为什么反比例函数的图象是双曲线_精品文档.pdf

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数学通报2008年第47卷第11期为什么反比例函数的图象是双曲线朱胜强（南京外国语学校210008）学习双曲线定义时,容易想到反比例函数k,._、,、,、,。

_,:

.、_.,、,_、,夕一全（走共O的图象也称作双曲线反比例函数图象与圆锥曲线定义的双曲线是同一类曲线吗?

为了让学生弄清这一问题,笔者建议学生在学完双曲线后,根据所学知识作一番探究,然后在适当时间将成果在课上进行交流.为简便起见,都以反比例函数,一告图象为研究对象.1学生研究成果的展示未过几天,学生便完成了研究任务.于是让学生按照解决问题方法自行组成一个个小组,先小组交流,充实改进后再由各组推出代表在全班交流.全班同学分成了四个小组,在某一节数学课上,各组向全班展示了自己的成果.1.1利用双曲线定义判断生1:

我们组采用的方法是根据双曲线的定义判断.也就是在坐标平面内找两个定点Fl,FZ,为两条渐近线互相垂直,所以双曲线一定是等轴双曲线,即。

一招a一2.所以两个定点应该是F,（一招,一夜）,FZ（招,涯）（如图1）.设尸（工,）为,一士图象上的任一点,.尸FI一丫（工+、）2+（专+夜）2一丫工2+步+2汤+2涯告一丫（x+专）2+2涯（x+专）+（招）z一卜十专+涯卜.尸FZ一丫（一、）2+（专一福）2XZ+步+一2汤一2涯工212_二2.1.二、,（x十丁）一艺丫乙（工十丁）十又v乙一二十工一词.沈!

若尸（x,妇在第一象限,则x。

从而1工十）2,_.1.二,_.,1二故厂户1了十一十丫乙,厂户2一x十一一丫乙,图1此时尸FPFZ一x+工+涯一一一_。

_1,_L、.、。

一一、人一丹查有幽戮y一丁阴团家上仕一息厂到还阴广正点的距离之差的绝对值是否为一个常数.因为工轴、,轴是,一士的图象的渐近线.所以若函数,一夸的图象是双曲线,贝。

直线,一是双曲线的对称轴,它与双曲线的两个交点B（一1,一1）,C（1,1）是双曲线的顶点.所以a一福.又因/.1二_二（x十于一v乙）一乙v乙若尸（x,户在第三象限,则x0）,P为则BC到直线尸B的角正切为tana-kPB一11十kPB1一x1+x一一一1.一一一一数学通报2008年第47卷第11期直线BC到直线一生一l尸C的角的正切为ta叩-1一了k那一11+k几1+1十x1一x又tanata叩=1一了1+工1十x1一了一争+睿,.即j,一咨了一誓,1一瞥工+睿,所以,尸点的轨迹是以B,C为顶点的双曲线即函数:

一专的图象是双曲线.生3讲完后,有学生指出,当尸在直线y一x上方时,推导正确,而当尸在直线y一二下方时,就应该考虑直线尸B,尸C到直线BC的角.这一意见随即被第三组同学采纳.第三组同学共有4人.1.4对曲线作旋转变换生4:

我的思路是这样的,若某曲线的方程为了_少_,刚沽品沌来。

而挽觉彼忌粉一1共一告一1,则该曲线为双曲线.若将函数y一土a乙b乙一“、一、“-一一、一一一夕x的图象绕原点按逆时针方向旋转45“,则该曲线的对称轴便是坐标轴.求出旋转后曲线的方程,看是否为双曲线的标准方程.设函数:

一告的图象C绕原点按顺日寸针方向旋转45。

后所得的曲线为c,.设尸（二,必为C上任一点,则将尸绕原点O逆时针方向旋转45“后所得点Q（x:

y,）一定在曲线C上.J。

_涯涯福宁寸工1一下丁工一下丁y,乙乙_福.在。

:

_yl一万.x卞下子yl与/、y一乙乙1X即今+乌-一生丫艺万了一招万y化简得厂一犷一2.此方程的曲线为双曲线.故函数y一1,一明图补,一图5先考虑一点绕原点按逆时针方向旋转45“后坐标的变化情况.如图,设尸（二,妇绕原点O旋转45。

后所得的点为Q（xl,y,）.则艺尸记泪一450.又设旧Pl一r,匕xo尸一a,则（均一:

匕二闷=a+45“.故xreosa,夕=rsina.J;=reos（a+45“）=reosaeos45“一rsinasin45“一睿一警一二一零一譬夕1=rsin（a+45“）=rsinaeos45“十reosasin45“一睿一i二+睿一象为双曲线.该组仅有一名同学.2教学体会2.1教师的观念要更新从问题提出到获得结果,整个占用了一课时的教学时间.而学生的收获明显地比教师单纯讲解要多得多,体验也更为深刻.从学生的兴奋表现可以看出,他们学得更主动.在听其他组同学介绍时也更为人神.这应该是采用了让学生自主探究与合作交流的学习方式所收到的效果.回顾过去的教学,教师包办代替的多,真正放手的少.长期下来,学生自然也就习惯了接受、记忆、模仿和练习这种被动的学习方式,学习变得索然无味,自然就无法体验数学发现和创造的历程.因此,在执行新课标时,教师要主动更新观念,按照新的教学理念大胆实践.这样才能真正融人到新课改之中,进而成为新课程的实施者并发展为研究者和建设者.2.2放手不是撒手普通高中数学课程标准（实验）中指出,教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合（下转第50页）数学通报2008年第47卷第11期SABH;+SAEID一SAEFG毛SABcD,即Zv任i石一b镇a,所以a十b）2抓丽.6构造组合辅助量外+韵令aa+b.a一b-下万-州卜一一下叶一乙艺b-旦土些一丝丝（且中22z、“O,b0）。

二,za+b.a一b/a+ba一b则ab一立专上十竺帐上l立分二一竺七拼/J一、22/22/_r空土夕、2一旦二些22/火艺/a+b2或l竺匕二一兰2/所以a十b）2甲丽构造引入辅助且令t一b一a,不妨设t）0,所以b一a+t,其中aO,bO,ab一a（a+z）一“2+at所以2掀2（+合）一+b.8构造向,设x=（石,杯）,y=（杯,石）,其中。

o泊O.由x4y妻x夕,所以丫（石）+（拓）2丫（杯）2+（石）2）甲五万+丫瓦杯,即。

+占）2丫石石.基本不等式a+b）2了丽的证明本来是一个非常基本而又简单的问题,但以上几例中构造性的证明方法对于拓展学生的视野,综合应用学过的代数,几何,向量等方面的知识未尝不是一个很好的训练.同时这些构造性方法对于证明其他较复杂的不等式也可能起到一个抛砖引玉的作用.一f。

+幼2一丝乙/4（上接第48页）作者.在本课题的探究活动中,探究什么?

是否可探究?

用多长时间探究?

何时展示交流探究成果?

这些都得由教师根据具体情况而定.体现了教师是教学活动的组织者.而如何探究,则是由学生自主完成.但教师也并非完全是学生探究活动的旁观者.如果没有教师的指导合作,则第三与第四小组将无法及时拿出可展示的成果.他们各自遇到了暂时难以克服的因难,经笔者的启发与鼓励最终跨越了难关.所以,当学生的探究活动有了教师做场外指导,他们前进的决心会更坚定,成果也会更丰硕.2.3探究内容要为教学的整体布局服务新教材的编写的一个特点是循序渐进,让学生在了解知识全貌的情况下,逐步深化.而传统教学内容特点往往追求知识体系的完善,力求一步到位.这样在掌握了新知识后常常配之以大容量、高难度的训练.标准中对函数的教学的建议十分具有代表性:

像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升,逐步加深理解,才能真正掌握,灵活运用.因此,在学习了新知识之后,不能急于让学生“直线上升”,要为知识的领悟消化辟出回旋的空间.对学过的知识的反思探究便是一种很好的做法.反比例函数是学生在初中所学的内容,虽然学生知道其图象是双曲线,但学生并不知道何为双曲线,更无法得知为何反比例函数图象是双曲线.学习了双曲线后,再回过头让学生探究这一问题,既深化了学生对反比例函数的认识,又让学生体会到了双曲线与其它数学知识之间的联系,从而进一步完善了数学知识结构.参考文献l中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）.北京:

人民教育出版社.2。

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