数列综合讲义.pdf

1、SYSU荣1数列数列综合讲义综合讲义前言前言.02第第 1 讲讲 数列通项数列通项.061.1公式法公式法.071.2累加法累加法.071.3累乘法累乘法.081.4差商法差商法.081.5构造辅助数列构造辅助数列.09第第 2 讲讲 数列求和数列求和.102.1公式法公式法.122.2倒序相加倒序相加.122.3分组球和分组球和.132.4裂项求和裂项求和.132.5错位相减错位相减.152.6等差绝对值求和等差绝对值求和.162.7奇偶幷项求和奇偶幷项求和.16第第 3 讲讲数列的通项与求和综合数列的通项与求和综合.17第第 4 讲讲数列的性质数列的性质.214.1单调性单调性.224.2

2、数列的最值数列的最值.244.3奇偶奇偶（性性）幷项幷项.274.4周期性周期性.28第第 5 讲讲简单的数列不等式证明简单的数列不等式证明.29第第 6 讲讲存在性问题存在性问题（整除问题整除问题）.31第第 7 讲讲创新型问题创新型问题.33第第 8 讲讲数阵问题（数列群）数阵问题（数列群）.35第第 9 讲讲数列与其他知识综合数列与其他知识综合.36第第10讲讲(extra)放缩法证明数列求和不等式放缩法证明数列求和不等式.38SYSU荣2前言前言【高考命题规律】【高考命题规律】年份题号题型考查内容思想方法分值2011 年理：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想12 分文：6选

3、择题等差数列的基本公式方程组思想5 分文：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想10 分2012 年理：5选择题等比数列的性质方程组思想5 分理：16填空题数列的周期性利用周期性求和5 分文：12选择题数列的周期性利用周期性求和5 分文：14填空题等比数列前n项和方程思想5 分2013 年理：7选择题等差数列前n项和方程思想5 分理：12选择题与三角形的综合应用判断数列的增（减）性特殊、比较5 分理：14填空题由na与nS关系求an比差法5 分文：6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5 分文：17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12 分2014 年理：17解答题由na与n

4、S关系判定及证明比差法12 分文：17解答题等差数列通项 前 n 项和及一元二次的解法，乘公比错位相消方程组12 分2015 年理:17解答题由na与nS关系求通项；前n项和换元法，裂项相消法12 分文:7选择题等差数列：基本量求某一项；方程思想5 分文:13填空题等比数列：基本量求项数方程思想5 分2016 年理：3选择题等差数列，基本量求某一项方程思想5 分理：15填空题等比数列，累积求最值函数思想5 分文：17解答题等差数列通项公式，等比数列前n项和nS赋值，利用公式求和12 分2017 年理：4选择题等差数列，基本量求公差方程思想5 分理：12选择题数列分群问题等比数列求和5 分文：1

5、7解答题等比数列求通项，判定等差方程思想12 分纵观全国卷的数列试题，我们可以发现，全国卷的数列题注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点。从 2011 年至 2017 年，全国卷理科试题共考查了 12 道数列题，其中 9 道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了 11 道数列题，其中 9 道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。SYSU

6、荣3【基础知识基础知识】一、等差等比对比一、等差等比对比类型类型项目项目等差数列等比数列定义1(1)nnaad n1nnaqa中项（,a A b）2abA2abA通项公式1(1)=()nmaandanm d11nn mnmaa qa qmnpqmnpqaaaamnpqaaaa232,mmmmmSSSSS成公差为2m d的等差数列成公比为mq的等比数列nS122pqnnaaaaSnn或1(1)2nn nSnad1111(1)111nnnna qSaa qaqqqq或单调性00dd单调递增：单调递减：11110,1(1,2,4,8)0,01(8,4,2,1)0,01(8,4,2,1)0,1(1,2

7、,4,8)aqaqaqaq 单调递增单调递减二、等差等比补充二、等差等比补充等差数列篇：等差数列篇：1、判定：1(1)nnaad n；1(2)nnaad n；112(1)nnnaaa n（等差中项法）naknb，11(1)222pqnnaaaan nSnnnad，2nSAnBn（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）SYSU荣42、函数的观点看数列（i）111naandd nad，所以该通项公式可看作na关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。（ii）21111()222nn ndSnadnad n，即nS是关于项数n的二次函数，且不含常数项，可记为2nSAnBn的形式。从而

8、可将nS的变化规律图像化3、数列nSn也是等差数列4、若两个等差数列,nnab的前n和分别为,nnS T，则2121nnnnaSbT5、奇偶数项问题（会自行推导）项数为2n项：SSnd奇偶项数为21n项：nSSa奇偶等比数列篇：等比数列篇：1、判定：1nnaq nNa对于nN，均有212nnnaa a（等比中项法）nnak q（指数类函数）111(1)111nnnnaqaaSqk qkqqq（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）2、函数的观点看数列等比数列 na的通项公式111(0)nnaaqa q还可以改写成1nnaaqq，当0q且10a时，xyq是一个指数函数，而1xayqq是指数型函数

9、.因此等比数列 na的点列()，nna分布在指数型函数1xayqq的图像上，即等比数列 na的图像是函数1xayqq的图像上的一群孤立点SYSU荣5三、数列的周期性三、数列的周期性类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列na，如果存在一个常数T)(NT，使得对任意的正整数0nn 恒有nTnaa成立，则称数列na是从第0n项起的周期为T的周期数列。若10n，则称数列na为纯周期数列，若20n，则称数列na为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期常见周期如下所列：常见周期如下所列：（1）21Tsaann21Tsaann1121nnnaaTa特别地，1,2nnnxayaxbTkab（2）12

10、3nnnaaasT123nnnaaasT1131nnaTa 1113nnaTa（3）1141nnnaaTa1121nnnaaTa1141nnnaaTa（4）216nnnaaaT111331363313nnnnnaaaTaa（类比tantan6tan()61tantan6）四、几个常见的求和公式四、几个常见的求和公式（1）1(1)2nin ni（2）21(1)(21)6nin nni（3）321(1)2nin niSYSU荣6第第 1 讲讲数列通项数列通项【高考真题】【高考真题】（2016 全国全国卷文）卷文）已知na是公差为3的等差数列，数列 nb满足1211,3bb，11nnnna bbnb

11、，则na的通项公式是na _（2015 全国全国卷卷）nS为数列na的前n项和.已知na0，2nnaa=43nS 则na的通项公式为_（2013 全国全国卷文卷文）已知等差数列na的前n项和nS满足350,5SS，则na的通项公式是na _（2013 全国全国卷理）卷理）若数列na的前n项和2133nnSa，则na的通项公式是na _（2010 全国全国卷理卷理）设数列na满足21112,3 2nnnaaa，则na的通项公式是na _（20092009 全国全国卷卷文文）设等差数列na的前n项和为nS，公比是正数的等比数列 nb的前n项和为nT.已知1133331,3,17,12ababTS，

12、求,nnab的通项公式（2007 全国卷全国卷文文）设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab，求na、nb的通项公式（2005 全国卷全国卷文文）设正项等比数列 na的首项211a，前 n 项和为nS，且10103020102(21)0SSS，则na的通项公式是na _SYSU荣71.1 公式法公式法等差比通项公式万能公式11 ,(1),(2)nnnSnaSSn注意通项能否合并能否合并（2017.12 化州二模化州二模）已知nS为数列na的前n项和，且1)1(log2nSn，则数列na的通项公式为（2016.9 广东适应性考试广东适应性考试）已知

13、数列na的各项均为正数，nS为其前n项和，且对任意*Nn，均有na、nS、2na成等差数列，则na1.2 累加法累加法形如形如)(1nfaann型的递推数列型的递推数列例例：数列 na满足：11a，且121nnnaa，求na（2017.04 武汉调研武汉调研）已知数列 na满足11a，312a，若),2(3)2(1111Nnnaaaaannnnn，则数列na的通项na（）（A）121n（B）121n（C）131n（D）1211n（2017 河北衡水六调河北衡水六调改改）若数列 na满足11a，且对于任意的*nN都有11nnaan，则122018111.aaa_SYSU荣81.3 累乘法累乘法形

14、如形如1()nnaaf n1()nnaf na型的递推数列型的递推数列例例：已知数列 na满足：11a，且11nnnana，求na变式变式：设 na是首项为 1 的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,.)nnnnnanaaai，则na _1.4 差商法差商法（2017.12 广州调研广州调研）已知数列 na满足211234444nnnaaaaL*nN求数列 na的通项公式已知数列 na中，11a，对所有*nN且2n时都有2123.naaaan，求 naSYSU荣91.5 构造辅助数列构造辅助数列类型类型 1 1：形如形如qpaann1（其中（其中,p q均为常数且均为常数且0p）类型类型

15、 2 2：形如形如1()nnapaf n(1)p 类型类型 3 3：形如形如1nnnmaapaq类型类型 4 4：形如形如21nnnapaqa特别地，当特别地，当1pq时，便是著名的兔子数列，也就是斐波那契数列，时，便是著名的兔子数列，也就是斐波那契数列，其通项可通过特征根方程求得其通项可通过特征根方程求得51515()()522nnna类型类型 5 5：形如形如1(0,0)qnnnapapa1、（2017.10 惠州二调惠州二调）已知数列 na满足)(22,111Nnaaannn，则数列 na的通项公式为na变式变式 1：已知数列 na满足)(32,111Nnaaannn，则数列 na的通项

16、公式为na变式变式 2：已知数列 na满足)(12,111Nnaaann，则数列 na的通项公式为na变式变式 3：已知数列 na满足)(2,111Nnnaaann，则数列 na的通项公式为na2 2、（20172017 云南师大附中月考云南师大附中月考）已知数列 na满足12a，且*112(2,)1nnnnaannNan，则na _3、设数列 na满足：121,2aa，且对于其中任意三个连续的项11,nnnaa a，都有：11112nnnnanaan，求 na通项公式SYSU荣10第第 2 讲讲数列求和数列求和【高考真题】【高考真题】（2016 全国全国卷文）卷文）已知na是公差为3的等差数列，数列 nb满足1211,3bb，11nnnna bbnb，求 nb的前n项和（2015 全国全国卷卷文文）数列 na中112,2,nnnaaa S为 na的前 n 项和，若126nS，则n（2015 全国全国卷理卷理）nS为数列na的前n项和.已知na0，2nnaa=43nS，设11nnnba a，则数列nb的前n项和为_（2013 全国卷全国卷文）文）已知等差数列na的前n项和nS满足350