2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版).pdf

1、162 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷 第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算=+yxyxxyyxDdd1)1ln()(，其中区域D由直线1=+yx与两坐标轴所围成三角形区域。2设)(xf是连续函数，且满足=2022d)(3)(xxfxxf,则=)(xf ；3曲面2222+=yxz平行平面022=+zyx的切平面方程是 ；4设函数)(xyy=由方程29ln)(yyfexe=确定，其中f具有二阶导数，且1 f，则=22ddxy 。二、（本题满分 5 分）二、（本题满分 5 分）求极限x

2、enxxxxneee)(lim20+?，其中n是给定的正整数。三、（本题满分 15 分）三、（本题满分 15 分）设函数)(xf连续，=10d)()(txtfxg，且Axxfx=)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0=x处的连续性。四、（本题满分 15 分）四、（本题满分 15 分）已知平面区域0,0|),(=yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）=LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe。五、（本题满分 10 分）五、（本题满分 10 分）已知xxexey21+=，xxexey+=2，xxxeexe

3、y+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。六、（本题满分 10 分）六、（本题满分 10 分）设抛物线cbxaxyln22+=过原点。当10 x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1=x所围图形的面积为31。试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。七、（本题满分 15 分）七、（本题满分 15 分）已知)(xun满足),2,1()()(1?=+=nexxuxuxnnn,且neun=)1(,求函数项级数=1)(nnxu之和。八、（本题满分 10 分）八、（本题满分 10 分）求1x时,与=02nnx等价的无穷大量。163 第一届(2010)全国大学生

4、数学竞赛决赛试卷 第一届(2010)全国大学生数学竞赛决赛试卷 一、计算题（每小题 5 分，共 20 分）一、计算题（每小题 5 分，共 20 分）1求极限121lim(1)sinnnkkknn=+。2 计算2222()axdydzzadxdyxyz+，其中为下半球面222zayx=的上侧，0a。3 现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器。已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？4 已知()f x在1 1(,)4 2内满足331()sincosfxxx=+，求()f x。二、求下列极限（每小题 5 分

5、，共 10 分）二、求下列极限（每小题 5 分，共 10 分）11lim1nnnen+；2111lim3nnnnnabc+,其中0,0,0abc。三、（本 题 满 分 10 分）三、（本 题 满 分 10 分）设()f x在1x=点 附 近 有 定 义，且 在1x=点 可 导，(1)0,(1)2ff=，求220(sincos)limtanxfxxxxx+。四、（本题满分 10 分）四、（本题满分 10 分）设()f x在0,)+上连续，无穷积分0()f x dx收敛。求 01lim()yyxf x dxy+。五、（本 题 满 分 12分）五、（本 题 满 分 12分）设 函 数()f x在0,

6、1上 连 续，在(0,1)内 可 微，且1(0)(1)0,()12fff=。证明：(1)存在1(,1)2使得()f=；(2)存在(0,)使得()()1ff=+。六、（本题满分 14 分）六、（本题满分 14 分）设1n 为整数，20()1.1!2!nxttttF xedtn=+。证明：方程()2nF x=在(,)2nn内至少有一个根。七、（本题满分 12 分）七、（本题满分 12 分）是否存在1R中的可微函数()f x使得 2435()1f f xxxxx=+？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。八、（本题满分 12 分）八、（本题满分 12 分）设()f x在0,)上一致连续，且对

7、于固定的0,)x，当自然数164 n 时()0f xn+。证明：函数序列():1,2,.f xnn+=在0,1上一致收敛于 0。第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷 第二届(2010)全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1.设22(1)(1)(1),nnxaaa=+?其中|1,a，求0(1,2,)sxnIex dx n=?。4.设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr=+=，求2222ggxy+。5.求直线10:0 xylz=与直线2213:421xyzl=的距离。二、（本题满分 15

8、 分）二、（本题满分 15 分）设函数()f x在(,)+上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx+=且存在一点0 x，使得0()0f x=所确定，且2234(1)d ydxt=+，其中()t有二阶导数，曲线()yt=与22132tuyedue=+在1t=出相切，求函数()t。四、（本题满分 15 分）四、（本题满分 15 分）设10,nnnkkaSa=证明：（1）当1时，级数1nnnaS+=收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS+=发散。五、（本题满分 15 分）五、（本题满分 15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)+=的直线，均匀椭

9、球2222221xyzabc+，其中（0,cba，2222:zxy=+，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五、（本题满分 16 分）五、（本题满分 16 分）已知S是空间曲线22310 xyz+=绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是S在(),P x y z点处的切平面，(),x y z是原点到切平面的距离，,表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）(),SzdSx y z；（2）()3Szxyz dS+。166 六、（本题满分 12 分）六、（本题满分 12 分）设()f x是在(,)+内的可微函数，且()()fxmf x，其中01m）有一质量为

10、m的质点，求射线对该点的引力.五、（本题满分 15 分）五、（本题满分 15 分）设(),zz x y=是由方程11,0F zzxy+=确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：()2222233220,0zzzzzxyxxy xyyxxxx yy+=+=.六、（本题满分 15 分）六、（本题满分 15 分）设函数()f x连续，,a b c为常数，是单位球面2221xyz+=，167 记第一型曲面积分()If axbycz dS=+.求证：()122212If u abcdu=+.第三届（2012）全国大学生数学竞赛决赛试卷 第三届（2012）全国大学生数学竞赛决赛试卷 一、计算下列各题（

11、本题满分 30 分，每小题 6 分）一、计算下列各题（本题满分 30 分，每小题 6 分）(1)222220sincoslimsinxxxxxx(2)()13611limtan12xxxxexx+(3)设函数(,)f x y有二阶连续偏导数,满足2220 xyyxyxyyyyf ff f ff f+=且0yf,(,)yy x z=是由方程(,)zf x y=所确定的函数.求22yx(4)求不定积分()111xxIxedxx+=+(5)求曲面22xyaz+=和222zaxy=+(0)a 所围立体的表面积 二、（本题满分 13 分）二、（本题满分 13 分）讨论220cossinxdxxxx+的敛

12、散性，其中是一个实常数.三、（本题满分 13 分）三、（本题满分 13 分）设()f x在(,)+上无穷次可微，并且满足:存在0M，使得()()kfxM，(,)x +，(1,2,)k=?,且1()02nf=，(1,2,)n=?求证：在(,)+上，()0f x 四、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）四、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分）设D为椭圆形22221xyab+(0)ab，面密度为的均质薄板；l为通过椭圆焦点(,0c）(其中222cab=)垂直于薄板的旋转轴.1.求薄板D绕l旋转的转动惯量J；2.对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.五、（

13、本题满分 12 分）五、（本题满分 12 分）设连续可微函数(,)zf x y=由方程(,)0F xzy xyz=（其中(,)0F u v=有 连 续 的 偏 导 数）唯 一 确 定,L为 正 向 单 位 圆 周.试 求：22(2)(2)LIxzyz dyxzyzdx=+?六、（本题满分 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）六、（本题满分 16 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分）168 (1)求解微分方程2(0)1xyxyxey=(2)如()yf x=为上述方程的解，证明1220lim()12nnf x dxn x=+第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛

14、试卷 第四届（2012）全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、（本题满分 30 分，每小题 6 分）一、（本题满分 30 分，每小题 6 分）1.求极限()21lim!nnn；2.求通过直线2320:55430 xyzLxyz+=+=的两个相互垂直的平面12,，使其中一个平面过点()4,3,1；3.已知函数()2,0ax byuzu x y ex y+=且，确定常数ab和，使得函数(),zz x y=满足方程20zzzzx yxy+=；4.设函数()uu x=连续可微，()21u=，且()()32xy udxxu udy+在右半平面上与路径无关，求()u x；5.求极限13sinlimcosxxxt

15、xdttt+.二、（本题满分 10 分）二、（本题满分 10 分）计算20sinxex dx+三、（本题满分 10）三、（本题满分 10）求方程21sin2501xxx=的近似解，精确到 0.001.四、（本题满分 12 分）四、（本题满分 12 分）设函数()yf x=的二阶可导，且()()()0,00,00fxff=，求()()330limsinxx f uf xu，其中u是曲线()yf x=上点()(),p x f x处的切线在x轴上的截距.五、（本题满分 12 分）五、（本题满分 12 分）求最小实数C，使得满足()101f x dx=的连续函数()f x都有()10fx dxC 六、

16、（本题满分 12 分）六、（本题满分 12 分）设()f x为连续函数，0t.区域是由抛物面22zxy=+和球面 169 ()22220 xyztt+=所围起来的部分.定义三重积分()()222F tf xyz dV=+，求导数()Ft 七、（本题满分 14 分）设1nna=与1nnb=为正项级数（1）若111lim0nnnnnaabb+，则1nna=收敛；（2）若111lim0nnnnnaabb+，且1nnb=发散，则1nna=发散.第四届(2013)全国大学生数学竞赛决赛试卷 第四届(2013)全国大学生数学竞赛决赛试卷 一、(25 分)简答下列各题 一、(25 分)简答下列各题 1.计算+axaxaxxln)ln(ln)lnln(lim0，2.设),(vuf具有连续偏导数，且满足uvvufvufvu=+),(),(，求),()(2xxfexyx=所满足的一阶微分方程，并求其通解。3.求在），+0上的可微函数)(xf，使)()(xuexf=，其中dttfxux)()(0=。4.计算不定积分dxxxx)1ln(arctan2+5.过直线=+=+0272210zyxzy作曲面27322