数学与人类文明一.docx

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数学与人类文明一

蔡天新：

数学与人类文明

（一）

数学的起源埃及和巴比伦

蔡天新，1963年出生于浙江台州，15岁考入山东大学，24岁获理学博士学位，现为浙江大学数学系教授、博士生导师。

先后主持多项数论和数学史方向的国家自然科学基金和外国文学方向的国家社会科学基金，并为《读书》、《南方周末》等报刊撰写了大量的科学随笔和文化批评。

新近承担国家级规划教材《数学与人类文明》的写作和同名通识课程的教学工作（春学期，周二下午紫金港西一402）。

蔡天新在上大学的路上第一次见到火车，如今足迹已遍及5大洲80多个国家和地区。

1984年元旦之夜，缪斯的一次偶然光顾催发了他的诗情，至今已出版诗集、游记、随笔集、传记、译作集等十余部和数种外版著作，近作有诗集《幽居之歌》（英文版，南非）、南美回忆录《南方的博尔赫斯》、传记《与伊丽莎白同行》（花城，2007年1月），并主编《现代汉诗100首》（三联书店，即出）。

蔡天新有多首（篇）作品入选《中学语文》和《大学语文》新读本，曾担任安高诗歌奖和中国博客网大赛评委，他的作品被翻译成英、西、法、意、德和日、韩、阿拉伯语、世界语等15种文字，先后应邀参加了麦德林、罗莎里奥（阿根廷）、苏黎世、热那亚、德班（南非）、斯特鲁加（马其顿）、维兰尼察（斯洛文尼亚）、柏林、广州、奈舍（瑞典）、的里雅斯特（意大利）、乌兰巴托、魁北克（加拿大）、科克（爱尔兰）等国际诗歌节和文学节。

   当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。

    ——伯特兰·罗素

   一、数学的起源

   1、记数的开始

   如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。

然而，我们坚信，数学的每一次发展，都伴随着人类文明的一次进步。

亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，例如，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡。

本来，对食物的需求出自人类的生存本能，不少动物也具有这个意识。

慢慢地，人类有了明确的数的概念：

1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。

   在有文字记载以前，记数和简单的算术也发展起来了。

打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。

就像不同种族称呼家庭成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。

后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法，即石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。

   在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：

当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群，早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。

晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。

当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。

   说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。

据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄，这比起如今缅甸某些少数民族的妇女所保持的习俗多了审美以外的含义。

从前，英国酒保往往用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数，而西班牙酒保则通过向顾客的帽子里投放小石子来做这一计数。

   后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。

再后来，随着书写方式的改良，就形成了代表这些数的书写符号。

最初，在诸如两只羊和两个人所用的语音和用词也是不同的。

例如，在英语中teamofhorses（共同拉车或拉犁的两匹马），yokeofoxen（共轭的两头牛），spanofmules（两只骡），braceofdogs（一对狗），pairofshoes（一双鞋），等等。

至于汉语里的量词变化，那就更多了，且一直保留至今。

   可是，人类把数2作为共同性质抽象出来，并采用与大多数具体事物均无关的某个语音来替代它，或许是经过了很长时间才实现的。

如同英国哲学家兼数学家伯特兰·罗素所说的，“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。

”而在我看来，数学的诞生或许要稍晚一点，即是在人们从“2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2加3等于5”之时。

   2、数基和进制

   当需要进行更广泛的数字交流时，就必须将计数方法系统化。

世界各地的人们不约而同地采取了以下方法：

把从1开始的若干连续的数字作为基本数字，以它们的组合来表示大于这些数字的数。

换言之，如果大于1的某个数b作为计数的进位制或基（base），并确定出数目1，2，3，……，b的名称，则任何大于b的数可以用这b个数的一个组合表示。

   有证据表明，2，3和4都曾被当作原始的数基。

例如，澳大利亚昆士兰州的原住民是这么计数的，“1，2，2和1，两个2，……”。

某些非洲矮人是这么称呼最前面的6个自然数的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。

”这两种计数均为2进制，它的应用后来导致了电子计算机的发明。

而阿根廷火地岛的一个部落和南美的其他一些部落则分别以数字3和4为基。

   不难设想，由于人类的每只手和脚均有5个手指或脚趾，5进制一度得到了广泛的应用。

至今某些南美部落仍用手计数，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。

直到1880年，德国的农历仍以5为数基。

1937年，在捷克摩拉维亚地区出土的一块幼狼胫骨上，几十道刻痕明显是以5进制排列的。

而西伯利亚的尤卡吉亚人至今仍采用一种类似于5-10混合进制的方式计数。

   12也常被用来作数基，这可能与它被6个数整除有关，也可能是因为一年有12个溯望月。

例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英镑是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。

有意思的是，直到上个世纪70年代，中国乡村的秤还刻有两种进制，包括16进制。

与此同时，没有12进制的中国人的文字里也有“打”这个概念。

而英语里除了dozen（打）以外，甚至还有gross（箩），一箩是12打，一打是12个。

   20进制也曾被广泛使用，它使我想起人类的赤脚时代，一双脚和一双尸首共有20个指头。

美洲印第安人使用过它，包括高度发达的玛雅文明。

在法语里用4个20来代替80，4个20加10来代替90。

丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也能发现这种痕迹，令人惊奇的是，这些地方并非都是温带。

在英语里20（score）是个常用字，而汉语里也有“廿”这个字。

还有古代巴比伦人使用的60进制，即使在今天仍在时间和角度计量单位中不可或缺。

   可是，人类最终仍普遍接受了10进制。

在有记载的历史中，包括古埃及的象形数字、中国的甲骨文数字和筹算数码、希腊的阿提卡数字、印度的婆罗门数字，等等，都采用了10进制。

在我们的头脑里，10已成为数制的必然单位，正如2已被电脑特别拥有。

原因十分简单，博学的希腊哲学家亚里士多德已经为我们指出，“10进制的广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学的事实结果。

”

   除了口说以外，用手指表达数也曾长期被采纳。

英语里的digit原本是指手指或脚趾，后来才表示从1到9这些数字，如今我们正处于数字时代。

事实上，原始人甚或开化的人，在进行口头计数时往往同时做出一些手势。

例如，当说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。

而某些部落或民族，我们可以通过观察他们计数时的手语来判断其归属。

在今天的中国，我们仍然可以通过一个人划拳的手势大致弄清楚他或她究竟来自哪个省份或地区。

   3、阿拉伯数系

   据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万年以前，经过极其缓慢的发展，大约在公元前三千多年，终于出现了书写记数和相应的数系。

可能是受手指表达数的影响，最早的表示数1，2，3和4的书写符号大多是相应数目的竖或横的堆积。

前者有古埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字和中国的纵式筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字（数4例外）。

   有意思的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达前4个数的数系均不约而同的采用了10进制，而另外两种著名的数系，即巴比伦的楔形数字和玛雅数字，分别用一个个锐利的小等腰三角形和小圆点来表示，却采用了60进制和20进制。

在数5和5以后，即使同属竖写的数系也有不同表达法，以10为例，古埃及人用轭或锺骨∩（集合论中的“并”），古希腊人用△（第4个希腊字母），而中国人则用4个竖上面加1横。

   所谓阿拉伯数系是指由0，1，2，3，……，9这10个记号及其组合表达出来的10进制数字体系。

例如，在911这个数中，右边的1表示1个，中间的1却表示1乘以10，而9表示9乘以100。

在今天世界上存在的数以千计的语言系统里，这10个阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母使用范围更广）。

可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球范围内的科技、文化、政治、经济、军事和体育方面的交流将变得十分困难，甚至不可能进行。

   阿拉伯数系也被称为印度-阿拉伯数系，这是因为它可能是印度人发明的，再由阿拉伯人传递到西欧。

后一项文明的流通是在12世纪完成的，前一项发明的起源就不得而知了，只是由于近代考古学的进展，在印度的一批石柱和窑洞的墙壁上发现这些数字的痕迹，其年代大约在公元前250年到公元200年之间。

值得一提的是，那些痕迹里并没有零号，而在公元825年阿拉伯人花拉子密的一部著作里却描述了已经完备的印度数码，今日英文和德文里的零就是依据阿拉伯文音译的。

   阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非和西班牙的，据说一位叫莱奥拉多的意大利人曾受教于西班牙的穆斯林数学家，还曾游历北非。

他回到意大利以后，于1202年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外的欧洲的里程碑，对稍后开始的意大利文艺复兴时期的数学有一定的促进作用。

有意思的是，也是在13世纪，威尼斯人马可·波罗实现了欧洲人对远东的首次访问。

这位旅行家也是经由北非和中东绕过地中海的，不过是沿着与阿拉伯数字传播路线相反的方向。

   4、形而几何学

   数系的出现使得数与数之间的书写运算成为可能，在此基础上加、减、乘、除乃至于初等算术便在几个古老的文明地区发展起来，而后来数系的统一则使世界数学的研究和应用插上了翅膀。

与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别。

可以想见，几何学便是建立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上。

   一个平面只不过是一片平地的表面，而一条直线则是拉紧了的一段绳子，来自希腊文的英文Hypotenuse（斜边、弦）原先的意思就是“拉紧”。

我们可以设想，这是将一个直角的两臂拉紧后的联线，而arms（手臂）也就成了两条直角边。

如此看来，三角形的概念是人们通过对自己身体的观察得到的，在古代中国也是这样，因而我们才有勾、股的名字和勾股定理。

同样，圆、正方形、长方形等一系列几何形式的概念也来自于人们的观察和实践。

   在埃及出土的前王朝时期的陶器中我们可以看见形如W的几何装饰，而在西安半坡出土的陶器残片上，我们可以看到完整的全等三角形图案，每条边由间隔相等的8个小孔连接而成。

正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及