理论力学第三版(周衍柏)习题答案.pdf

1、第一章第一章 质点力学质点力学第一章习题解答第一章习题解答1.1 由题可知示意图如题 1.1.1 图:SS2t1t题1.1.1图设开始计时的时刻速度为0v,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a.则有:()()+=221210211021221ttattvsattvs由以上两式得11021attsv+=再由此式得()()2121122ttttttsa+=证明完毕.1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.ABO题1.2.1图设A船经过0t小时向东经过灯塔,则向北行驶的B船经过+2110t小时经过灯塔任意时刻A船的坐标-2-()ttxA15150=，0=AyB船坐

2、标0=Bx，+=ttyB15211150则AB船间距离的平方()()222BABAyyxxd+=即()2021515ttd=201521115+tt()202002211225225675900450+=ttttt2d对时间t求导()()67590090002+=ttdtddAB船相距最近，即()02=dtdd，所以htt430=即午后 45 分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315+=skm1.3 解()1如题 1.3.2 图xyCaBArOa第 1.3题图-3-ABCraxyO题1.3.2图由题分析可知，点C的坐标为=+=sincoscosayarx又由于在AOB中，有

3、sin2sinar=（正弦定理）所以ryra2sin2sin=联立以上各式运用1cossin22=+由此可得ryaxrax22coscos=得12422222222=+ryaxyaxry得22222223yaxraxy=+化简整理可得()()2222222234rayxyax+=此即为C点的轨道方程.（2）要求C点的速度，分别求导=2cossincos2cossinryrrx-4-其中=又因为sin2sinar=对两边分别求导故有cos2cosar=所以22yxV+=4cossincos2cossin2222rrr+=()+=sincossin4coscos22r1.4 解 如题 1.4.1

4、图所示，ABOCLxd第1.4题 图OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量22xdOCv+=C点速度dxddvvv222secseccos+=又因为=所以C点加速度=tansecsec2ddtdva()2222222tansec2dxdxd+=-5-1.5 解 由题可知，变加速度表示为=Ttca2sin1由加速度的微分形式我们可知dtdva=代入得dtTtcdv=2sin1对等式两边同时积分dtTtcdvtv=002sin1可得：DTtcTctv+=2cos2（D为常数）代入初始条件：0=t时，0=v，故cTD2=即+=12cos2TtTtcv又因为dtdsv

5、=所以=dsdtTtTtc+12cos2对等式两边同时积分，可得：+=tTtTTtcs2sin222121.6 解 由题可知质点的位矢速度-6-r=/v沿垂直于位矢速度=v又因为rr=/v，即rr=rv即r=()()j j j ji i i iv v v va a a ardtdrdtddtd+=（取位矢方向i i i i，垂直位矢方向j j j j）所以()j j j ji i i ii i i ii i i i rrdtdridtrdrdtd+=+=()dtdrdtdrdtdrrdtdj j j jj j j jj j j jj j j j+=i i i ij j j jj j j j2r

6、rr+=故()()j j j ji i i ia a a a rrrr22+=即沿位矢方向加速度()2 rra=垂直位矢方向加速度()rra2+=对求导rrr2=对求导 rrr+=2+=r把代入式中可得rra222/=+=ra1.7解由题可知-7-=sincosryrx对求导sincosrrx=对求导cossinsin2cos2 rrrrx=对求导cossinrry+=对求导sincoscos2sin2 rrrry+=对于加速度a，我们有如下关系见题 1.7.1 图ra a a aa a a aOxy题1.7.1图即+=+=cossinsincosaayaaxrr -对俩式分别作如下处理：co

7、s，sin即得+=cossinsinsincossincoscosaayaaxrr -+得sincosyxar +=把代入得2 rrar=同理可得 rra2+=1.8 解以焦点F为坐标原点，运动如题 1.8.1 图所示-8-FOMxy题1.8.1图则M点坐标=sincosryrx对yx,两式分别求导+=cossinsincosrryrrx故()()22222cossinsincosrrrryxv+=+=222rr+=如图所示的椭圆的极坐标表示法为()cos112eear+=对r求导可得（利用=）又因为()()221cos111eaeear+=即()rerea=21cos所以()()222222

8、2221211cos1sinerearrea+=故有()2222224222sin1rearev+=()2224221eare=()()1211 2222222erearrea+22r+-9-()()+=2222222221121eearrreear()rrabr=2222即()rarbrv=2（其中()baeb,1222=为椭圆的半短轴）1.9 证质点作平面运动，设速度表达式为j j j ji i i iv v v vyxvv+=令为位矢与轴正向的夹角，所以dtdvdtdvdtdvdtdvdtdyyxxj j j jj j j ji i i ii i i iv v v va a a a+=j

9、 j j ji i i i+=xyyxvdtdvvdtdv所以j j j ji i i ia a a a+=xyyxvdtdvvdtdv()j j j ji i i iyxvv+yxyyyxxxvvdtdvvvvdtdvv+=dtdvvdtdvvyyxx+=又因为速率保持为常数，即CCvvyx,22=+为常数对等式两边求导022=+dtdvvdtdvvyyxx所以0=v v v va a a a即速度矢量与加速度矢量正交.1.10 解 由题可知运动轨迹如题 1.10.1 图所示，-10-pp,2pp,2xyO题1.1 0.1图则质点切向加速度dtdvat=法向加速度2nva=，而且有关系式2v

10、2kdtdv=又因为()232y1y1+=2pxy2=所以ypy=32ypy=联立2322322yp1yp2kvdtdv+=又dydvydtdydydvdtdv=把2pxy2=两边对时间求导得-11-pyyx=又因为222yxv+=所以22221pyvy+=把代入23223222122121+=+ypypkvdydvpyv既可化为222pydykpvdv+=对等式两边积分222pydykpvdvppvu+=所以kuev=1.11 解 由题可知速度和加速度有关系如图 1.11.1 所示a a a av v v v题1.1 1.1图=cossin2adtdvaarvatn两式相比得-12-dtdv

11、rv=cos1sin2即2cot1vdvdtr=对等式两边分别积分200cot1vdvdtrvvt=即cot110rtvv=此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12 证 由题 1.11 可知质点运动有关系式=cossin2adtdvarv所以ddvdtdddvdtdv=，联立，有cossin2rvddv=又因为rv=所以dvdvcot=，对等式两边分别积分，利用初始条件0=t时，0=()cot00=evv1.13 证（a）当00=v，即空气相对地面上静止的，有牵相绝v v v vv v v vv v v v+=.式中绝v质点相对静止参考系的绝对速度，相v指向点运动参考系的速度，牵v指运动参考

12、系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度：绝v=v，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间-13-vlt=20.（b）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度01v v v vv v v vv v v v+=飞行时间01vvlt+=当飞机向西飞行时速度0vvvvv=+=牵相飞行时间02vvlt=故来回飞行时间021vvlttt+=+=0vvl+2022vvlv=即2200220112vvtvvvlt=同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间22001vvtt=（c）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题 1.13.1 图Av v v v0v v v v绝v v v vB题1

13、.1 3.1图v v v vv v v vv v v v+=0绝-14-202vvv=所以来回飞行的总时间2022vvlt=2200220112vvtvvvl=同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为22001vvtt=1.14 解正方形如题 1.14.1 图。ACBD3v4v1v由题可知hkmvv/28=风牵设风速BA,hkmv/100=相,当飞机BA，hkmhkmv/128/)28100(1=+=hkmhkmvDB/96/28100,222=hkmhkmvDC/72/)28100(,3=4,vADhkmhkm/96/2810022=故飞机沿此边长 6hkm/正方形飞行一周所需总时间min

14、16515192499667269661286=+=hht2v风v相v题1.1 4.2图风v相v4v题1.1 4.3图-15-1.15 解 船停止时，干湿分界线在蓬前 3，由题画出速度示意图如题.15.1 图雨绝v船v雨相v3m题1.1 5.1图船雨相雨绝vvv+=故()()=+sinsin雨绝船vv又因为2=+，所以()cossin+=雨绝船vv由图可知51cos,52244cos22=+=54cos,53sin=smv/8=雨绝所以cos)cossincos(sin+=雨绝船vv=8sm/1.16 解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴.建立如题 1.16.1 图所示坐标系.xyOd水v题1

15、.1 6.1图-16-所以水流速度()=dydydkdykyv220又因为河流中心处水流速度为c=22ddkdkc所以dck2=。当20dy时，ydcv2=水即=utyydcdtdx2-得tdtdcudx2=，两边积分tdtdcudxtx200=2tdcux=联立，得=202dyyudcx同理，当2dyd时，()yddcv=2水即()()utddcyddcdtdx=22()dtutddcdx=2()为一常数DDudcyyucx+=22由知，当2dy=时，ucdx4=代入得ucdD2=有-17-udcyyucx22=ucd2，dyd2所以船的轨迹=dyducdyudcyucxdyyudcx222

16、2022船在对岸的了；靠拢地点，即dy=时有ucdx2=1.17 解 以A为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1 图.1C2CAxOr r r r题1.1 7.1图船沿垂直于r r r r的方向的速度为sinC1，船沿径向r r r r方向的速度为2C和1C沿径向的分量的合成，即=211cossinCCdtdrCdtdr-/得dCCrdr=cotsin12，对两积分：CCCr+=sinln2tanlnln12设CkCC,2,12=为常数，即Crkk+=+11cos2sinlnln代入初始条件0rr=时，0=.设,200=有,cos2sinlnln01010+=kkrC得-18-0101110sincoscossin+=kkkkrr1.18解 如题 1.18.1 图ABOa a a a题1.1 8.1图mg质点沿OA下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为cosga=.设竖直线hOB=，斜槽sOA=，易知,2,2+=OABOBA，由正弦定理+=2sin2sinhs即()=coscoshs又因为质点沿光滑面OA下滑，即质点做匀速直线运动.所以22cos2121tgats=有()0cos