高考数学一轮复习专题1函数与导数理新人教版.docx
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高考数学一轮复习专题1函数与导数理新人教版
专题一函数与导数
热点一用导数研究函数的性质
函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性
质比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的适用性•例1（2014•安徽）若直线I与曲线C满足下列两个条件：
（i）直线I在点P（xo,yo）处与曲线C相切；
（ii）曲线C在点P附近位于直线I的两侧.则称直线I在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是.（写出所有正确命题的编号）
1直线I:
y=0在点F（0,0）处“切过”曲线Cy=x3;
2直线I:
x=-1在点P（-1,0）处“切过”曲线Cy=（x+1）2;
3直线I:
y=x在点F（0,0）处“切过”曲线Cy=sinx;
4直线I:
y=x在点F（0,0）处“切过”曲线Cy=tanx;
5直线I:
y=x-1在点F（1,0）处“切过”曲线Cy=Inx.
【审题】本题考查切线与图形的关系•
【求解】对于①，因为y'=3x2,y'x=0=0,所以|:
y=0是曲线Cy=x3在点P（0,0）处的切线，画
图可知曲线C在点P附近位于直线I的两侧，①正确；
对于②，因为y'=2（x+1）,y'x=-1=0,所以I:
x=-1不是曲线C:
y=（x+1）2在点P（-1,0）处的切线，②错误；
对于③,y'=cosx,y'x=0=1,所以曲线C在点P（0,0）处的切线为I:
y=x,画图可知曲线C在点P附近位于直线I的两侧，③正确；
对于④,y=
y'x=0=1,所以曲线C在点P（0,0）
处的切线为l:
y=x,画图可知曲线C在点P附近位于直线I的两侧，④正确；
对于⑤,y'=
处切线为
l:
y=x-1,
y'x=i=1,所以曲线C在点P（1,0）
h（x）=x-1-lnx（x>0）可得
h'（x）=1-,所以hmin（x）=h
（1）=0,故x-1>Inx,
所以曲线C在点P附近位于直线I的下侧,⑤错误.
【答案】①③④
【易错警示】错误的主要原因是思维定势,对曲线在切线的两侧无法理解.
【举一反三】本题充分体现了导数的几何意义.
热点二导数、函数与不等式
用导数的方法研究与函数有关的不等式问题,是巧妙地构造函数,然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值,结合不等式的性质来解决.
例2（2014•湖南）若OVX1VX2VI,则（）.
审题】本题主要考查函数的构造,导数及其应用,函数的单调性
则
【求解】依题可构造函数f（x）=f'（x）=
.当x€（0,1）时，f（x）<0,所以f（x）=在区
间（0,1）上递减，故0f（x2）,即X2>Xi.
【答案】C
热点三恒成立及求参数范围问题恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以
将参数看成函数关系式中的常量,利用函数性质求解.
例3（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx-sinx+1（x>0）.
（1）求f（x）的单调区间；
⑵记Xi为f（x）的从小到大的第i（i€N）个零点，证明：
对一切n€N,有
【审题】本题主要考查导数及其应用,函数的单调性,函数的零点,不等式的证明.
（1）通过
求导,结合三角函数值的确定,根据导数值的正负情况来确定对应的单调区间问题；
（2）先根
过不等式的放缩来证明相应的不等式成立问题.
【求解】
（1）f'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.
令f（X）=0,得x=kn（k€N）.
当x€（2kn,（2k+1）n）（k€N）时,sinx>0,
此时f'（X）<0.
当x€（（2k+1）n,（2k+2）n）（k€N）时,sinx<0,
此时f'（x）>0.
故f（x）的单调递减区间为（2kn,（2k+1）n）（k€N）,单调递增区间为
（（2k+1）n,（2k+2）n）（k€N）.
⑵由⑴知,f（x）在区间（0,n）上单调递减•
当n€N*时，因为f（nn）f（（n+1）n）=[（-1）nnn+1]•[（-1）n+1（n+1）n+1]<0,且函数f（x）的图
象是连续不断的，所以f（x）在区间（nn,（n+1）n）内至少存在一个零点.又f（x）在区间
（nn,（n+1）n）上是单调的，故nn当n=1时,
【技巧点拨】利用导数求最值解决恒成立问题时，注意f（x）>a恒成立？
f（X）min>a恒成立的
转化与应用.而对于证明不等式时得注意对不等式的放缩或数学归纳法的应用等.
热点四利用导数识别函数图象
给出函数关系式描绘或者识别其图象.除根据一般方法研究其性质外，求导也有独到的技巧.
例4（2014•江西）在同一直角坐标系中，函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a（a€R）的图象不可能是（）.
【审题】本题主要考查函数的图象及性质、导数的运算
力、运算求解能力•
【求解】当a=0时，D符合
x=
对函数y=ax-2ax2+x+a求导得
22
x2=
y'=3a2x2-4ax+1=（3ax-1）（ax-1）,
y'=0,x1=,
对称
x=介于两个极值
点
八、、
x1=
x2=
之间，所以B是错误的•所以选择B.
演练经典习题
1.（2014•全国新课标
I）已知函数f（x）=ax3-3x2+1,若f（x）存在唯一的零点X。
且x°>0,则a
的取值范围是（）.
A.（2,+s）
B.（1,+g）
C.（-g,-2）
D.（-g,-1）
2.（2014•全国新课标
II）若函数f（x）=kx-lnx在区间（1,+g）单调递增，则k的取值范围是
（）.
A.（-g,-2]
B.（-g,-1]
C.[2,+g）
D.[1,+g）
32..
3.（2014•辽宁）当x€[-2,1]时,不等式ax-x+4x+3》0恒成立,则实数a的取值范围是
（）.
A.[-5,-3]
B.
C.[-6,-2]
D.[-4,-3]
4.（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+仁0,则点P的坐标
是
5.（2014•全国新课标
32
I）已知函数f（x）=x-3x+ax+2,曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线与x
轴交点的横坐标为-2.
（1）求a;
⑵证明：
当k<1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点
6.（2014•重庆）已知函数f（x）=,其中a€
R,且曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线垂直于直线
y=.求:
（1）a的值;
（2）函数f（x）的单调区间与极值.
7.（2013•东北三校联合模拟）已知函数f（x）=（1+x）lnx.
（1）求f（x）在x=1处的切线方程;
对任意x€（0,1）,g（x）v-2,求
（2）设g（x）=实数a的取值范围
8.（2013•海淀区期末）已知函数f（x）=ex（x2+ax-a）,其中a是常数.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
⑵求f（x）在区间［0,+R）上的最小值.
9.（2013•青岛质检）已知函数f（x）=
（1）若不等式f（x）（2）令函数
求曲线y=g（x）在（1,g（l））处的
切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值
参考答案与解析
演练经典习题
上单调递增
上单调递减，又f（0）=1,所以函数f（x）存在
小于0的零点，不符合题意；当a<0时，函数f（x）在
只需
解得a<-2,所以选C.
2.D解析:
且x>0,由题可知f（x）>0,
即得kx-1》0,得x》
（k<0时不满足）,因为
函数f（x）在区间（1,+s）上单调递增，所以
<1,解得k>1.
4.（e,e）解析:
由题意知,y'=lnx+1,直线斜率为2.由导数的几何意义知,令lnx+1=2,得
x=e,所以y=elne=e,所以P（e,e）.
2
5.
（1）f'（x）=3x2-6x+a,f'（0）=a.
曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线方程为y=ax+2.
所以a=1.
由题设得
32
（2）证明：
由
（1）知，f（x）=x-3x+x+2.设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4,
由题设知1-k>0.
2
当xw0时,g'（x）=3x-6x+1-k>0,g（x）单调递增,g（-1）=k-1<0,g（0）=4,所以g（x）=0在（-g,0］上有唯一实根
32
当x>0时,令h（x）=x3-3x2+4,
则g（x）=h（x）+（1-k）x>h（x）.
h'（x）=3x2-6x=3x（x-2）,h（x）在（0,2）上单调递减，在（2,）上单调递增，所以g（x）>h（x）
>h
（2）=0.
所以g（x）=0在（0,+g）上没有实根.
综上，g（x）=0在R有唯一实根，
即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.
6.
（1）对f（x）求导得
由f（x）在点（1,f
（1））
解得
处的切线垂直于直线
令f'（x）=0,解得x=-1或x=5.
因为x=-1不在f（x）的定义域（0,+X）内，故舍去•
当x€（0,5）时,f'（x）<0,故f（x）在（0,5）上为减函数；
当x€（5,+x）时，f'（x）>0,故f（x）在（5,+8）上为增函数
由此知函数f（x）在x=5时取得极小值f⑸=-ln5.
7.
（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0,+8）,
因为
，所以f'
（1）=2,且切点为（1,0）
故f（x）在x=1处的切线方程为y=2x-2.
设m（x）=x2+（2-4a）x+1,方程m（x）=0的判别式A=6a（a-1）.
若a€（0,1）,A<0,m（x）>0,h'（x）>0,h（x）在（0,1）上是增函数，又h（i）=0,所以x€（0,1）时,h（x）<0.
若a€
（1）,A>0,m（0）=1>0,m
（1）=4（1-a）<0,故存在xo€（0,1）,使得m（x）<0,h'（x）<0,h（x）
在（xo,1）上是减函数，又
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