高考数学压轴题的研究与讲解【周老师辅导资料】.pdf

1、1引21引1.1如何研究压轴题情感不畏难，不贪多价值观基本功与技巧，题多解，见多识法论解答(答案)解析(分析)解法(总结)解释(纳)1.2如何讲解压轴题三个适合适合的学(避免窍不通)，适量的题(有共性，有变化，融会贯通)，适度的讲解(讲关键，练实操，触类旁通)四个要素量：耐计算，分类讨论能；敏捷：快速试探，精准打击能；智：知识储备，模块重组能；运：强不息，相信天道佑勤已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x b2x+1+a是奇函数，则 a=，b=引例 1引例 1般解法：f(0)=0，f(1)+f(1)=0；量型训练x R,f(x)+f(x)=0；敏捷型训练limx+f(x)+limxf(x)=

2、0已知 ABC 中，#BD=13#BC，#AE=12#AC，AD 与 BE 交于点 P，且#AP=#AD，则=引例 2引例 2量型训练设#BP=#BE，有#AP=23#AB+13#AC,#AP=(1 )#AB+13#AC,解得=34,=12.敏捷型训练如左图，过 D 作 DF BE 交 AC 于 F，则 EF=13EC=13AE，于是 =341引3BCADEFPBCADEPB(2)C(1)A(1)D(3)E(2)P知识型训练如中图，由梅涅劳斯定理，有APPDDBBCCEEA=1,于是APPD=BCDBEACE=3.实战优化：如右图，在 A,B,C 上标注 a,b,c，使得EC:EA=a:c,D

3、C:DB=b:c,则APPD=b+ccca=b+ca.这就相当于在 D 点位置填 b+c，即可“杠杆原理”解题证明：1 131 1321 13n12引例 3引例 3量型训练由于 lnx x 1，于是 lnx 1 1x，因此ln1 13n 1 11 13n=13n 1,于是只需要证明13 1+132 1+13n 1 ln2,LHS 12+18+128+134 33+135 34+13n 3n112+18+128+1541 13 0 考虑到归纳基础，需要 a116；考虑递推证明，需要12+an1 13n+112+an+1,即an an+113n+112+an,因此取 a1=16，进 an=12 3

4、n即可知识型训练直接利伯努利不等式，有LHS 1 13+132+13n 1 131 13=12.更进步(Pentagonal number theorem)：(1x)(1x2)(1x3)=1xx2+x5+x7x12x15+x22+x26=k=1(1)k(1x2k+1)xk(3k+1)/2.我们知道，平上到两个定点的距离之为定值(0 且 =1)的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆当两个定点 A 和 A已知时，可以先在直线 AA上找到两点 M,N，使得MAMA=NANA=,然后作以 MN 为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆引例 4引例 4反过来，如果已知其中个定点 A，以及动点 P 对应的阿波罗

5、尼斯圆，也可以确定另个定点 A的位置，如图AANOMP设阿波罗尼斯圆的圆为 O，半径为 r，OA=d，OA=d，则有d rr d=d+rr+d=,其中 =PAPA容易解得=dr=rd,1引5也就是说 r 是 d 和 d的等中项，且公为 上述结论形式优美，容易记忆，在很多时候可以便的解决问题例 1已知 P 点在边长为 2 的正形 ABCD 的内切圆上运动，则 AP+2BP 的最值是解尝试应阿波罗尼斯圆处理系数连接对线 AC，设其中点为 O，则可知在此问题中 r=1，d=2，于是 d=22，且 =2 ABCDOPA因此AP+2BP=2 (AP+BP)2 AB,在 OAB 中应勾股定理可得AB=OA

6、2+OB2=52,因此所求的最值为5 例 2已知 P 在边长为 2 的正 ABC 的内切圆上运动，则 AP+2PB 的最值是解与例 1 类似，r=33，d=233，于是 d=36，且 =2ABCOAP因此AP+2PB=2 (AP+BP)2 AB,在 OAB 中应余弦定理可得AB=OA2+OB2+OA OB=72,因此所求的最值为7 1引6作为练习，下的已知条件命题：已知点 P 在圆 O:x2+y2=4 上运动，A(4,0)，B(4,4)，求的最值OPABxy4答案是 PA+2PB 或 22PA+PB 2函数72函数2.1含参次函数的讨论例题 2.1已知函数 f(x)=1,x 1,x,1 x 1

7、,1,x 1,函数 g(x)=ax2 x+1若函数 y=f(x)g(x)恰好有2 个不同零点，则实数 a 的取值范围是解(,0)(0,1)，参见每题 299分离参数根据题意，程 f(x)=ax2 x+1 有两根，即ax2 x+1=1,x 1,x,1 x 1,1,x 1,有两根，注意到 x=0 不是程的根，于是问题即程a=1x2x2,x 1,2x1x2,1 x 0 或 0 x 1,1x,x 1有两根作换元 t=1x，则上述程右边g(t)=t 2t2,1 t 0,2t t2,t 1,t,0 0 时，x1+x2 0；a 0，y1+y2 0 时，则 x 的取值范围是；(2)集合 An中有个元素解10,

8、10.1)；12n212n+2，考虑函数 g(x)=xx，即 g(x)=k x(x k,k+1)11224n(n 1)nn2n 1(n 1)2Oxy第层次，基本初等函数的图象：特征点，渐近线，单调性；第层次，简单初等函数的图象：正例函数，反例函数，次函数，次函数，绝对值函数，多绝对值函数，对勾函数，次分式函数；第三层次，图象变换：平移，伸缩，对称，翻折，旋转；第四层次，知识储备：y=1f(x)，y=f(x)，y=sinx f(x)应该掌握的函数图象应该掌握的函数图象2函数12例题 2.5已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，且当 x 0,1 时，f(x)=x+1，则程f2(x)

9、+f(x)=x 的解的个数是解4 个，函数的图象本质就是程的曲线根据函数 f(x)的奇偶性与周期性，作图如下Oxyy=f(x)y2+y=x2162注意到抛物线 y2+y=x 以14,12为顶点，以 y=12为对称轴，且经过点(0,0)，(2,1)，(6,2)，因此抛物线 y2+y=x 与函数 y=f(x)的图象共有 4 个交点，所求的根的个数为 4 例题 2.6(2013 年新课标 I 卷第 16 题改)已知 f(x)=(x2+x)(x2+ax+b)满对切实数 x，均有f(x)=f(2 x)，则函数 f(x)的最值为分析多项式函数为偶函数，则不含奇次项解根据题意，函数 y=f(x+1)是偶函数

10、，f(x+1)=(x+1)2+(x+1)(x+1)2+a(x+1)+b=(x2+2+3x)g(x),其中 g(x)是个次项系数为 1 的次多项式不难得知，g(x)=x2+2 3x，因此f(x+1)=(x2+2)2(3x)2=x4 5x2+4 94,当 x2=52时取得等号因此函数 f(x)的最值，即函数 f(x+1)的最值，为 942函数13例题 2.7函数 f(x)=2x|log0.5x|1 的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解B，数形结合需谨慎对于函数 f(x)=|logax|ax的零点个数，分界点为 ee当 0 a 0,函数 g(x)=|f(x)|,求证：g(x)在区间 0,2 上

11、的最值不于14.分析第(3)小题在第(2)小题的基础上可以画出极端情形：3不等式16Oxyy=14y=1412322在此基础上利用函数 f(x)在 x=0,12,32,2 处的函数值结合反证法证明结论即可解(3)反证法假设 g(x)在区间 0,2 上的最值于14考虑f(0)=1 b,f(2)=1 2a b,f32=1832a b,f12=1812a b,我们有2 2a=f(2)f(0),a 14=f12 f32,所以2f12 2f32+f(2)f(0)=32,但是?2f12 2f32+f(2)f(0)?2?f12?+2?f32?+|f(2)|+|f(0)|0)有四个不同的“近零点”，则 a 的

12、最值为解14注意从区间长度出发，补充“和差积商”版的韦达定理Oxy01233不等式17对于程 ax2+bx+c=0(a=0)的两个根 x1,x2，有x1+x2=ba,|x1 x2|=|a|,x1x2=ca,b2=x1x2+x2x1+2ac.“和差积商”版的韦达定理“和差积商”版的韦达定理例题 3.7已知整系数次程 ax2+bx+c=0 的两个不同实根均在区间(1,2)上，求正整数 a 的最值解5，根表 f(1)f(2)，利 f(1),f(2)1 和均值不等式得到 a2 16 例题 3.8(每题 297)已知函数 f(x)=?x2 a?，其中 a 0若恰好有两组解(m,n)使得 f(x)在定义域

13、 m,n 上的值域也为 m,n，求实数 a 的取值范围解34,2按 m,n,a 的关系讨论3.3“形”“元”“次”例题 3.9(每题 408)若正实数 x,y 满(2xy1)2=(5y+2)(y2)，则 x+12y的最值为解322 1联想平差公式，有2x 1y2=3+2+2y3 2 2y,换元即得换元为整体代换，的是省纸；换元为代数变形收效是结构换元法换元法3不等式18例题 3.10(每题 422)设 Sn是各项均为零实数的等差数列 an 的前 n 项和，若对于给定的正整数 n(n 1)和正数 M，数列 an 满 a21+a2n+1=M，则 Sn的最值为解n2+12 M 注意选 a1,an+1

14、为等差数列的“基底”，它表其他的各种量 设 a1+an=a1+an+1，则2a1+(n 1)d=(+)a1+(n)d,因此解得=n+1n,=n 1n,因此Sn=n(a1+an)2=(n+1)a1+(n 1)an+12(n+1)2+(n 1)2a21+a2n+12=(n2+1)M2,所以 Sn的最值为(n2+1)M2例题 3.11(每题 467)已知 a,b 0,1，求 S(a,b)=a1+b+b1+a+(1 a)(1 b)的最值分析元对称代数式都可以用 a+b 和 ab 表示，然后可以尝试放缩换元解55 112先进代数变形，有S(a,b)=a(1+a)+b(1+b)+(1 a2)(1 b2)(

15、1+a)(1+b)=1 ab a2b2ab+a+b+1 1 ab(1 ab)ab+2ab+1=1 ab(1 ab)1+ab,当 a=b 时取到等号3不等式19令 x=ab，则 x 0,1，有ab(1 ab)1+ab=x2 x31+x,记右侧为函数 f(x)，则 f(x)的导函数f(x)=2x(x2+x 1)(1+x)2,于是当 x=5 12时，函数 f(x)取得最值f5 12=55 112,因此原代数式 S(a,b)的最值为13 552，当 a=b=5 12时取到例题 3.12已知 a+b+c=1，a,b,c 0，求(c a)(c b)的取值范围解18,14向量204向量4.1等系数和线例题

16、4.1(每题 426)在扇形 AOB 中，OA=OB=1，AOB=3，C 为弧 AB(不包含端点)上的点，且#OC=x#OA+y#OB(1)求 x+y 的取值范围；(2)若 t=x+y 存在最值，求 的取值范围解(1)1,233；(2)12,2，控制“等系数和”线的向OBACNMOBACMN例题 4.2(每题 466)已知 O 为锐 ABC 的外，A=3，且#OA=x#OB+y#OC，求 2x y的取值范围解(2,1)例题 4.3(每题 194)已知圆 O:x2+y2=1 为 ABC 的外接圆，且 tanA=2，若#AO=x#AB+y#AC，则 x+y 的最值为解5 544.2运动的转化和分解例题 4.4(每题 108)在 ABC 和 AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6，CA=33，若#AB#AE+#AC#AF=2，则#EF 与#BC 夹的余弦值为解23，统起点为 B 4向量21例题 4.5(每题 456)如图，圆 O 的半径为 1，OA=12设 B,C 是圆 O 上任意两点，则#AC#BC的取值范围是OACB解18,3，统起点为 C 固定#CB OACBPHM