理论力学第三版(周衍柏)习题答案.pdf

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第一章第一章质点力学质点力学第一章习题解答第一章习题解答1.1由题可知示意图如题1.1.1图:

SS2t1t题1.1.1图设开始计时的时刻速度为0v,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a.则有:

（）（）+=221210211021221ttattvsattvs由以上两式得11021attsv+=再由此式得（）（）2121122ttttttsa+=证明完毕.1.2解由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.ABO题1.2.1图设A船经过0t小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过+2110t小时经过灯塔任意时刻A船的坐标-2-（）ttxA15150=，0=AyB船坐标0=Bx，+=ttyB15211150则AB船间距离的平方（）（）222BABAyyxxd+=即（）2021515ttd=201521115+tt（）202002211225225675900450+=ttttt2d对时间t求导（）（）67590090002+=ttdtddAB船相距最近，即（）02=dtdd，所以htt430=即午后45分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315+=skm1.3解（）1如题1.3.2图xyCaBArOa第1.3题图-3-ABCraxyO题1.3.2图由题分析可知，点C的坐标为=+=sincoscosayarx又由于在AOB中，有sin2sinar=（正弦定理）所以ryra2sin2sin=联立以上各式运用1cossin22=+由此可得ryaxrax22coscos=得12422222222=+ryaxyaxry得22222223yaxraxy=+化简整理可得（）（）2222222234rayxyax+=此即为C点的轨道方程.

（2）要求C点的速度，分别求导=2cossincos2cossinryrrx-4-其中=又因为sin2sinar=对两边分别求导故有cos2cosar=所以22yxV+=4cossincos2cossin2222rrr+=（）+=sincossin4coscos22r1.4解如题1.4.1图所示，ABOCLxd第1.4题图OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量22xdOCv+=C点速度dxddvvv222secseccos+=又因为=所以C点加速度=tansecsec2ddtdva（）2222222tansec2dxdxd+=-5-1.5解由题可知，变加速度表示为=Ttca2sin1由加速度的微分形式我们可知dtdva=代入得dtTtcdv=2sin1对等式两边同时积分dtTtcdvtv=002sin1可得：

DTtcTctv+=2cos2（D为常数）代入初始条件：

0=t时，0=v，故cTD2=即+=12cos2TtTtcv又因为dtdsv=所以=dsdtTtTtc+12cos2对等式两边同时积分，可得：

+=tTtTTtcs2sin222121.6解由题可知质点的位矢速度-6-r=/v沿垂直于位矢速度=v又因为rr=/v，即rr=rv即r=（）（）jjjjiiiivvvvaaaardtdrdtddtd+=（取位矢方向iiii，垂直位矢方向jjjj）所以（）jjjjiiiiiiiiiiiirrdtdridtrdrdtd+=+=（）dtdrdtdrdtdrrdtdjjjjjjjjjjjjjjjj+=iiiijjjjjjjj2rrr+=故（）（）jjjjiiiiaaaarrrr22+=即沿位矢方向加速度（）2rra=垂直位矢方向加速度（）rra2+=对求导rrr2=对求导rrr+=2+=r把代入式中可得rra222/=+=ra1.7解由题可知-7-=sincosryrx对求导sincosrrx=对求导cossinsin2cos2rrrrx=对求导cossinrry+=对求导sincoscos2sin2rrrry+=对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1图raaaaaaaaOxy题1.7.1图即+=+=cossinsincosaayaaxrr-对俩式分别作如下处理：

cos，sin即得+=cossinsinsincossincoscosaayaaxrr-+得sincosyxar+=把代入得2rrar=同理可得rra2+=1.8解以焦点F为坐标原点，运动如题1.8.1图所示-8-FOMxy题1.8.1图则M点坐标=sincosryrx对yx,两式分别求导+=cossinsincosrryrrx故（）（）22222cossinsincosrrrryxv+=+=222rr+=如图所示的椭圆的极坐标表示法为（）cos112eear+=对r求导可得（利用=）又因为（）（）221cos111eaeear+=即（）rerea=21cos所以（）（）2222222221211cos1sinerearrea+=故有（）2222224222sin1rearev+=（）2224221eare=（）（）12112222222erearrea+22r+-9-（）（）+=2222222221121eearrreear（）rrabr=2222即（）rarbrv=2（其中（）baeb,1222=为椭圆的半短轴）1.9证质点作平面运动，设速度表达式为jjjjiiiivvvvyxvv+=令为位矢与轴正向的夹角，所以dtdvdtdvdtdvdtdvdtdyyxxjjjjjjjjiiiiiiiivvvvaaaa+=jjjjiiii+=xyyxvdtdvvdtdv所以jjjjiiiiaaaa+=xyyxvdtdvvdtdv（）jjjjiiiiyxvv+yxyyyxxxvvdtdvvvvdtdvv+=dtdvvdtdvvyyxx+=又因为速率保持为常数，即CCvvyx,22=+为常数对等式两边求导022=+dtdvvdtdvvyyxx所以0=vvvvaaaa即速度矢量与加速度矢量正交.1.10解由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，-10-pp,2pp,2xyO题1.10.1图则质点切向加速度dtdvat=法向加速度2nva=，而且有关系式2v2kdtdv=又因为（）232y1y1+=2pxy2=所以ypy=32ypy=联立2322322yp1yp2kvdtdv+=又dydvydtdydydvdtdv=把2pxy2=两边对时间求导得-11-pyyx=又因为222yxv+=所以22221pyvy+=把代入23223222122121+=+ypypkvdydvpyv既可化为222pydykpvdv+=对等式两边积分222pydykpvdvppvu+=所以kuev=1.11解由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示aaaavvvv题1.11.1图=cossin2adtdvaarvatn两式相比得-12-dtdvrv=cos1sin2即2cot1vdvdtr=对等式两边分别积分200cot1vdvdtrvvt=即cot110rtvv=此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12证由题1.11可知质点运动有关系式=cossin2adtdvarv所以ddvdtdddvdtdv=，联立，有cossin2rvddv=又因为rv=所以dvdvcot=，对等式两边分别积分，利用初始条件0=t时，0=（）cot00=evv1.13证（a）当00=v，即空气相对地面上静止的，有牵相绝vvvvvvvvvvvv+=.式中绝v质点相对静止参考系的绝对速度，相v指向点运动参考系的速度，牵v指运动参考系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度：

绝v=v，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间-13-vlt=20.（b）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度01vvvvvvvvvvvv+=飞行时间01vvlt+=当飞机向西飞行时速度0vvvvv=+=牵相飞行时间02vvlt=故来回飞行时间021vvlttt+=+=0vvl+2022vvlv=即2200220112vvtvvvlt=同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间22001vvtt=（c）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图Avvvv0vvvv绝vvvvB题1.13.1图vvvvvvvvvvvv+=0绝-14-202vvv=所以来回飞行的总时间2022vvlt=2200220112vvtvvvl=同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为22001vvtt=1.14解正方形如题1.14.1图。

ACBD3v4v1v由题可知hkmvv/28=风牵设风速BA,hkmv/100=相,当飞机BA，hkmhkmv/128/）28100（1=+=hkmhkmvDB/96/28100,222=hkmhkmvDC/72/）28100（,3=4,vADhkmhkm/96/2810022=故飞机沿此边长6hkm/正方形飞行一周所需总时间min16515192499667269661286=+=hht2v风v相v题1.14.2图风v相v4v题1.14.3图-15-1.15解船停止时，干湿分界线在蓬前3，由题画出速度示意图如题.15.1图雨绝v船v雨相v3m题1.15.1图船雨相雨绝vvv+=故（）（）=+sinsin雨绝船vv又因为2=+，所以（）cossin+=雨绝船vv由图可知51cos,52244cos22=+=54cos,53sin=smv/8=雨绝所以cos）cossincos（sin+=雨绝船vv=8sm/1.16解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴.建立如题1.16.1图所示坐标系.xyOd水v题1.16.1图-16-所以水流速度（）=dydydkdykyv220又因为河流中心处水流速度为c=22ddkdkc所以dck2=。

当20dy时，ydcv2=水即=utyydcdtdx2-得tdtdcudx2=，两边积分tdtdcudxtx200=2tdcux=联立，得=202dyyudcx同理，当2dyd时，（）yddcv=2水即（）（）utddcyddcdtdx=22（）dtutddcdx=2（）为一常数DDudcyyucx+=22由知，当2dy=时，ucdx4=代入得ucdD2=有-17-udcyyucx22=ucd2，dyd2所以船的轨迹=dyducdyudcyucxdyyudcx2222022船在对岸的了；靠拢地点，即dy=时有ucdx2=1.17解以A为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.1C2CAxOrrrr题1.17.1图船沿垂直于rrrr的方向的速度为sinC1，船沿径向rrrr方向的速度为2C和1C沿径向的分量的合成，即=211cossinCCdtdrCdtdr-/得dCCrdr=cotsin12，对两积分：

CCCr+=sinln2tanlnln12设CkCC,2,12=为常数，即Crkk+=+11cos2sinlnln代入初始条件0rr=时，0=.设,200=有,cos2sinlnln01010+=kkrC得-18-0101110sincoscossin+=kkkkrr1.18解如题1.18.1图ABOaaaa题1.18.1图mg质点沿OA下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为cosga=.设竖直线hOB=，斜槽sOA=，易知,2,2+=OABOBA，由正弦定理+=2sin2sinhs即（）=coscoshs又因为质点沿光滑面OA下滑，即质点做匀速直线运动.所以22cos2121tgats=有（）0cos