高考数学压轴题的研究与讲解【周老师辅导资料】.pdf

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1引21引1.1如何研究压轴题情感不畏难，不贪多价值观基本功与技巧，题多解，见多识法论解答（答案）解析（分析）解法（总结）解释（纳）1.2如何讲解压轴题三个适合适合的学（避免窍不通），适量的题（有共性，有变化，融会贯通），适度的讲解（讲关键，练实操，触类旁通）四个要素量：

耐计算，分类讨论能；敏捷：

快速试探，精准打击能；智：

知识储备，模块重组能；运：

强不息，相信天道佑勤已知定义在R上的函数f（x）=2xb2x+1+a是奇函数，则a=，b=引例1引例1般解法：

f（0）=0，f

（1）+f

（1）=0；量型训练xR,f（x）+f（x）=0；敏捷型训练limx+f（x）+limxf（x）=0已知ABC中，#BD=13#BC，#AE=12#AC，AD与BE交于点P，且#AP=#AD，则=引例2引例2量型训练设#BP=#BE，有#AP=23#AB+13#AC,#AP=

（1）#AB+13#AC,解得=34,=12.敏捷型训练如左图，过D作DFBE交AC于F，则EF=13EC=13AE，于是=341引3BCADEFPBCADEPB

（2）C

（1）A

（1）D（3）E

（2）P知识型训练如中图，由梅涅劳斯定理，有APPDDBBCCEEA=1,于是APPD=BCDBEACE=3.实战优化：

如右图，在A,B,C上标注a,b,c，使得EC:

EA=a:

c,DC:

DB=b:

c,则APPD=b+ccca=b+ca.这就相当于在D点位置填b+c，即可“杠杆原理”解题证明：

1131132113n12引例3引例3量型训练由于lnxx1，于是lnx11x，因此ln113n11113n=13n1,于是只需要证明131+1321+13n1ln2,LHS12+18+128+13433+13534+13n3n112+18+128+1541130考虑到归纳基础，需要a116；考虑递推证明，需要12+an113n+112+an+1,即anan+113n+112+an,因此取a1=16，进an=123n即可知识型训练直接利伯努利不等式，有LHS113+132+13n113113=12.更进步（Pentagonalnumbertheorem）：

（1x）（1x2）（1x3）=1xx2+x5+x7x12x15+x22+x26=k=1

（1）k（1x2k+1）xk（3k+1）/2.我们知道，平上到两个定点的距离之为定值（0且=1）的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆当两个定点A和A已知时，可以先在直线AA上找到两点M,N，使得MAMA=NANA=,然后作以MN为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆引例4引例4反过来，如果已知其中个定点A，以及动点P对应的阿波罗尼斯圆，也可以确定另个定点A的位置，如图AANOMP设阿波罗尼斯圆的圆为O，半径为r，OA=d，OA=d，则有drrd=d+rr+d=,其中=PAPA容易解得=dr=rd,1引5也就是说r是d和d的等中项，且公为上述结论形式优美，容易记忆，在很多时候可以便的解决问题例1已知P点在边长为2的正形ABCD的内切圆上运动，则AP+2BP的最值是解尝试应阿波罗尼斯圆处理系数连接对线AC，设其中点为O，则可知在此问题中r=1，d=2，于是d=22，且=2ABCDOPA因此AP+2BP=2（AP+BP）2AB,在OAB中应勾股定理可得AB=OA2+OB2=52,因此所求的最值为5例2已知P在边长为2的正ABC的内切圆上运动，则AP+2PB的最值是解与例1类似，r=33，d=233，于是d=36，且=2ABCOAP因此AP+2PB=2（AP+BP）2AB,在OAB中应余弦定理可得AB=OA2+OB2+OAOB=72,因此所求的最值为71引6作为练习，下的已知条件命题：

已知点P在圆O:

x2+y2=4上运动，A（4,0），B（4,4），求的最值OPABxy4答案是PA+2PB或22PA+PB2函数72函数2.1含参次函数的讨论例题2.1已知函数f（x）=1,x1,x,1x1,1,x1,函数g（x）=ax2x+1若函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是解（,0）（0,1），参见每题299分离参数根据题意，程f（x）=ax2x+1有两根，即ax2x+1=1,x1,x,1x1,1,x1,有两根，注意到x=0不是程的根，于是问题即程a=1x2x2,x1,2x1x2,1x0或0x1,1x,x1有两根作换元t=1x，则上述程右边g（t）=t2t2,1t0,2tt2,t1,t,00时，x1+x20；a0，y1+y20时，则x的取值范围是；

（2）集合An中有个元素解10,10.1）；12n212n+2，考虑函数g（x）=xx，即g（x）=kx（xk,k+1）11224n（n1）nn2n1（n1）2Oxy第层次，基本初等函数的图象：

特征点，渐近线，单调性；第层次，简单初等函数的图象：

正例函数，反例函数，次函数，次函数，绝对值函数，多绝对值函数，对勾函数，次分式函数；第三层次，图象变换：

平移，伸缩，对称，翻折，旋转；第四层次，知识储备：

y=1f（x），y=f（x），y=sinxf（x）应该掌握的函数图象应该掌握的函数图象2函数12例题2.5已知f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，且当x0,1时，f（x）=x+1，则程f2（x）+f（x）=x的解的个数是解4个，函数的图象本质就是程的曲线根据函数f（x）的奇偶性与周期性，作图如下Oxyy=f（x）y2+y=x2162注意到抛物线y2+y=x以14,12为顶点，以y=12为对称轴，且经过点（0,0），（2,1），（6,2），因此抛物线y2+y=x与函数y=f（x）的图象共有4个交点，所求的根的个数为4例题2.6（2013年新课标I卷第16题改）已知f（x）=（x2+x）（x2+ax+b）满对切实数x，均有f（x）=f（2x），则函数f（x）的最值为分析多项式函数为偶函数，则不含奇次项解根据题意，函数y=f（x+1）是偶函数，f（x+1）=（x+1）2+（x+1）（x+1）2+a（x+1）+b=（x2+2+3x）g（x）,其中g（x）是个次项系数为1的次多项式不难得知，g（x）=x2+23x，因此f（x+1）=（x2+2）2（3x）2=x45x2+494,当x2=52时取得等号因此函数f（x）的最值，即函数f（x+1）的最值，为942函数13例题2.7函数f（x）=2x|log0.5x|1的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解B，数形结合需谨慎对于函数f（x）=|logax|ax的零点个数，分界点为ee当0a0,函数g（x）=|f（x）|,求证：

g（x）在区间0,2上的最值不于14.分析第（3）小题在第

（2）小题的基础上可以画出极端情形：

3不等式16Oxyy=14y=1412322在此基础上利用函数f（x）在x=0,12,32,2处的函数值结合反证法证明结论即可解（3）反证法假设g（x）在区间0,2上的最值于14考虑f（0）=1b,f

（2）=12ab,f32=1832ab,f12=1812ab,我们有22a=f

（2）f（0）,a14=f12f32,所以2f122f32+f

（2）f（0）=32,但是?

2f122f32+f

（2）f（0）?

2?

f12?

+2?

f32?

+|f

（2）|+|f（0）|0）有四个不同的“近零点”，则a的最值为解14注意从区间长度出发，补充“和差积商”版的韦达定理Oxy01233不等式17对于程ax2+bx+c=0（a=0）的两个根x1,x2，有x1+x2=ba,|x1x2|=|a|,x1x2=ca,b2=x1x2+x2x1+2ac.“和差积商”版的韦达定理“和差积商”版的韦达定理例题3.7已知整系数次程ax2+bx+c=0的两个不同实根均在区间（1,2）上，求正整数a的最值解5，根表f

（1）f

（2），利f

（1）,f

（2）1和均值不等式得到a216例题3.8（每题297）已知函数f（x）=?

x2a?

，其中a0若恰好有两组解（m,n）使得f（x）在定义域m,n上的值域也为m,n，求实数a的取值范围解34,2按m,n,a的关系讨论3.3“形”“元”“次”例题3.9（每题408）若正实数x,y满（2xy1）2=（5y+2）（y2），则x+12y的最值为解3221联想平差公式，有2x1y2=3+2+2y322y,换元即得换元为整体代换，的是省纸；换元为代数变形收效是结构换元法换元法3不等式18例题3.10（每题422）设Sn是各项均为零实数的等差数列an的前n项和，若对于给定的正整数n（n1）和正数M，数列an满a21+a2n+1=M，则Sn的最值为解n2+12M注意选a1,an+1为等差数列的“基底”，它表其他的各种量设a1+an=a1+an+1，则2a1+（n1）d=（+）a1+（n）d,因此解得=n+1n,=n1n,因此Sn=n（a1+an）2=（n+1）a1+（n1）an+12（n+1）2+（n1）2a21+a2n+12=（n2+1）M2,所以Sn的最值为（n2+1）M2例题3.11（每题467）已知a,b0,1，求S（a,b）=a1+b+b1+a+（1a）（1b）的最值分析元对称代数式都可以用a+b和ab表示，然后可以尝试放缩换元解55112先进代数变形，有S（a,b）=a（1+a）+b（1+b）+（1a2）（1b2）（1+a）（1+b）=1aba2b2ab+a+b+11ab（1ab）ab+2ab+1=1ab（1ab）1+ab,当a=b时取到等号3不等式19令x=ab，则x0,1，有ab（1ab）1+ab=x2x31+x,记右侧为函数f（x），则f（x）的导函数f（x）=2x（x2+x1）（1+x）2,于是当x=512时，函数f（x）取得最值f512=55112,因此原代数式S（a,b）的最值为13552，当a=b=512时取到例题3.12已知a+b+c=1，a,b,c0，求（ca）（cb）的取值范围解18,14向量204向量4.1等系数和线例题4.1（每题426）在扇形AOB中，OA=OB=1，AOB=3，C为弧AB（不包含端点）上的点，且#OC=x#OA+y#OB

（1）求x+y的取值范围；

（2）若t=x+y存在最值，求的取值范围解

（1）1,233；

（2）12,2，控制“等系数和”线的向OBACNMOBACMN例题4.2（每题466）已知O为锐ABC的外，A=3，且#OA=x#OB+y#OC，求2xy的取值范围解（2,1）例题4.3（每题194）已知圆O:

x2+y2=1为ABC的外接圆，且tanA=2，若#AO=x#AB+y#AC，则x+y的最值为解5544.2运动的转化和分解例题4.4（每题108）在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA=33，若#AB#AE+#AC#AF=2，则#EF与#BC夹的余弦值为解23，统起点为B4向量21例题4.5（每题456）如图，圆O的半径为1，OA=12设B,C是圆O上任意两点，则#AC#BC的取值范围是OACB解18,3，统起点为C固定#CBOACBPHM