信号和线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案解析.docx
《信号和线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号和线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案解析.docx（33页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
信号和线性系统分析吴大正第四版第四章习题答案解析
第四章习题
4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T
解⑴角频率为Ω=IOOrad∕s,周期丁=盲=p÷ξ⑵角频率为Ifi=号■rad∕s,周期=4s
（3）角频率为Ω=2rad倉，周期T=~=TrS
（4）角频率为Q=兀rad∕s,周期T=^=2s
Ω
（5）角频率为Ω—rad∕s*周期T=-^=8s
412
⑹角频率为C=話rad∕s,周期T=-jy=60s
4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数
的傅里叶系数（三角形式或指数形式）
图4-15
f>~十
解⑴周期T=4,1Ω=Y=亍r则有
H,4⅛-1≤r≤4⅛+1
/⑺=II
∣074⅛+1由此可得
-T
urt=~∖'τfit）costnΩt）dt=-∣^∣/（f）cos（^ψ^）df
J-J—⅛乙-.：
—2I
（2｝周期丁=2・0=年=兀，则有
由此可得
1+e-jrhr2π（I-√）
所含有的频率分量
则有
—■?
?
f（t）s}n（tιΩt）dr
⅛=A
rzfl,JTni
JJO
则f2（t）的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*
（3）由f3（t）的波形可⅛l∕3Γ⅛=0
n
/（z）cos（fiΩt>d;
（4）
%4
召=亍
即ΛG）的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波*由/<（0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即
fdι）=一fZ土£）
b2=hA=b6=・*・=0
则有U
即人"）的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"
4-11
某1Ω电阻两端的电压u（t）如图4-佃所示，
（1）
求u（t）的三角形式傅里叶系数。
（3）
（4）
利用（3）的结果求下列无穷级数之和
图4-18
解
（1）由旳⑺的波形可矩
Λ亠IUJr=f（t）cos（riΩt）df
则有丿丁人,jj=0.1,2,-
[仇=0
"[J=盘？
=应丄=*"=QE=仇=仏=*八=0
则∕√r）的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠
（2）由f2（t）的波形可知
利用
（1）的结果和U（I）J，求下列无穷级数之和
2
111S=I-11_丄……
357
求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。
—
Bu（r）sin（）df=
'1
W（OSirι（wπ∕）dt=
!
-iT*
T«
1—cost
0
n=12…
&«=
'1
SinC?
J7；r）dz
g
IJ=1r2*…
图4-19
s=1!
!
12•
325272
解
（1）FhUCt）的波形图可知丁=2,0=
则三角形式的傅里叶级数为
守+丫仇0口5疋）=
—If=II
1K
T÷Σ
⅛_I
1—cos（?
?
z）∙f小、
sι∏（JIlItJ
¢2）u（t）波形图可知
"7T
1一f-I）FT>in（yπ）
则有
LJ
2--⅛÷1
（3）
则可得无穷级数
1Ω电阻上的平均功率为
P=丄
T
则电压有效值为
ftlIdt）的波形图可知
u2（i）dz=丄
U2Ct）dz=-t
=√T=丄V√2
dr
Cl
1
U（I）At=—
—IZ叩
1C
∑j.
将MF）的傅里叶级数代入上式得
-1P1—COS（MTr）-#林八「斗I
⅛^⅛一忑一Sm（Tr）]CIZ=I
u（t）dt
0
PL
-1
nπ
工1-（-1）"
Ff=1
K
Σ
Ff=1
λiπ
nπ
4.17
I卫Tr「
1^∞s
=1-⅜-⅛-⅜-
根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
（1）
f（t）=
（2）
f（t）=
（3）
f（t）二
2-X
—2，」：
；:
：
t厂：
很亠t
一sin（2叫I2X
-：
：
：
：
：
t：
：
：
：
：
IL2二t
Sin[口-2）】_:
：
，t，：
：
二（t-2）'
解
（1）由于宽度为“偏度为1的门函数趴⑺的频谱函数为&（专）・即
≡取Γ=狙幅度为寺，根据傅里叶变换线性性质有
耶-∣-gri（F）—-g-×2Sa（ω）—SaCaJ）
即+幻C）~~Sa<∞）
注意到是偶阴数■根据对称性可得
SaC/）"__*2ττX-y⅛≤（ω）=Jr呂辛（⅛?
）根据时移性和尺度变换性可知菟沁2E—2）]]=屛亠）宀
由/（r）=山_严打2）_=2Sa[2π（t-2）^可知
π⅛∙t一L）
九tΛ"[=⅛4jω）e-jf"=
e~l2vIu*I≤2?
rrad∕S
0,ItUl>2Jrrad/s
（2）由于e-ttlfl-一-,社：
GiJ—&/可知3q一>2πe^fl-W=2πe^alW
α-+Γ
即∕∞=≠⅛^∞又有
4.18求下列信号的傅里叶变换
（1）f（t）dl（t-2）
（2）f（t）=e'（t」\'（t-1）
（3）f（t）=sgn（t2-9）
（5）f（t）=
2
CI）已知
由时移性质可得
⅛Cz-2）—e^j2
再由频移性质可得八“的傅里叶变换
5"—2）Ae^i
即
F⅛>=
⑵/Cr）=严i%—1）=Sf=y（t-1）+3⅞又M—•网，由时移特性可知/Cr）的傅里叶变换为
F（jω）=（讪+3）e^i*
¢3）/（r）=Sgn（^—9>=1一2g⅛Cr）
又
迁—耳点（F）El购「df—Ie^'ltt,1dt='hin"G
J—™J—3=2πδ（ω）
则有
孔fg=2%〉_血型
OJ
⑸由
εCf—*TtS（at）+JCU
利用时移特性可得
再rtι尺度变换特性可得
芝（£—1）→~~>2]ττ⅛（2G—τ^-e^j2ω2=π⅝（⅛）十Λe^j'α,ZjZω-Jω
即∕ω的傅里叶变换为
F（jω）=JΓ⅛（ω）÷τ^-e^j2w
JQJ
4.19试用时域微积分性质，求图4-23示信号的频谱。
图4-23
ι∕≡⅛）
2442
解
（1）由的波形可得其闭合表达式为
∕ι（r）=—[ε（t+r）-ε（i-r）]
由此可得
fι（f）=—Cr+L）—ε（1—r）∏—[$（『一r）—讯f—r）_—τr
又有
C（/）■*—*■TΓ<3b（OJ）+-、—
M—1
可得
A^jWr
ε（fiτ）j*—*Fπ<5Cω）十——
Ja
⅛（z±r）—戶呎
则有
=-•沁辺一2CM（Ozr）
rω
当3=0时上式值为X则有
C2）由九（D的波形可得其闭合表达式为
/2（f）=Ar（J+f）eG+f）_（,+f^+f）
由此可得
ε（r-y）-€÷^（r-y）
又有
可得
（t）j**fTT（JlCw）—■；—
一p±JW⅛
E（F土齐-）Y—”π⅞（ω）一
/jω
二丄'.
E（f土~）—Mπ⅝（ω）一二
4Jω
当ω=0时•上式为Ch则有
4.20若已知F[f（t）]=Fj）,试求下列函数的频谱:
（1）tf（2t）
（3）tdJ）（5）（i-t）f（i-t）
（8）ejtf（3-2t）
（9）CTIt
解
（1）根据频域微分特性可知
则有tf（t）一j羊F（jG
dω
根据尺度变换特性可得
纤⑵〉一j*舟F（j号）
则可得乳圧⑵j££F（j号）
（3）市时域微分持性可得
巴F…Cjω）F（jω）
又由频域微分特性可得
（―Q警…缶∞F（Q]
则有=j
（jω）_=—-F（joj）+oj-^-F（jα>）
ClCUJ-Juω
（5）由频域微分特性可得
r∕（z）—j⅛（jω）αω
由反转特性可得一tf（—t）"i*—j（―]ω）
文由时移性质可得
（-Z÷1）∕（-Z+1）—j严f_F（—讪）
即5f2（l—z）∕（l—t）_=—je--z-^-F（―jω）
dω
¢8）由尺度变换特性可得
∕C-2f）W—*£尸（一j-y）
Fh时移特性可得『（3—2t）—*+才节F（—j号〉
又由频移特性可得
ejγ（3-2∕）*r⅛kF（j
W1
KPMej7（3一2D]=咛1F（j
413F（jω）
—-—JSg∏Cω）
TrZL
（9）甫时域微分特性可得
又有
则由时域卷积定理可得
—■*~~*jωFCjω）*（—j）sg∏（ω）兀f
4.21求下列函数的傅里叶变换
（3）
FQJ=2cos（3，）
（5）
2
F（j•）八∙2sine-j（2nI）"
n=B豹
Fz）r
解（I）傅里叶逆变换为
fit}=F（jα∣）Glf^,1dω=T-dtυ
=^ttJ-H^TrJβ⅛0
=-J-（W吋—EFe√}=坯皿Qf
2πjr寸
⑶F（j和）的傅里叶逆变换为
f/TT」一ocZ7f..—X
=二「[ejw（W）+亡"叮击ZTrJ-=C
⅛δ（f）-~~>1,得5（f）=亠ejw'dωτ则有
∆7Γi.—κ
/Cr）=Mr+3）+δ（t一3）
也1•则由时移特性可知
Ul
鏡"一
1、*2si∏c1）VA∈JW
Cu
耳?
“一
\2Si∏α∕一；3如
3）——e
ω
L\2sin∣Qj—,j⅛∣
O）<——►e
ω
则F（^）的傅里叶逆变换为f（t）=k[F（ja）[=gi（t-1）
+g√/—3）+g2（/—5）
ftι于g√r）
4.23试用下列方式求图4-25示信号的频谱函数
（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）＜
（2）利用时域的积分定理。
（3）将f（t）看作门函数g2（t）与冲激函数Ht2）、弋-2）的卷积之和。
图4-25
解⑴已知禺⑴一rSaC^）.将r=2代入，得
如⑺—2Sa（ω）
由博里叶变换的时移性质可得
幻（F二F）——*2Sa（ω
升级会员 