,xy为任意整数）0000|,|axbyaaxbyb00|（,）.axbyab又有（,）|aba，（,）|abb00（,）|abaxby故00（,）axbyab4若a，b是任意二整数，且0b，证明：

存在两个整数s，t使得|,|2babstt成立，并且当b是奇数时，s，t是唯一存在的当b是偶数时结果如何？

证：

作序列33,0,2222bbbbbb则a必在此序列的某两项之间即存在一个整数q，使122qqbab成立（）i当q为偶数时，若0.b则令,22qqstabsab，则有02222bqqqabstababbt若0b则令,22qqstabsab，则同样有2bt（）ii当q为奇数时，若0b则令11,22qqstabsab，则有初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院3/771102222bbqqtabsababt若0b，则令11,22qqstabsab，则同样有2bt，综上所述，存在性得证下证唯一性当b为奇数时，设11abstbst则11（）ttbssb而111,22bbttttttb矛盾故11,sstt当b为偶数时，,st不唯一，举例如下：

此时2b为整数11312（）,22222bbbbbbbtt2最大公因数与辗转相除法最大公因数与辗转相除法1证明推论4.1推论4.1a，b的公因数与（a，b）的因数相同证：

设d是a，b的任一公因数，d|a，d|b由带余除法111222111111,0nnnnnnnnnnabqrbrqrrrqrrrqrrrrb（,）nabrd|1abq1r，d|122brqr，,d|21（,）nnnnrrqrab,即d是（,）ab的因数。

初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院4/77反过来（,）ab|a且（,）ab|b，若|（,）,dab则|,|dadb，所以（,）ab的因数都是,ab的公因数，从而,ab的公因数与（,）ab的因数相同。

2证明：

见本书P2，P3第3题证明。

3应用1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）解：

有1习题4知：

0,abZbstZ使,|2babstt。

，11,st，使1112|,|,22tbbsttt如此类推知：

21,;nnnnnnstttst11111,;nnnnnnstttst且1221|2222nnnnntttbt而b是一个有限数，,nN使10nt1121（,）（,）（,）（,）（,）（,0）nnnnabbttttttttt，存在其求法为：

1（,）（,）（,（）abbabsabsbabss（76501,9719）（9719,7650197197）（8468,97198468）（1251,846812516）（3,1）14证明本节

（1）式中的loglog2bn初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院5/77证：

由P31习题4知在

（1）式中有12112102222nnnnnnrrrbrr，而1nr1,22nnbb，2logloglog2bnb，即loglog2bn3整除的进一步性质及最小公倍数整除的进一步性质及最小公倍数1证明两整数a，b互质的充分与必要条件是：

存在两个整数s，t满足条件1axbt证明必要性。

若（,）1ab，则由推论1.1知存在两个整数s，t满足：

（,）asbtab，1asbt充分性。

若存在整数s，t使as+bt=1，则a，b不全为0。

又因为（,）|,（,）|abaabb，所以（,|）abasbt即（,）|1ab。

又（,）0ab，（,）1ab2证明定理3定理31212,|,|,|nnaaaaaa证：

设121,naaam，则1|（1,2,）iamin1|（1,2,）iamin又设122|,|,|naaam则21|mm。

反之若2|iam，则2|iam，12|mm从而12mm，即12,naaa=122|,|,|naaa3设1110nnnnaxaxaxa

（1）是一个整数系数多项式且0a，na都不是零，则

（1）的根只能是以0a的因数作分子以na为分母的既约分数，并由此推出2不是有理数证：

设

（1）的任一有理根为pq，（,）1,1pqq。

则初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院6/771110（）（）0nnnnpppaaaaqqq111100nnnnnnapapqapqaq

（2）由11110

（2）nnnnnnapapqapqaq，所以q整除上式的右端，所以|nnqap，又（,）1,1pqq，所以（,）1,|nnqpqa；又由

（2）有11110nnnnnnapapqapqaq因为p整除上式的右端，所以0|nPaq，（,）1,1pqq，所以（,）1,|nnqppa故

（1）的有理根为pq，且0|,|npaqa。

假设2为有理数，22,20xx，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是1,2，这与2为其有理根矛盾。

故2为无理数。

另证，设2为有理数2=,pq（,）1,1pqq，则2222222222,2,（,）（2,）1pqppqqpqq但由（,）1,1pqq知22（,）1pq，矛盾，故2不是有理数。

4质数质数算术基本定理算术基本定理1试造不超过100的质数表解：

用Eratosthenes筛选法

（1）算出10010a

（2）10内的质数为：

2，3，5，7初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院7/77（3）划掉2，3，5，7的倍数，剩下的是100内的素数将不超过100的正整数排列如下：

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798991002求82798848及81057226635000的标准式解：

因为8|848，所以38|,827988488103498562AAB，又8|856，所以8|B，3812937322BC，又4|32，所以4|C，243234332CD又9|（3+2+3+4+3+3），所以9|D，29359373DE，又9|（3+5+9+3+7），所以9|E，93993E又3399331331311所以8532311A；同理有3343281057226635000235711172337。

3证明推论证明推论3.3并推广到并推广到n个正整数的情形个正整数的情形推论3.3设a，b是任意两个正整数，且1212nnappp，0i，1,2,ik，1212nnbppp，0i，1,2,ik，则1212（,）kkabppp，1212,kkabppp，初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院8/77其中min（,）iii，min（,）iii，1,2,ik证：

min（,）iii，0,0iiii|,|iiiiiiiipppp（1,2）ik11iikkiiiipp，11iikkiiiipp.1212|（,）kkpppab，又显然1212（,）|kkabppp1212（,）kkpppab，同理可得1212,kkpppab，max,iii推广设11112112kkappp,22122212kkappp,1212,nnnknkappp（其中jp为质数1,2,ijka为任意n个正整数1,2,0ijin），则1212121（,）,min,1,2,iiikknijijinpppaaajk1212121,max,1,2,iiikknijijinpppaaajk4应用推论3.3证明3的定理4（ii）证：

设12111212kkkkapppbppp，其中p1,p2,pk是互不相同的素数，i，i（1ik）都是非负整数，有11111212（,）min,1,max,1kkkiiikiiiabpppikabpppik，。

由此知（a,b）a,b=min,max,111iiiiiiiikkkiiiiiippp=ab；从而有,（,）ababab若n21是质数（n1），则n是2的方幂证：

（反证法）设2（knll为奇数），则2222

（1）2

（2）2121

（2）1（21）221kkkkknllll初等数论习题解答（初等数论习题解答（第三第三版）版）广东石油化工学院广东石油化工学院9/7722121

（2）121kkln，21n为合数矛盾，故一定为的方幂5函数函数x,x及其在数论中的一个应用及其在数论中的一个应用1求30！

的标准分解式解：

30内的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29223453030303030222221543102332343030303033331031014523303030610755572303040477，1123030202111113230302021313，13230302021313