线性方程组_精品文档.pdf

线性方程组_精品文档.pdf

《线性方程组_精品文档.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组_精品文档.pdf（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1.用消元法解下列方程组:

2x13x24x3+3x4=0,6x1+9x28x3+7x4=0,4x1+6x2+3x32x4=0,2x1+3x2+9x37x4=0.解解解:

对方程组的系数矩阵进行初等变换23436987463223973R1+R2;2R1+R3R1+R423430020160054005414R2+R314R2+R423430020160000000013/201/100014/500000000.所以x1=32x2110x4,x3=45x4,x2,x4可以任意取.2.用消元法解下列方程组:

x1+2x2x4=1,x14x2+x3+2x4=3,x14x2+3x3+x4=1,2x110x2+7x3+3x4=4.解解解:

对方程组的增广矩阵进行初等变换120111412314311210734R1+R2;R1+R32R1+R41201102112063220147563R2+R37R2+R412011021120001400028R2+R1;R3+R22R3+R4;R3101010210200014000001第第第四四四章章章线线线性性性方方方程程程组组组所以x1=1x3,x2=1+12x3,x4=4,x3可以任意取.3.设3阶方阵B=0,且B的每个列向量都是下面方程组的解:

x1+x2x3=0,x1+2x2+x3=0,3x1+2x2x3=0,求参数的值,并证明B的行列式det（B）=0.证证证明明明:

因为B=0,所以B至少有一个列向量不为零,这说明题中的齐次线性方程组Ax=0有非零解（其中A是方程组的系数矩阵）,因此A的行列式det（A）=0,即:

det（A）=?

11112321?

=（+2）?

11101+1012?

=（+2）?

11101+100+3?

=（+3）=0.所以=3.下面用反证法证明det（B）=0.假设det（B）=0,则矩阵B可逆.由题设条件可知AB=0,从而有ABB1=0A=0与A=0矛盾,所以det（B）=0.4.求下列矩阵的秩:

A=01112022200111111011解解解:

对A实施初等行变换化为阶梯形矩阵A=01112022200111111011R3+R12R3+R200003004020111111011交换行的位置11011011110040200003=B,因此R（A）=R（B）=4.5.求下列矩阵的秩:

A=120010624101113616119714342解解解:

对A实施初等行变换化为阶梯形矩阵A=12001062410111361611971434R1+R3R1+R4120010624100936150217143432R2+R372R2+R4120010624100000000000=B,因此R（A）=R（B）=2.6.求下列矩阵的秩:

A=xyyyxy.yyxnn.解解解:

对A实施初等变换:

将R1分别加到其他各行可得xyyyxxy0.yx0xynn,再将上面所得的矩阵的2至n列全加到第1列得x+（n1）yyy0xy0.00xynn,由此可以看出:

（1）当x=y=0时r（A）=0;

（2）当x=y=0时r（A）=1;（3）当x=y且x+（n1）y=0时r（A）=n1;（4）当x=y且x+（n1）y=0时r（A）=n.7.取何值时,下列方程组有非零解:

x1+x2+x3=0,x1+x2+x3=0,x1+x2+x3=0.3解解解:

此方程组的系数矩阵是A=111111所以det（A）=?

111111?

=（+2）?

1111111?

=（+2）?

111010001?

=（+2）

（1）2.而方程组存在非零解的充要条件是det（A）=（+2）

（1）2=0.所以,当=2及=1只要有一个成立则方程组有非零解.8.a,b取何值时,下列方程组有解,并求其解:

ax1+x2+x3=4,x1+bx2+x3=3,x1+2bx2+x3=4.解解解:

此方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是A=a111b112b1,eA=a1141b1312b14.从而可知det（A）=?

a111b112b1?

=?

1010b0001a?

=b（1a）.当a=1,b=0时方程组有唯一解.对增广矩阵eA进行如下初等变换a1141b1312b14R2+R3交换R1与R21b13a1140b01aR1+R2交换R2与R31b130b0101ab1a43aR2+R11abbR2+R310120b01001a4b2ab1b11aR3+R110012bb（1a）0b01001a4b2ab1b.从而可知:

1）当a=1,b=0时方程组有唯一解,其解是:

x1=12bb（1a）,x2=1b,x3=4b2ab1b（1a）;2）当a=1,b=12时将其值直接代入增广矩阵验证,可知方程组有无穷多解,其解是:

x1=2x3,x2=2,x3可以任意取;3）当a=1,b=12或b=0时r（A）=r（eA）,所以原方程组无解.9.设A是mn矩阵,B是ns矩阵，已知r（B）=n,AB=0,试证明A=0.证证证明明明:

设A的第i行元素为向量ai=（ai1,ai2,ain）,其中i=1,2,m.由AB=0可知aiB=0,即BTaTi=0.此方程组是以BT为系数矩阵,以aij（j=1,2,n）为未知量的齐次代数方程组.由于r（B）=n正好等于未知量的个数,由定理可知aTi=0（i=41,2,m）,所以A=0.10.设a1,a2,a3是互不相同的常数,证明下面的方程组无解:

x1+a1x2=a21,x1+a2x2=a22,x1+a3x2=a23.证证证明明明:

此方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是A=1a11a21a3,eA=1a1a211a2a221a3a23.由于a1,a2,a3是互不相同的常数,显然,r（A）=2;而增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式,所以可知r（eA）=3.从而可知r（A）=r（eA）,所以原方程组无解.11.设线性方程组Ax=b有解,证明:

Ax=b有唯一解的充要条件是导出组Ax=0只有零解.证证证明明明:

必要性:

若导出组有非零解,那么这个解与原方程组Ax=b的一个解的和是其另一个解,所以Ax=b不止一个解,与Ax=b有唯一解矛盾.充分性:

若Ax=b有两个不同的解,那么它们的差是导出组Av=0的一个非零解,所以若导出组只有零解,那么Ax=b有唯一解.12.设B为一rr矩阵,C为一rn矩阵,且r（C）=r.试证明:

（1）如果BC=0,那么B=0;

（2）如果BC=C,那么B=E.证证证明明明:

（1）如果BC=0,则有CTBT=0.所以BT的每个列向量都是齐次方程组CTX=0的解.又因为BT是rr矩阵,所以这个方程组中有r个未知数.由于r（CT）=r（C）=r,所以CTX=0的基础解系的秩为0,因此,方程组CTX=0只有零解.故有BT=0,即B=0.

（2）由于BC=C,所以有（BI）C=0.由

（1）可知BI=0,即B=I.13.证明r（A+B）r（A）+r（B）.证证证明明明:

令A=（A1,A2,An）,B=（B1,B2,Bn）,其中Ai（i=1,2,n）和Bj（j=1,2,n）分别是矩阵A和B的列向量.所以A+B=（A1+B1,A2+B2,An+Bn）,它的每一个列向量都可由A1,A2,An,B1,B2,Bn线性表出.又设Ai1,Ai2,Air及Bj1,Bj2,Bjs分别是A1,A2,An及B1,B2,Bn的极大线性无关组.则A1+B1,A2+B2,An+Bn都可由Ai1,Ai2,Air,Bj1,Bj2,Bjs线性表出.所以r（A+B）=rA1+B1,A2+B2,An+BnrAi1,Ai2,Air,Bj1,Bj2,Bjsr+s=r（A）+r（B）.14.设A,B是nn矩阵.如果AB=0,则r（A）+r（B）n.5证证证明明明:

因为AB=0,所以B的每个列向量都是齐次方程组AX=0的解,故可以由方程组的基础解系线性表出,于是r（B）基础解系的秩=nr（A）.所以有r（A）+r（B）n.15.设A是nn矩阵,证明:

存在一个nn非零矩阵B使得AB=0的充分必要条件是det（A）=0.证证证明明明:

必要性:

令非零B=（B1,B2,Bn）其中Bi（i=1,2,n）是矩阵B的列向量.由AB=0可知（AB1,AB2,ABn）=0.因为B是非零矩阵,至少有一列Bi=0,故齐次方程组有非零解,所以det（A）=0.充分性:

因为det（A）=0,所以齐次方程组AX=0有非零解.设b=（b1,b2,bn）T=0是它的一个解.令B=b1b1b1b2b2b2.bnbnbnnn=0,则满足AB=0.6