全国高中数学联赛试卷.doc
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2000年全国高中数学联赛试卷（第一试）
一、选择题
1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|=},则是（ ）
（A）{2}（B）{-1}（C）{x|x≤2}（D）
2．设sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,则的取值范围是（ ）
（A）（2kp+,2kp+）,kÎZ（B）（+,+）,kÎZ
（C）（2kp+,2kp+p）,kÎZ（D）（2kp+,2kp+）（2kp+,2kp+p）,kÎZ
3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（ ）
（A）（B）（C）3（D）6
4．给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0（ ）
（A）无实根（B）有两个相等实根（C）有两个同号相异实根（D）有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（ ）
（A）（B）（C）（D）
6．设，则以w,w3,w7,w9为根的方程是（ ）
（A）x4+x3+x2+x+1=0（B）x4-x3+x2-x+1=0
（C）x4-x3-x2+x+1=0（D）x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．arcsin（sin2000°）=__________.
8．设an是（3-的展开式中x项的系数（n=2,3,4,…），则）=________.
9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10．在椭圆（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
12．如果：
（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；
（2）a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；（3）a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设Sn=1+2+3+…+n,nÎN，求f（n）=的最大值.
14．若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].
15．已知C0:
x2+y2=1和C1:
（a＞b＞0）。
试问：
当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？
并证明你的结论。
2000年全国高中数学联赛试卷（加试）
一．（本题满分50分）
A
B
C
D
E
F
M
N
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：
四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
二．（本题满分50分）
设数列{an}和{bn}满足，且
证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．
三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．
2001年全国高中数学联赛试卷（第一试）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知a为给定的实数，那么集合的子集的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点;
命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在
上单调递增的偶函数是 （ ）
（A） y=sin|x| （B）y=cos|x| （C） y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（ ）
（A）k=（B）05．若的展开式为，则
的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
（A） 2枝玫瑰价格高 （B） 3枝康乃馨价格高
（C） 价格相同 （D） 不确定
二、填空题（满分54分，每小题9分）
7．椭圆的短轴长等于 ．
8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，，则z1·z2= ．
9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是 ．
10.不等式的解集为 ．
11．函数的值域为 ．
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设为等差数列，为等比数列，且，，,又．试求{an}的首项与公差．
14．设曲线C1：
（a为正常数）与C2：
y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．
（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．
15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？
证明你的结论．
2001年全国高中数学联赛试卷（加试）
一．（本题满分50分）
如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．
求证：
（1）OB⊥DF，OC⊥DE；
（2）OH⊥MN．
二．（本题满分50分）
设（i=1，2，…，n）且，求的最大值与最小值．
三．（本题满分50分）
将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
2002年全国高中数学联赛试卷（第一试）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数的单调递增区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．若实数满足，则的最小值为（ ）
（A）2 （B）1 （C） （D）
3．函数 （ ）
（A）是偶函数但不是奇函数 （B）是奇函数但不是偶函数
（C）既是偶函数又是奇函数 （D）既不是偶函数也不是奇函数
4．直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得△的面积等于3．这样的点共有 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5．已知两个实数集合与，若从到的映射使得中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6．由曲线，，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共有6个小题）
7．已知复数，满足，．若它们所对应的向量的夹角为，则 ．
8．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的幂指数是整数的项共有 个．
9．已知点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（）有
个．
10．已知是定义在上的函数，且对任意都有
若，则 ．
11．若，则的最小值是 ．
12．使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是 ．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围．
14．如图，有一列曲线．已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：
将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积．
（1）求数列的通项公式；
（2）求．
15．设二次函数（）满足条件：
（1）当时，，且；
（2）当时，；
（3）在上的最小值为0．
求最大的（），使得存在，只要，就有．
2002年全国高中数学联赛试卷（加试）
一、（本题满分50分）
如图，在△中，，，点是外心，两条高、交于点．点、分别在线段、上，且满足．求的值．
二、（本题满分50分）
实数和正数使得有三个实根，且满足
（1）；
（2）．
求的最大值．
三、（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，国教练为了考察，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．
2003年全国高中数学联赛试卷（第一试）
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是（）
A．2046B．2047C．2048D．2049
y
y
y
2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）
y
x
x
x
x
ABCD
3．过抛物线y2＝8（x＋2）的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于（）
A．B．C．D．
4．若x∈（），则y＝的最大值是（）
A．B．
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