概率论习题答案随机变量的数字特征.docx
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概率论习题答案随机变量的数字特征
第3章随机变量的数字特征
1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求
.
“TheyfoundPekinggreatlychanged”
解：
根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为
4567
1/51/51/52/5
.
2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求
。
解：
５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为
4567
4/295/296/2914/29
.
3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：
根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
，
，
。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
。
4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：
根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。
分布律为
12345789101112
得分的数学期望为
。
5，
（1）已知
，
，求
。
（2）设随机变量
的分布律为
，
问
的数学期望是否存在？
解：
（1）根据
，可得
，因此计算得到
，即
。
所以
=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
，
因此期望存在。
（利用了
）（不符书上答案）
6，
（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为
，求一天的平均耗水量。
（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为
求这种动物的平均寿命。
解：
（1）一天的平均耗水量为
（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
（年）。
7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为
，
求X的数学期望。
解：
=1/4。
8，设随机变量X具有概率密度如下，求
。
。
解：
。
9，设随机变量X具有概率密度如下，求
。
解：
。
（对第一个积分进行变量代换
）
10，设
，求数学期望
.
解：
。
（不符书上答案）
11，设球的直径R服从区间
上的均匀分布，求球体积
的数学期望。
解：
R的概率密度函数为
，所以
。
12，设随机变量X的概率密度为
，另有X的函数
，求数学期望
。
解：
（不符书上答案）
13，设随机变量
相互独立，且都服从区间
上的均匀分布，记
，
，求
。
解：
因为
的分布函数为
，所以可以求出
的分布函数为
，
。
的密度函数为
，
。
所以
的数学期望为
，
。
14，设随机变量（X,Y）具有分布律
Y
X
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
求
，
。
解：
求出边缘分布律如下
Y
X
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
3/14
3/14
0
12/28
2
1/28
0
0
1/28
10/28
15/28
3/28
1
，
，
，
，
。
15，在上题中，求
。
解：
，
。
16，设随机变量具有概率密度
求
。
解：
，
，
。
17，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律
1011121314
0.20.30.30.10.1
所得利润（以元计）为
，求
。
解：
根据题意，可得利润的分布律为
200010000-1000-2000
0.20.30.30.10.1
因此，
（元）
。
18，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为
其中
为常数，求
。
解：
，
，
，
。
（本题积分利用了
，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）
19，设随机变量X服从几何分布，其分布律为
，
其中
是常数。
求
。
解：
，
，
所以，
。
本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。
设
，则
，所以
。
类似的，设
，则经过两次积分以后可得到
，在经过两次求导得到
。
20，设随机变量X具有概率密度为
其中
为常数。
（1）若
，求
。
（2）问当
时，
是否存在？
（3）若
，求
。
（4）问当
时，
是否存在？
解：
（1）当
时，
。
（2）当
时，
，即
不存在。
（3），当
时，
，
所以，
。
（4）当
时，
，所以
不存在。
21，
（1）在14题中，求
。
（2）在16题中，求
，
。
（3）在第二章习题第14题中，求
。
解：
（1）根据14题中结果，得到
；
因为
，
，
所以
，
，
。
（2）根据16题结果可得：
；
因为
，
，
所以，
，
，
。
（3）在第2章14题中，由以下结果
Y
X
0
1
2
0
0.10
0.08
0.06
0.24
1
0.04
0.20
0.14
0.38
2
0.02
0.06
0.30
0.38
0.16
0.34
0.50
1
得到，
，
，
，
，
，
所以，
；
，
.
22，设随机变量（X,Y）具有
，
，求
，
。
解：
根据题意有
。
。
23，
（1）设随机变量
相互独立，且有
，
，求
。
（2）设
相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求
。
解：
（1）因为
相互独立，所以
。
（2）根据题意，可得
，
。
。
24，设随机变量（X,Y）具有概率密度
验证X,Y不相关，但X,Y不是相互独立的。
解：
因为
，
，
，
所以，
，
即，验证了X,Y不相关。
又因为，
；
，
显然，
，所以验证了X,Y不是相互独立的。
25，将
只球
放入
只盒子
中去，一只盒子装一之球。
若一只球装入与之同号的盒子中，称为一个配对。
记
为总的配对数，求
。
解：
引入随机变量定义如下
则总的配对数
，而且因为
，所以，
。
故所以，
。
（第3章习题解答完毕）
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