数列综合讲义.pdf

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SYSU荣1数列数列综合讲义综合讲义前言前言.02第第1讲讲数列通项数列通项.061.1公式法公式法.071.2累加法累加法.071.3累乘法累乘法.081.4差商法差商法.081.5构造辅助数列构造辅助数列.09第第2讲讲数列求和数列求和.102.1公式法公式法.122.2倒序相加倒序相加.122.3分组球和分组球和.132.4裂项求和裂项求和.132.5错位相减错位相减.152.6等差绝对值求和等差绝对值求和.162.7奇偶幷项求和奇偶幷项求和.16第第3讲讲数列的通项与求和综合数列的通项与求和综合.17第第4讲讲数列的性质数列的性质.214.1单调性单调性.224.2数列的最值数列的最值.244.3奇偶奇偶（性性）幷项幷项.274.4周期性周期性.28第第5讲讲简单的数列不等式证明简单的数列不等式证明.29第第6讲讲存在性问题存在性问题（整除问题整除问题）.31第第7讲讲创新型问题创新型问题.33第第8讲讲数阵问题（数列群）数阵问题（数列群）.35第第9讲讲数列与其他知识综合数列与其他知识综合.36第第10讲讲（extra）放缩法证明数列求和不等式放缩法证明数列求和不等式.38SYSU荣2前言前言【高考命题规律】【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值2011年理：

17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想12分文：

6选择题等差数列的基本公式方程组思想5分文：

17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想10分2012年理：

5选择题等比数列的性质方程组思想5分理：

16填空题数列的周期性利用周期性求和5分文：

12选择题数列的周期性利用周期性求和5分文：

14填空题等比数列前n项和方程思想5分2013年理：

7选择题等差数列前n项和方程思想5分理：

12选择题与三角形的综合应用判断数列的增（减）性特殊、比较5分理：

14填空题由na与nS关系求an比差法5分文：

6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5分文：

17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12分2014年理：

17解答题由na与nS关系判定及证明比差法12分文：

17解答题等差数列通项前n项和及一元二次的解法，乘公比错位相消方程组12分2015年理:

17解答题由na与nS关系求通项；前n项和换元法，裂项相消法12分文:

7选择题等差数列：

基本量求某一项；方程思想5分文:

13填空题等比数列：

基本量求项数方程思想5分2016年理：

3选择题等差数列，基本量求某一项方程思想5分理：

15填空题等比数列，累积求最值函数思想5分文：

17解答题等差数列通项公式，等比数列前n项和nS赋值，利用公式求和12分2017年理：

4选择题等差数列，基本量求公差方程思想5分理：

12选择题数列分群问题等比数列求和5分文：

17解答题等比数列求通项，判定等差方程思想12分纵观全国卷的数列试题，我们可以发现，全国卷的数列题注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点。

从2011年至2017年，全国卷理科试题共考查了12道数列题，其中9道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。

而文科试题共考查了11道数列题，其中9道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。

SYSU荣3【基础知识基础知识】一、等差等比对比一、等差等比对比类型类型项目项目等差数列等比数列定义1

（1）nnaadn1nnaqa中项（,aAb）2abA2abA通项公式1

（1）=（）nmaandanmd11nnmnmaaqaqmnpqmnpqaaaamnpqaaaa232,mmmmmSSSSS成公差为2md的等差数列成公比为mq的等比数列nS122pqnnaaaaSnn或1

（1）2nnnSnad1111

（1）111nnnnaqSaaqaqqqq或单调性00dd单调递增：

单调递减：

11110,1（1,2,4,8）0,01（8,4,2,1）0,01（8,4,2,1）0,1（1,2,4,8）aqaqaqaq单调递增单调递减二、等差等比补充二、等差等比补充等差数列篇：

等差数列篇：

1、判定：

1

（1）nnaadn；1

（2）nnaadn；112

（1）nnnaaan（等差中项法）naknb，11

（1）222pqnnaaaannSnnnad，2nSAnBn（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）SYSU荣42、函数的观点看数列（i）111naanddnad，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

（ii）21111（）222nnndSnadnadn，即nS是关于项数n的二次函数，且不含常数项，可记为2nSAnBn的形式。

从而可将nS的变化规律图像化3、数列nSn也是等差数列4、若两个等差数列,nnab的前n和分别为,nnST，则2121nnnnaSbT5、奇偶数项问题（会自行推导）项数为2n项：

SSnd奇偶项数为21n项：

nSSa奇偶等比数列篇：

等比数列篇：

1、判定：

1nnaqnNa对于nN，均有212nnnaaa（等比中项法）nnakq（指数类函数）111

（1）111nnnnaqaaSqkqkqqq（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）2、函数的观点看数列等比数列na的通项公式111（0）nnaaqaq还可以改写成1nnaaqq，当0q且10a时，xyq是一个指数函数，而1xayqq是指数型函数.因此等比数列na的点列（），nna分布在指数型函数1xayqq的图像上，即等比数列na的图像是函数1xayqq的图像上的一群孤立点SYSU荣5三、数列的周期性三、数列的周期性类比周期函数的概念，我们可定义：

对于数列na，如果存在一个常数T）（NT，使得对任意的正整数0nn恒有nTnaa成立，则称数列na是从第0n项起的周期为T的周期数列。

若10n，则称数列na为纯周期数列，若20n，则称数列na为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期常见周期如下所列：

常见周期如下所列：

（1）21Tsaann21Tsaann1121nnnaaTa特别地，1,2nnnxayaxbTkab

（2）123nnnaaasT123nnnaaasT1131nnaTa1113nnaTa（3）1141nnnaaTa1121nnnaaTa1141nnnaaTa（4）216nnnaaaT111331363313nnnnnaaaTaa（类比tantan6tan（）61tantan6）四、几个常见的求和公式四、几个常见的求和公式

（1）1

（1）2ninni

（2）21

（1）（21）6ninnni（3）321

（1）2ninniSYSU荣6第第1讲讲数列通项数列通项【高考真题】【高考真题】（2016全国全国卷文）卷文）已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足1211,3bb，11nnnnabbnb，则na的通项公式是na_（2015全国全国卷卷）nS为数列na的前n项和.已知na0，2nnaa=43nS则na的通项公式为_（2013全国全国卷文卷文）已知等差数列na的前n项和nS满足350,5SS，则na的通项公式是na_（2013全国全国卷理）卷理）若数列na的前n项和2133nnSa，则na的通项公式是na_（2010全国全国卷理卷理）设数列na满足21112,32nnnaaa，则na的通项公式是na_（20092009全国全国卷卷文文）设等差数列na的前n项和为nS，公比是正数的等比数列nb的前n项和为nT.已知1133331,3,17,12ababTS，求,nnab的通项公式（2007全国卷全国卷文文）设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab，求na、nb的通项公式（2005全国卷全国卷文文）设正项等比数列na的首项211a，前n项和为nS，且10103020102（21）0SSS，则na的通项公式是na_SYSU荣71.1公式法公式法等差比通项公式万能公式11,

（1）,

（2）nnnSnaSSn注意通项能否合并能否合并（2017.12化州二模化州二模）已知nS为数列na的前n项和，且1）1（log2nSn，则数列na的通项公式为（2016.9广东适应性考试广东适应性考试）已知数列na的各项均为正数，nS为其前n项和，且对任意*Nn，均有na、nS、2na成等差数列，则na1.2累加法累加法形如形如）（1nfaann型的递推数列型的递推数列例例：

数列na满足：

11a，且121nnnaa，求na（2017.04武汉调研武汉调研）已知数列na满足11a，312a，若）,2（3）2（1111Nnnaaaaannnnn，则数列na的通项na（）（A）121n（B）121n（C）131n（D）1211n（2017河北衡水六调河北衡水六调改改）若数列na满足11a，且对于任意的*nN都有11nnaan，则122018111.aaa_SYSU荣81.3累乘法累乘法形如形如1（）nnaafn1（）nnafna型的递推数列型的递推数列例例：

已知数列na满足：

11a，且11nnnana，求na变式变式：

设na是首项为1的正项数列，且2211

（1）0（1,2,3,.）nnnnnanaaai，则na_1.4差商法差商法（2017.12广州调研广州调研）已知数列na满足211234444nnnaaaaL*nN求数列na的通项公式已知数列na中，11a，对所有*nN且2n时都有2123.naaaan，求naSYSU荣91.5构造辅助数列构造辅助数列类型类型11：

形如形如qpaann1（其中（其中,pq均为常数且均为常数且0p）类型类型22：

形如形如1（）nnapafn

（1）p类型类型33：

形如形如1nnnmaapaq类型类型44：

形如形如21nnnapaqa特别地，当特别地，当1pq时，便是著名的兔子数列，也就是斐波那契数列，时，便是著名的兔子数列，也就是斐波那契数列，其通项可通过特征根方程求得其通项可通过特征根方程求得51515（）（）522nnna类型类型55：

形如形如1（0,0）qnnnapapa1、（2017.10惠州二调惠州二调）已知数列na满足）（22,111Nnaaannn，则数列na的通项公式为na变式变式1：

已知数列na满足）（32,111Nnaaannn，则数列na的通项公式为na变式变式2：

已知数列na满足）（12,111Nnaaann，则数列na的通项公式为na变式变式3：

已知数列na满足）（2,111Nnnaaann，则数列na的通项公式为na22、（20172017云南师大附中月考云南师大附中月考）已知数列na满足12a，且*112（2,）1nnnnaannNan，则na_3、设数列na满足：

121,2aa，且对于其中任意三个连续的项11,nnnaaa，都有：

11112nnnnanaan，求na通项公式SYSU荣10第第2讲讲数列求和数列求和【高考真题】【高考真题】（2016全国全国卷文）卷文）已知na是公差为3的等差数列，数列nb满足1211,3bb，11nnnnabbnb，求nb的前n项和（2015全国全国卷卷文文）数列na中112,2,nnnaaaS为na的前n项和，若126nS，则n（2015全国全国卷理卷理）nS为数列na的前n项和.已知na0，2nnaa=43nS，设11nnnbaa，则数列nb的前n项和为_（2013全国卷全国卷文）文）已知等差数列na的前n项和nS满足350