第届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析.pdf

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2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析第1页，共19页22015015年年第第3232届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析与答案解析无锡市第一中学无锡市第一中学魏熙锴魏熙锴第一题（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：

碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。

图中p、+e和e分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。

当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。

已知+e、p和He核的质量分别为0.511MeV/c2、1.0078u和4.0026u（1u931.494MeV/c2），电子型中微子e的质量可以忽略。

（1）写出图中X和Y代表的核素；

（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。

参考答案：

（1）图中X和Y代表的核素分别为15O和13C

（2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为1213pCN+1313eNCe+1314pCN+1415pNO+1515eONe+15124pNCHe+（3）整个循环的核反应，相当于4e4pHe2e2+完成一个碳循环过程释放的核能为4e2peH（42）（41.00784.0026）931.49420.511MeV25.619MeVEmMmc=评分参考评分参考：

第

（1）问4分，X和Y正确，各2分；第

（2）问6分，式各1分；第（3）问5分，式2分，式3分。

评析：

根据全国中学生物理竞赛内容提要的近代物理部分，考纲要求如下：

“原子核的尺度数量级天然放射性现象原子核的衰变半衰期放射线的探测质子的发现中子的发现原子核的组成核反应方程质能关系式裂变和聚变质量亏损”，基本与高中选修3-5要求一致。

但是作为一个不经常出现的考点，很多考生会忽视这一部分，导致面对本题时感到无所适从。

这充分说明，在竞赛考试前的最后一轮复习时，按照考纲逐条过关是很有必要的。

2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析第2页，共19页从题目角度来看，本题难度不大，基本为送分题。

仅有的两个难点，一个是考生对于这种循环机理的不熟悉。

但是事实上，在普通高中课程中，无论是化学或是生物均会有类似循环的出现，这点只需要考生做适当的迁移，将其他学科的分析方法转移至物理学科之中，即可解决。

至于总反应式，可以直接累加获得，这与化学反应的总反应式获得如出一辙，也是考察的知识迁移能力。

另一方面是电子型中微子，这个微观粒子并未在教科书中着重分析，但是并不影响选手对整道题目的把握。

这对于选手是否拥有相对不错的心理素质以及读题分析能力有所要求，但是可以看到要求并不高。

第二题（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。

开始时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度0v运动，与A球碰撞。

将小球和细杆视为一个系统。

（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C碰后的速度表出）；

（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C的速度和系统的动能。

参考答案：

（1）（解法一）取碰前B球所在位置O为原点，建立坐标系（如图）。

碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有0ABxxxmmMVMV=+vvABy0yymMVMV=+v0AB2222xxxLLLLmmMVMV=+vv式中，xv和yv表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。

由于轻杆长度为L，按照图中建立的坐标系有222ABAB（）（）（）（）xtxtytytL+=由上式对时间求导得ABABABAB（）（）（）（）（）（）（）（）0xxyyxtxtVtVtytytVtVt+=在碰撞后的瞬间有ABAB（0）（0）,（0）（0）xtxtytytL=利用式，式在碰撞后的瞬间成为AABB（0）（0）yyyyVVtVtV=由式得ABy2yymVVM=v由式得A0（）xxmVM=vvB0xV=利用式，碰撞后系统的动能为xyOAB0vC2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析第3页，共19页222222AAyBxBy2222AAy22220111（）（）（）22211（）

（2）22112（）224xyxxyxxxyEmMVVMVVmMVVmMmmmMM=+=+=+vvvvvvvv（解法二）取碰前B球所在位置O为原点，建立坐标系（如图）。

设碰撞后，小球C的运动速率为v，细杆中心的运动速度为CV，细杆绕中心转动的角速度为。

碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有0C2xxmmMV=+vvC02yymMV=+v022222xLLLLmmM=+vv式中，xv和yv表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。

由式得（）c02xxmVM=vvC2yymVM=v（）0xmML=vv碰撞后系统的动能为22222CC111（）

（2）（）22222xyxyLEmMVVM=+vv利用式，系统动能式可表示成22220112（）224xxymMmEmmMM+=+vvvv

（2）解法

（一）的式或者解法

（二）的式即为2222001（）21242xyMmmmMmmEmMMmMMm+=+vvv+v可见，在条件0,0xymMm=+=vvv下，碰后系统动能达到其最小值22012mEMm=+v它是小球仅与球A做完全非弹性碰撞后系统所具有的动能。

评分参考评分参考：

第

（1）问10分，（解法一）式各1分；（解法二）式各1分，式2分，各1分，式2分，式1分；第

（2）问5分，式各2分，式1分。

评析：

本题的碰撞模型在普通物理中作为以通过质心垂直纸面的直线为轴角动量守恒的经典例题经常出现，对于选修了力学先修课的同学来说必然不会陌生，所以对于这部分同学，本题求解易如反掌。

这里笔者认为，毕竟出卷的主要是大学教授，在高中竞赛知识之外系统的学习大学的普通物理甚至更高层次的物理知识，对于竞赛帮助很大。

从应试角度来说，如果考生不具备普通物理的经验，那么本题依旧可解。

全国中学生物理竞2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析第4页，共19页赛内容提要对于角动量有明确的要求。

一般高中生在拿到本题之后，动量守恒、能量守恒是肯定能想到的，此时发现方程数量不够，然而牛顿第二定律并不能提供方程，此时就理所应当想到从角动量守恒的角度来列出方程。

事实上，一般力学问题，如果牛顿第二定律无法提供思路或者根据牛顿第二定律列出的微分方程无法求解，那么动量守恒，能量守恒，角动量守恒三大守恒方程绝大多是情况下能够给出很好的答案。

另一方面，本题也提示了今后参加物理竞赛的同学们，质心参考系极大优势。

无论是能量角度的柯尼希定理，还是动量角度的零动量系，以及质心运动定理等等等等，都能为解题提供思路与便利。

第三题（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v0与竖直方向成（322）角，并同时以角速度0（0的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O、且垂直环面的轴转动。

已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k，重力加速度大小为g。

忽略空气阻力。

（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度；

（2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；（3）若让角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s随变化的函数关系式、s的最大值以及s取最大值时r、0v和0应满足的条件。

参考答案：

（1）设圆环的质量为m，它在碰撞过程中受到的地面对它的水平冲量为tI；碰撞后圆环质心的速度大小为v，v与竖直向上方向的夹角（按如图所示的顺时针方向计算）为，圆环的角速度为。

规定水平向右方向和顺时针方向分别为水平动量和角速度的正方向。

在水平方向，由动量定理有0sinsintmmI=vv由对质心的动量矩定理有0（）（）trmrrmrrI=按题意，圆环在弹起前刚好与地面无相对滑动，因而此时圆环上与地面的接触点的水平速度为零，即sin0r=v由题意知00coscos0k=vv联立式得222200014cos（sin）2kr=+vvv001tan（tan）2cosrk=+v001（sin）2rr=+v2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析第5页，共19页

（2）若圆环与地面碰后能竖直弹起，则其速度与竖直方向的夹角0=将上式代入式得，使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件为00sinr=v在此条件下，在与地面刚刚碰后的瞬间有0=，0cosk=vv即圆环做竖直上抛运动。

圆环上升的最大高度为22222222000cos（）222kkrhggg=vvv（3）由于忽略空气阻力，圆环再次弹起后，角速度保持为不变，质心做以初速度为v的斜抛运动。

圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s随变化的函数关系式为2000cossin2（sin）ksrgg=+vvvs取最大值时，的取值满足000（cos2sin）0kdsrdg=vv由得式得22200008sin4rr+=vv将代入式得2222222000000001（83）82（8）16krrrrrsg+=vvv2222222000000002（83）82（8）16krrrrrsg+=vvv式中1s和2s分别对应于式右端根号前取正和负号的情形。

由以上两式可知，s的最大值为222222200000000max（83）82（8）16krrrrrsg+=vvv又因为1sin1v评分参考评分参考：

第

（1）问9分，式各2分，式各1分；第

（2）问4分，式各1分，式2分；第（3）问7分，式各1分。

评析：

本题对于刚体定轴转动做出了一定要求，即需要知道角动量定理，但这仍然在全国中学生物理竞赛内容提要中有所说明。

此外还有恢复系数，这个概念在普通高中被有意无意地忽略，所以很多选手在考试中表示对恢复系数的定义不明确导致本题无法求解。

这再次说明在考试前回归基础知识，对照考纲逐条过关的重要性。

2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析第6页，共19页从题目角度来说，本题的第一问，沿承上题思路，在牛顿定律无法使用时，从动量、角动量、能量（本题中能量无法列出方程）三个角度分析。

结合恢复系数的定义，第一小问解答没有难度。

第二问顺水推舟，从第一问的结论出发，结合一维抛体运动求解，从思维角度也没有作出要求。

最后一问显然是本题败笔，在考察了一维抛体运动后考察斜抛运动本无可厚非，但是本题需要使用微积分的手段求解（本题具体使用了导数）。

这也符合大纲要求并且基础的微积分知识确实是普通高中理科生应该掌握的内容。

但是本题的导数求完代入后又臭又长，形式复杂，易让考生做出自己做错了的错误判断。

另一方面微积分等数学知识应该是用来辅助物理求解的，物理思维应该是最主要的考察部分，本题中代数式计算显然喧宾夺主成为本题最后一问的核心，这很不合适。

本题整体对思维要求不高，最后一题要求考生细心计算，并且对自己的答案有信心。

四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz平面）等高的航线KA（沿x正方向）上，以大小为v（v远小于真空中的光速c）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点（其x坐标为Px）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段B