2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版).pdf

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162第一届（2009）全国大学生数学竞赛预赛试卷第一届（2009）全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）一、填空题（每小题5分，共20分）1计算=+yxyxxyyxDdd1）1ln（）（，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围成三角形区域。

2设）（xf是连续函数，且满足=2022d）（3）（xxfxxf,则=）（xf；3曲面2222+=yxz平行平面022=+zyx的切平面方程是；4设函数）（xyy=由方程29ln）（yyfexe=确定，其中f具有二阶导数，且1f，则=22ddxy。

二、（本题满分5分）二、（本题满分5分）求极限xenxxxxneee）（lim20+?

，其中n是给定的正整数。

三、（本题满分15分）三、（本题满分15分）设函数）（xf连续，=10d）（）（txtfxg，且Axxfx=）（lim0，A为常数，求）（xg并讨论）（xg在0=x处的连续性。

四、（本题满分15分）四、（本题满分15分）已知平面区域0,0|）,（=yxyxD，L为D的正向边界，试证：

（1）=LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；

（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe。

五、（本题满分10分）五、（本题满分10分）已知xxexey21+=，xxexey+=2，xxxeexey+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。

六、（本题满分10分）六、（本题满分10分）设抛物线cbxaxyln22+=过原点。

当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1=x所围图形的面积为31。

试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。

七、（本题满分15分）七、（本题满分15分）已知）（xun满足）,2,1（）（）（1?

=+=nexxuxuxnnn,且neun=）1（,求函数项级数=1）（nnxu之和。

八、（本题满分10分）八、（本题满分10分）求1x时,与=02nnx等价的无穷大量。

163第一届（2010）全国大学生数学竞赛决赛试卷第一届（2010）全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算题（每小题5分，共20分）一、计算题（每小题5分，共20分）1求极限121lim

（1）sinnnkkknn=+。

2计算2222（）axdydzzadxdyxyz+，其中为下半球面222zayx=的上侧，0a。

3现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器。

已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元。

试给出最节省的设计方案：

即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？

4已知（）fx在11（,）42内满足331（）sincosfxxx=+，求（）fx。

二、求下列极限（每小题5分，共10分）二、求下列极限（每小题5分，共10分）11lim1nnnen+；2111lim3nnnnnabc+,其中0,0,0abc。

三、（本题满分10分）三、（本题满分10分）设（）fx在1x=点附近有定义，且在1x=点可导，

（1）0,

（1）2ff=，求220（sincos）limtanxfxxxxx+。

四、（本题满分10分）四、（本题满分10分）设（）fx在0,）+上连续，无穷积分0（）fxdx收敛。

求01lim（）yyxfxdxy+。

五、（本题满分12分）五、（本题满分12分）设函数（）fx在0,1上连续，在（0,1）内可微，且1（0）

（1）0,（）12fff=。

证明：

（1）存在1（,1）2使得（）f=；

（2）存在（0,）使得（）（）1ff=+。

六、（本题满分14分）六、（本题满分14分）设1n为整数，20（）1.1!

2!

nxttttFxedtn=+。

证明：

方程（）2nFx=在（,）2nn内至少有一个根。

七、（本题满分12分）七、（本题满分12分）是否存在1R中的可微函数（）fx使得2435（）1ffxxxxx=+？

若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

八、（本题满分12分）八、（本题满分12分）设（）fx在0,）上一致连续，且对于固定的0,）x，当自然数164n时（）0fxn+。

证明：

函数序列（）:

1,2,.fxnn+=在0,1上一致收敛于0。

第二届（2010）全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届（2010）全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共25分）一、填空题（每小题5分，共25分）1.设22

（1）

（1）

（1）,nnxaaa=+?

其中|1,a，求0（1,2,）sxnIexdxn=?

。

4.设函数（）ft有二阶连续导数，221,（,）rxygxyfr=+=，求2222ggxy+。

5.求直线10:

0xylz=与直线2213:

421xyzl=的距离。

二、（本题满分15分）二、（本题满分15分）设函数（）fx在（,）+上具有二阶导数，并且（）0,lim（）0,lim（）0,xxfxfxfx+=且存在一点0x，使得0（）0fx=所确定，且2234

（1）dydxt=+，其中（）t有二阶导数，曲线（）yt=与22132tuyedue=+在1t=出相切，求函数（）t。

四、（本题满分15分）四、（本题满分15分）设10,nnnkkaSa=证明：

（1）当1时，级数1nnnaS+=收敛；

（2）当1且（）nsn时，级数1nnnaS+=发散。

五、（本题满分15分）五、（本题满分15分）设l是过原点、方向为（,），（其中2221）+=的直线，均匀椭球2222221xyzabc+，其中（0,cba，2222:

zxy=+，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五、（本题满分16分）五、（本题满分16分）已知S是空间曲线22310xyz+=绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是S在（）,Pxyz点处的切平面，（）,xyz是原点到切平面的距离，,表示S的正法向的方向余弦。

计算：

（1）（）,SzdSxyz；

（2）（）3SzxyzdS+。

166六、（本题满分12分）六、（本题满分12分）设（）fx是在（,）+内的可微函数，且（）（）fxmfx，其中01m）有一质量为m的质点，求射线对该点的引力.五、（本题满分15分）五、（本题满分15分）设（）,zzxy=是由方程11,0Fzzxy+=确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：

（）2222233220,0zzzzzxyxxyxyyxxxxyy+=+=.六、（本题满分15分）六、（本题满分15分）设函数（）fx连续，,abc为常数，是单位球面2221xyz+=，167记第一型曲面积分（）IfaxbyczdS=+.求证：

（）122212Ifuabcdu=+.第三届（2012）全国大学生数学竞赛决赛试卷第三届（2012）全国大学生数学竞赛决赛试卷一、计算下列各题（本题满分30分，每小题6分）一、计算下列各题（本题满分30分，每小题6分）

（1）222220sincoslimsinxxxxxx

（2）（）13611limtan12xxxxexx+（3）设函数（,）fxy有二阶连续偏导数,满足2220xyyxyxyyyyfffffff+=且0yf,（,）yyxz=是由方程（,）zfxy=所确定的函数.求22yx（4）求不定积分（）111xxIxedxx+=+（5）求曲面22xyaz+=和222zaxy=+（0）a所围立体的表面积二、（本题满分13分）二、（本题满分13分）讨论220cossinxdxxxx+的敛散性，其中是一个实常数.三、（本题满分13分）三、（本题满分13分）设（）fx在（,）+上无穷次可微，并且满足:

存在0M，使得（）（）kfxM，（,）x+，（1,2,）k=?

且1（）02nf=，（1,2,）n=?

求证：

在（,）+上，（）0fx四、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）四、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）设D为椭圆形22221xyab+（0）ab，面密度为的均质薄板；l为通过椭圆焦点（,0c）（其中222cab=）垂直于薄板的旋转轴.1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J；2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.五、（本题满分12分）五、（本题满分12分）设连续可微函数（,）zfxy=由方程（,）0Fxzyxyz=（其中（,）0Fuv=有连续的偏导数）唯一确定,L为正向单位圆周.试求：

22

（2）

（2）LIxzyzdyxzyzdx=+?

六、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）六、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）168

（1）求解微分方程2（0）1xyxyxey=

（2）如（）yfx=为上述方程的解，证明1220lim（）12nnfxdxnx=+第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本题满分30分，每小题6分）一、（本题满分30分，每小题6分）1.求极限（）21lim!

nnn；2.求通过直线2320:

55430xyzLxyz+=+=的两个相互垂直的平面12,，使其中一个平面过点（）4,3,1；3.已知函数（）2,0axbyuzuxyexy+=且，确定常数ab和，使得函数（）,zzxy=满足方程20zzzzxyxy+=；4.设函数（）uux=连续可微，（）21u=，且（）（）32xyudxxuudy+在右半平面上与路径无关，求（）ux；5.求极限13sinlimcosxxxtxdttt+.二、（本题满分10分）二、（本题满分10分）计算20sinxexdx+三、（本题满分10）三、（本题满分10）求方程21sin2501xxx=的近似解，精确到0.001.四、（本题满分12分）四、（本题满分12分）设函数（）yfx=的二阶可导，且（）（）（）0,00,00fxff=，求（）（）330limsinxxfufxu，其中u是曲线（）yfx=上点（）（）,pxfx处的切线在x轴上的截距.五、（本题满分12分）五、（本题满分12分）求最小实数C，使得满足（）101fxdx=的连续函数（）fx都有（）10fxdxC六、（本题满分12分）六、（本题满分12分）设（）fx为连续函数，0t.区域是由抛物面22zxy=+和球面169（）22220xyztt+=所围起来的部分.定义三重积分（）（）222FtfxyzdV=+，求导数（）Ft七、（本题满分14分）设1nna=与1nnb=为正项级数

（1）若111lim0nnnnnaabb+，则1nna=收敛；

（2）若111lim0nnnnnaabb+，且1nnb=发散，则1nna=发散.第四届（2013）全国大学生数学竞赛决赛试卷第四届（2013）全国大学生数学竞赛决赛试卷一、（25分）简答下列各题一、（25分）简答下列各题1.计算+axaxaxxln）ln（ln）lnln（lim0，2.设）,（vuf具有连续偏导数，且满足uvvufvufvu=+）,（）,（，求）,（）（2xxfexyx=所满足的一阶微分方程，并求其通解。

3.求在），+0上的可微函数）（xf，使）（）（xuexf=，其中dttfxux）（）（0=。

4.计算不定积分dxxxx）1ln（arctan2+5.过直线=+=+0272210zyxzy作曲面27322