-全国高中数学联赛试题及答案.pdf

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20172017年全国年全国高中数学高中数学联赛联赛AA卷卷一试一试一、填空题1.设）（xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1）4（）3（=+xfxf.又当70x时，）9（log）（2xxf=，则）100（f的值为_.2.若实数yx,满足1cos22=+yx，则yxcos的取值范围是_.3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1109:

22=+yx，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为_.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABCP中，1=AB，2=AP，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系xOy中，点集1,0,1,）,（=yxyxK.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为_.7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若3=A，ABC的面积为3，则ANAM的最小值为_.8.设两个严格递增的正整数数列nnba,满足：

20171010z，0）Re（2z，且2）Re（）Re（2221=zz（其中）Re（z表示复数z的实部）.

（1）求）Re（21zz的最小值；

（2）求212122zzzz+的最小值.20172017年全国年全国高中数学高中数学联赛联赛AA卷卷二二试试一.如图，在ABC中，ACAB=，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过点IB,的圆3与1,2分别交于点QP,（不同于点B）.设IP与BQ交于点R.证明：

CRBR二.设数列na定义为11=a，,2,1,1=+=+nnanananaannnnn.求满足20173rar的正整数r的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设nm,均是大于1的整数，nm，naaa,21是n个不超过m的互不相同的正整数，且naaa,21互素.证明：

对任意实数x，均存在一个）1（nii，使得xmmxai）1（2+，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.20172017年全国年全国高中数学高中数学联赛联赛AA卷卷一试一试答案答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.20172017年全国年全国高中数学高中数学联赛联赛AA卷卷二二试试答案答案一.二.三.四.2016年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A卷）卷）参考答案及评分标准参考答案及评分标准说明：

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设填空题只设8分和分和0分两档；其他各题的分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题小题4分为一个档次，第分为一个档次，第10、11小题小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：

本大题共8小题，每小题8分，共64分1.设实数a满足3911aaaa，则a的取值范围是答案答案：

2310,33a解解：

由aa可得0a=，即219111a，所以2104,93a又0a，故2310,33a2.设复数,zw满足3,74izzwzw，其中i是虚数单位，,zw分别表示,zw的共轭复数，则22zwzw的模为答案答案：

65解解：

由运算性质，2274izwzwzwzwzw，因为2z与2w为实数，Re0zwzw，故227,4izwzwzw，又3z，所以22w从而222242988i18izwzwzwzwzw因此，22zwzw的模为2218653.正实数,uvw均不等于1，若loglog5uvvww，loglog3vwuv，则logwu的值为答案答案：

45解解：

令log,loguvvawb，则11log,logvwuvab，logloglogloguuuvvwvvwaab，条件化为115,3aabbab，由此可得54ab因此14logloglog5wwvuvuab4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值1之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为答案答案：

935解解：

一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而5510ab=，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有2273CC18=种取法因此，所求的概率为2257318549=CC1021355.设P为一圆锥的顶点，,ABC是其底面圆周上的三点，满足90ABC，M为AP的中点若1,2,2ABACAP，则二面角MBCA的大小为答案答案：

2arctan3解解：

由90ABC知，AC为底面圆的直径设底面中心为O，则PO平面ABC易知112AOAC，进而221POAPAO设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点在底面中作HKBC于点K，则由三垂线定理知MKBC，从而MKH为二面角MBCA的平面角因12MHAH，结合HK与AB平行知，34HKHCABAC，即34HK，这样2tan3MHMKHHK故二面角MBCA的大小为2arctan36.设函数44（）sincos1010kxkxfx，其中k是一个正整数若对任意实数a，均有（）1（）fxaxafxxR，则k的最小值为答案答案：

16解解：

由条件知，22222（）sincos2sincos10101010kxkxkxkxfx211231sincos25454kxkx，其中当且仅当5（）mxmkZ时，（）fx取到最大值根据条件知，任意一个长为1的开区间（,1）aa至少包含一个最大值点，从而51k，即5k反之，当5k时，任意一个开区间（,1）aa均包含（）fx的一个完整周期，此时（）1（）fxaxafxxR成立综上可知，正整数k的最小值为511627.双曲线C的方程为2213yx，左、右焦点分别为1F、2F过点2F作一直线与双曲线C的右半支交于点,PQ，使得190FPQ，则1FPQ的内切圆半径是答案答案：

71解解：

由双曲线的性质知，122134FF，12122PFPFQFQF因190FPQ，故2221212PFPFFF，因此2221212122（）（）PFPFPFPFPFPF2224227从而直角1FPQ的内切圆半径是111212111（）（）（）71222rFPPQFQPFPFQFQF8.设1234,aaaa是1,2,100中的4个互不相同的数，满足2222222123234122334（）（）（）aaaaaaaaaaaa，则这样的有序数组1234（,）aaaa的个数为答案答案：

40解解：

由柯西不等式知，2222222123234122334（）（）（）aaaaaaaaaaaa，等号成立的充分必要条件是312234aaaaaa，即1234,aaaa成等比数列于是问题等价于计算满足1234,1,2,3,100aaaa的等比数列1234,aaaa的个数设等比数列的公比1q，且q为有理数记nqm，其中,mn为互素的正整数，且mn先考虑nm的情况此时331413annaamm，注意到33,mn互素，故13alm为正整数相应地，1234,aaaa分别等于3223,mlmnlmnlnl，它们均为正整数这表明，对任意给定的1nqm，满足条件并以q为公比的等比数列1234,aaaa的个数，即为满足不等式3100nl的正整数l的个数，即3100n由于35100，故仅需考虑342,3,4,23q这些情况，相应的等比数列的个数为10010010010010012331120827276464当nm时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列1234,aaaa综上可知，共有40个满足条件的有序数组1234（,）aaaa3二、解答题：

本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）在ABC中，已知23ABACBABCCACB求sinC的最大值解解：

由数量积的定义及余弦定理知，222cos2bcaABACcbA同理得，2222acbBABC，2222abcCACB故已知条件化为2222222222（）3（）bcaacbabc，即22223abc8分由余弦定理及基本不等式，得22222221

（2）3cos22abababcCabab36abba22363abba，所以27sin1cos3CC=，12分等号成立当且仅当:

3:

6:

5abc因此sinC的最大值是7316分10.（本题满分20分）已知（）fx是R上的奇函数，

（1）1f，且对任意0x，均有（）1xfxfxx求1111111

（1）1002993985051ffffffff的值解解：

设1（1,2,3,）nafnn，则1

（1）1af在（）1xfxfxx中取*1（）xkkN，注意到111111kkxxk，及（）fx为奇函数，可知111111fffkkkkk，5分即11kkaak从而11111111

（1）!

nnknkkkaaaakn10分因此50504910111011

（1）!

（100）!

（99）!

iiiiiaaiiii4984949999999999900111112CCC299!

99!

299!

299!

iiiii20分11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点以F为焦点、O为顶点作抛物线C设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且2PQ圆12,CC均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切求点F的坐标，使圆1C与2C的面积之和取到最小值解解：

设抛物线C的方程是22（0）ypxp，点Q的坐标为（,0）（0）aa，并设12,CC的圆心分别为111222（,）,（,）OxyOxy设直线PQ的方程为（0）xmyam，将其与C的方程联立，消去x可知2220ypmypa因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为224420pmpa，解得2amp进而可知，点P的坐标为（,）（,2）PPxyapa于是2210122

（2）PaPQmypaapap由2PQ可得2424apa5分注意到OP与圆12,CC相切于点P，所以12OPOO设圆12,CC与x轴分别相切于点,MN，则12,OOOO分别是,POMPON的平分线，故1290OOO从而由射影定理知2121212yyOMONOPOPOP2222PPxyapa结合，就有2212243yyapaa10分由12,OPO共线，可得111112222222PPypayyOPOMyyyPOONypay，化简得5121222yyyypa15分令2212Tyy，则圆12,CC的面积之和为T根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况根据、可知，222121212124（）222Tyyyyyyyypa22222224（43）

（2）（43）2（43）441aaaaa