新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11.docx
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新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11
新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11
章末复习提升课
同角三角函数基本关系式和诱导公式
已知cos（π＋α）＝－
，且角α在第四象限，计算：
（1）sin（2π－α）；
（2）
（n∈Z）．
【解】 因为cos（π＋α）＝－
，
所以－cosα＝－
，cosα＝
.
又角α在第四象限，
所以sinα＝－
＝－
.
（1）sin（2π－α）＝sin[2π＋（－α）]＝sin（－α）
＝－sinα＝
.
（2）
＝
＝
＝
＝－
＝－4.
（1）同角三角函数基本关系的应用
①已知一个三角函数求另外两个：
利用平方关系、商式关系直接求解或解方程（组）求解．
②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；
（i）齐次式为分式时，分子分母同除以cosα或cos2α，化成正切后代入．
（ii）齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin2α＋cos2α代入，再通过分子分母同除以cosα或cos2α化切．
（2）用诱导公式化简求值的方法
①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，
±α，
π±α（或k·
±α，k∈Z）的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．
②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．
1．已知sin（π＋θ）＝－
cos（2π－θ），|θ|＜
，则θ等于（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析：
选D.因为sin（π＋θ）＝－
cos（2π－θ），所以－sinθ＝－
cosθ，所以tanθ＝
.因为|θ|＜
，所以θ＝
.
2．已知
＝2，则tanα＝________．
解析：
由已知得
＝2，
则5sinα＝cosα，所以tanα＝
.
答案：
3．已知－
，则sinx－cosx的值为________．
解析：
由sinx＋cosx＝
，
平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝
，
即2sinxcosx＝－
，
所以（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝
.
又因为－
所以sinx<0，cosx>0，sinx－cosx<0，
故sinx－cosx＝－
.
答案：
－
三角函数的图象及变换
已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，0<φ<
）的图象上的一个最低点为M
，周期为π.
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将所得的图象沿x轴向右平移
个单位，得到函数y＝g（x）的图象，写出函数y＝g（x）的解析式．
【解】
（1）由题可知T＝
＝π，
所以ω＝2.又f（x）min＝－2，
所以A＝2.由f（x）的最低点为M，
得sin
＝－1.
因为0<φ<
，所以
<
＋φ<
.
所以
＋φ＝
.所以φ＝
.
所以f（x）＝2sin
.
（2）y＝2sin
y＝2sin
＝2sin
y＝2sin
＝2sinx，
所以g（x）＝2sinx.
（1）由图象或部分图象确定解析式y＝Asin（ωx＋φ）中的参数
①A：
由最大值、最小值来确定A.
②ω：
通过求周期T来确定ω.
③φ：
利用已知点列方程求出．
（2）函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ），（A＞0，ω＞0）x∈R图象的两种方法
1．函数y＝sin
在区间
上的简图是（ ）
解析：
选A.令x＝0，得y＝sin
＝－
，排除B，D.由f
＝0，f
＝0，排除C.
2．要得到函数y＝cos
的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（ ）
A．向左平移
个单位B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位D．向右平移
个单位
解析：
选B.因为cos
＝cos
，所以只需把函数y＝cos2x的图象向左平移
个单位即可得到y＝cos
的图象，故选B.
3．如图
是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋2（A>0，ω>0，|φ|<π）的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是（ ）
A．A＝3，T＝
，φ＝－
B．A＝3，T＝
，φ＝－
C．A＝1，T＝
，φ＝－
D．A＝1，T＝
，φ＝－
解析：
选D.由题图知函数的最大值为A＋2＝3，则A＝1，
函数的周期T＝2×
＝
＝
，
则ω＝
，则y＝sin
＋2，
则当x＝
时，y＝sin
＋2＝3，
即sin
＝1，
即
＋φ＝
＋2kπ，则φ＝－
＋2kπ，
因为|φ|<π，所以当k＝0时，φ＝－
，
故A＝1，T＝
，φ＝－
.
三角函数的性质
已知函数f（x）＝4tanxsin
·cos
－
.
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间
上的单调性．
【解】
（1）f（x）的定义域为
.
f（x）＝4tanxcosxcos
－
＝4sinxcos
－
＝4sinx
－
＝2sinxcosx＋2
sin2x－
＝sin2x＋
（1－cos2x）－
＝sin2x－
cos2x＝2sin
.
所以f（x）的最小正周期T＝
＝π.
（2）令z＝2x－
，则函数y＝2sinz的单调递增区间是
，k∈Z.
由－
＋2kπ≤2x－
≤
＋2kπ，
得－
＋kπ≤x≤
＋kπ，k∈Z.
设A＝
，
B＝
，
易知A∩B＝
.
所以当x∈
时，f（x）在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（1）三角函数的两条性质
①周期性：
函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为
，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为
.
②奇偶性：
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋B的形式．
（2）求三角函数值域（最值）的方法
①利用sinx，cosx的有界性．
②从y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
③换元法：
把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题．
1．下列函数中，周期为π，且在
上为减函数的是（ ）
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：
选A.因为函数的周期为π，
所以排除C，D.
因为函数在
上是减函数，
所以排除B，故选A.
2．（2019·郑州市第二次质量预测）已知函数f（x）＝sin
（x∈R），下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于点
中心对称
D．函数f（x）在
上是增函数
解析：
选D.因为f（x）＝sin
＝－sin
＝cos2x，所以函数f（x）是偶函数，且最小正周期T＝
＝π，故A，B正确；由2x＝kπ＋
（k∈Z），得x＝
＋
（k∈Z），当k＝0时，x＝
，所以函数f（x）的图象关于点
中心对称，故C正确；当x∈
时，2x－
π∈[－
π，－
]，所以函数f（x）在
上是减函数，故D不正确．故选D.
三角恒等变换
（2018·高考江苏卷）已知α，β为锐角，tanα＝
，cos（α＋β）＝－
.
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α－β）的值．
【解】
（1）因为tanα＝
，tanα＝
，
所以sinα＝
cosα.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝
，
因此，cos2α＝2cos2α－1＝－
.
（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．
又因为cos（α＋β）＝－
，
所以sin（α＋β）＝
＝
，
因此tan（α＋β）＝－2.
因为tanα＝
，所以tan2α＝
＝－
，
因此，tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]＝
＝－
.
三角恒等变换的“4大策略”
（1）常值代换：
特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；
（2）项的分拆与角的配凑：
如sin2α＋2cos2α＝（sin2α＋cos2α）＋cos2α，α＝（α－β）＋β等；
（3）降次与升次：
正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
（4）弦、切互化：
一般是切化弦．
[提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．
1．计算：
＝（ ）
A.
B．－
C.
D．－
解析：
选D.原式＝－
·
＝－
tan
＝－
×
＝－
.
2．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为________．
解析：
两式左右两边分别平方相加，得sin（A＋B）＝
，
则sinC＝sin[π－（A＋B）]＝
，
所以C＝
或C＝
.
又3sinA＝6－4cosB>2，得sinA>
>
，
所以A>
，所以C<
，故C＝
.
答案：
3．已知α∈
，sinα＝
，求sin
的值．
解：
因为α∈
，sinα＝
，
所以cosα＝－
＝－
.
故sin
＝sin
cosα＋cos
·sinα＝
×
＋
×
＝－
.
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