上高中教师资格证数学真题及答案.pdf

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2015年上半年中小学教师资格证考试数学学科知识与教学能力试题（高中数学）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。

错选、多选或未选均无分。

1已知集合13|,1,1,|3,0xMyyxxNyyx，则集合MN=（）。

A（,1B1CD（1,12,abR，“ab”是“33|aabb”成立的（）。

A充分条件但不是必要条件B充分必要条件C必要条件但不是充分条件D以上都不是3与命题“（）yfx在0x连续”不等价的命题是（）。

A对任意数列nx，0nxx，有0lim（）（）nnfxfxB0,0，使得0|xx，有0|（）（）|fxfxC存在数列nx，0nxx，有0lim（）（）nnfxfxD对任意数列nx，0nxx，0,NnN有0|（）（）|nfxfx4三次函数32yaxbxcxd的导函数图像如图1，则此三次函数的图像是（）。

ABCD5设x是代数方程（）fx=0的根，则下列结论不正确的是（）。

Ax是（）fx的因式Bx整除（）fxC（,0）是函数（）yfx的图像与x轴的交点D（）0f6221xxyy表示的曲线是（）。

xy0yx0A椭圆B双曲线C抛物线D两条相交直线7下列图形符号中表示算法程序“判断框”的是（）。

ABCD8下面是关于学生数学学习评价的认识：

通过考查学生的知识技能就可以对学生的数学学习进行全面评价通过考查学生的情感与态度就可以对学生的数学学习水平进行评价数学学习的评价重在学习过程，对于学习结果不必看重数学学习的评价重在激励学生学习，而不是改进教师教学其中，不正确的为（）。

ABCD二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9某投资人本金为A元。

投资策略为：

（1）一年连续投资n次，每个投资周期为1n年；

（2）在每个投资周期中，利率均为xn；（3）总是连本带息滚动投资。

回答下列问题：

（1）一年后的资金总额？

（2）当n时，资金总额是否趋于无穷？

10某人从A处开车到D处上班，若各路段发生堵车事件是相互独立的，发生堵车的概率如图2所示（例如路段AC发生堵车的概率是110）。

请选择一条由A到D的路线，使得发生堵车的概率最小，并计算此概率。

图211pxq是整系数方程32380xbxcx的根，其中p，q互素，证明：

p整除8，q整除3。

12举例说明运用分析法证明数学结论的思维过程和特点。

13简述“尺规作图”的基本要求，并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的具体内容。

三、解答题（本大题1小题，10分）14已知方程221,0xypxqyz表示的几何图形是椭圆，求出其短半轴与长半轴的长度。

四、论述题（本大题1小题，15分）15以高中阶段的函数概念为例，阐述数学课程内容的呈现如何体现螺旋上升的原则？

五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题。

16方式1实数有加法运算，那么下列集合的关系呢？

方式2班里有会弹钢琴的，会打拳击的，会（给出集合的并集的定义）方式3前面学习了集合，集合的表示、基本关系，接下来呢

（1）分析三种引入方式的特点；（6分）

（2）对于方式3，教师可以引导学生进一步提出哪些问题；（6分）（3）数学概念引入的关键点是什么？

（4分）如何使数学概念的引入更加自然？

（4分）六、教学设计题（本大题1小题，30分）17“两角差的余弦公式”是高中数学必修4中的内容“经历用向量的数量积推出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用”请完成“两角差的余弦公式推导过程”教学设计中的下列任务：

（1）分析学生已有的知识基础；

（2）确定学生学习的难点；（3）写出推导过程。

2015年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）参考答案及解析一、单项选择题1【答案】B。

解析：

集合|1,1Myy，|1Nyy，所以MN=1。

2【答案】B。

（1）当0,0ab时，4433ababaabb；

（2）0,0ab时，4433ababaabb；（3）当00ab，时，显然有33abaabb成立，因此ab是33aabb成立的充分必要条件。

3【答案】C。

解析：

设函数1,（）0xfx为有理数，其他，21nnxn；则有12nx，1lim（）（）12nnfxf，但是（）fx处处不连续。

4【答案】B。

解析：

（）fx在某个区间I内有导数，则（）0（xI）fx（）0fx在I内为增函数；（）0（xI）（）fxfx在I内为减函数。

结合图1中导函数的函数值从左到右依次大于0、小于0、大于0，因此原函数图象从左到右变化趋势依次是单调递增、单调递减、单调递增。

因此选B。

5【答案】D。

解析：

由于x是代数方程（）0fx的根，固有（）0f，x是（）fx的因式，x整除（）fx，（,0）是函数（）yfx的图像与x轴的交点，但是不一定有（）0f，比如（）2fxx。

6【答案】A。

解析：

由旋转变换的矩阵表示，设?

，y为原坐标系中坐标，?

，y?

为旋转后坐标系中的坐标。

则?

cos?

sin?

sin?

cos?

（为逆时针旋转的角度），当=45时，?

，可得?

。

将?

代入原方程?

t，可得t?

t。

故?

t表示的曲线是椭圆。

7【答案】D。

解析：

A选项是起止框（终端框），B选项是输入、输出框，C选项是处理框（执行框），D选项是判断框。

8【答案】D。

解析：

学生数学学习评价的基本理念：

“评价的主要目的是全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。

对数学学习的评价要关注学生的学习结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。

”二、简答题9【答案】解析：

（1）第1个投资周期后资金为A（1+xn）元，第2个投资周期后资金总额为A（1+xn）2元，第n个投资周期后，即一年后资金总额为A（1+xn）n元。

（2）lim

（1）lim

（1）nnxxnnxxAAnnAex即当n时，资金总额趋于Aex元，不会趋于无穷。

10【答案】解析：

由A到D的线路有两条分别是A-B-D，A-C-D。

走A-B-D发生堵车的概率为11141141

（1）

（1）151251215P，走A-C-D发生堵车的概率为2119511

（1）

（1）11061064P。

显然21PP，所以走A-C-D线路发生堵车概率最小，概率为14。

11【答案】证明：

由已知可得，整系数方程32380xbxcx可分解为2-0qxplxmxn，其中lmn，均为整数，展开后，得32-0lqxmqlpxnqmpxnp与原方程比较得，38lpnp，。

因为l，n均为整数，所以p整除8，q整除3。

12【参考答案】从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法。

分析法证明的思维过程：

用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：

分析法证明的特点：

从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件。

例如：

对于任意的0,0ba，满足基本不等式abba2的证明过程。

分析法证明：

要证abba2只需证：

abba2只需证：

02abba只需证：

0）（2ba因为0）（2ba成立所以）0,0（2baabba成立。

13【参考答案】尺规作图的基本要求：

（1）尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同；

（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

（3）圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度。

古希腊时期“几何作图三大问题”：

这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的：

（1）立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。

（2）化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。

（3）三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。

三、解答题14【答案】已知椭圆即为柱面221xy与平面：

px+qy+z=0的交线。

平面经过坐标原点，椭圆的中心在坐标原点。

设椭圆上任一点P（x，y，z），则原点O与P的距离r的最大、小值即为椭圆的长半轴与短半轴长。

22221rxyzz，当z=0时，min1r而2222211（）rxyzzpxqy，由柯西不等式得22222221（）1（）（）1rpxqypqxypq，当且仅当py=qx时，取等号。

故椭圆的短半轴长为1，长半轴长为221pq。

四、论述题（本大题1小题，15分）15【参考答案】数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。

因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。

螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。

例如，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。

因此，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。

依据内容标准的要求，教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段：

第一阶段，通过一些具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系。

从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。

第二阶段，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。

引导学生不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。

第三阶段，鼓励学生运用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等，在这个过程中反复体会函数的概念，才能真正掌握，灵活应用。

五、案例分析题16【参考答案】

（1）方式一的引入，从学生熟悉的实数加法运算入手，降低了认知难度。

但是集合间的运算的交、并、补、差与实数的运算虽然有一定的联系，但是也有差别。

在教学过程中注意引导学生思考探究避免出现运算误区。

方式二的引入，利用学生身边的人创设问题情景，降低对新知识的陌生感，引发学生思维的共鸣。

方式三的引入，复习以前学过的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，降低学生对新知识的认知难度。

但是缺乏具体内容的回顾，只是简单的提及，不能够全面的顾及到班上的所有学生对已有知识的复习达到降低对新知识认知难度的目的。

（2）问题1集合之间是否也具备一些运算规律呢？

问题2集合的并集运算与实数的加法运算有什么异同点？

问题3集合的补集运算与实数的减法运算有什么异同点？

问题4集合的交集运算需要注意的问题有什么？

（3）数学概念的引入的关键点为：

注意运用新、旧知识之间的内在联系；调动学生认知结构中已有感性经验和知识，去感知理解材料，创设具体情境，从具体事例抽象出数学概念。

在利用新旧知识之间的联系引入概念时，注意创设类比发现的问题情境，关注新旧知识的链接，尝试引入新的概念，这样引入容易使学生在原有的认知结构中得到同化和建构。

通过创设情境，从具体事例抽象出数学概念时要求充分调动学生认知结构中已有感性经验和知识，去感知理解材料，经过思维加工产生认识飞跃，继而组织成完整的概念图式。

在具体引入概念的过程中可以通过实例、绘图或是多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点，使学生思维由感性认识自然过渡到理性认识。

六、教学设计题17【参考答案】

（1）