高考数学一轮复习专题1函数与导数理新人教版.docx

1、高考数学一轮复习专题1函数与导数理新人教版专题一函数与导数热点一用导数研究函数的性质函数是高中数学的重点内容 ，而函数的性质又是高考命题的热点 ，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的适用性 例1 (2014 安徽)若直线I与曲线C满足下列两个条件：(i)直线I在点P(xo, yo)处与曲线 C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线I的两侧.则称直线I在点P处“切过”曲线 C.下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的编号 )1直线I : y=0在点F(0,0)处“切过”曲线 C y=x3;2直线I : x=-1在点P( -1,0)处“切过”曲线 Cy=(x+1)2;3直

2、线I : y=x在点F(0,0)处“切过”曲线 C y=sin x;4直线I : y=x在点F(0,0)处“切过”曲线 C y=tan x;5直线I : y=x-1在点F(1,0)处“切过”曲线 Cy=Inx.【审题】 本题考查切线与图形的关系 【求解】 对于，因为y= 3x2, yx=0=0,所以| : y=0是曲线C y=x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线I的两侧，正确；对于，因为y= 2( x+1), y x=-1=0,所以I : x=-1不是曲线C: y=(x+1)2在点P( -1,0)处的切线， 错误；对于,y= cosx, yx=0=1,所以曲线 C在点

3、P(0,0)处的切线为I: y=x,画图可知曲线 C在点P 附近位于直线I的两侧，正确；对于,y=,y x=0=1, 所以曲线 C 在点 P(0,0)处的切线为l : y=x,画图可知曲线 C在点P附近位于直线I的两侧，正确；对于,y=处切线为l:y=x-1,y x=i=1,所以曲线C在点P(1,0)h(x)=x-1-ln x(x0) 可 得h(x)=1- ,所以 hmin(x)=h(1) =0,故 x-1 In x,所以曲线C在点P附近位于直线I的下侧,错误.【答案】 【易错警示】 错误的主要原因是思维定势 , 对曲线在切线的两侧无法理解 .【举一反三】 本题充分体现了导数的几何意义 .热点

4、二 导数、函数与不等式用导数的方法研究与函数有关的不等式问题 , 是巧妙地构造函数 , 然后这个函数的单调 性、极值、最值及特殊点的函数值 , 结合不等式的性质来解决 .例 2 (2014 湖南)若 OVX1VX2VI,则( ).审题】 本题主要考查函数的构造 , 导数及其应用 , 函数的单调性,则【求解】 依题可 构造函 数 f(x)= f ( x)=.当 x (0,1)时，f (x)0,所以 f(x)= 在区间(0,1)上递减，故 0xiX2f(x2),即 X2Xi.【答案】 C热点三 恒成立及求参数范围问题 恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解 , 若不能分离参数 ,

5、可以将参数看成函数关系式中的常量 , 利用函数性质求解 .例 3 (2014 湖南)已知函数 f (x) =xcosx- si nx+1(x0).(1)求f(x)的单调区间；记Xi为f(x)的从小到大的第i (i N)个零点，证明：对一切n N,有【审题】 本题主要考查导数及其应用 ,函数的单调性 ,函数的零点 ,不等式的证明 .(1)通过求导 , 结合三角函数值的确定 , 根据导数值的正负情况来确定对应的单调区间问题 ；(2) 先根 过不等式的放缩来证明相应的不等式成立问题 .【求解】 (1) f ( x) =cos x-x sin x- cosx=-x sin x.令 f (X)=0,得

6、x=k n(k N).当 x (2 kn ,(2 k+1) n )( k N)时,sin x0,此时 f ( X)0.当 x (2 k+1) n ,(2 k+2) n )( k N)时,sin x0.故 f(x)的单调递减区间为(2kn ,(2 k+1) n)( k N),单调递增区间为(2 k+1) n ,(2 k+2) n )( k N). 由 知,f(x)在区间(0, n )上单调递减当 n N* 时，因为 f(n n)f ( n+1) n) =( -1)n nn +1 ( -1)n+1( n+1) n +1 0,且函数 f (x)的图象是连续不断的，所以f (x)在区间(nn ,( n

7、+1) n )内至少存在一个零点 .又f (x)在区间(n n ,( n+1) n )上是单调的，故 n n xn+1 a恒成立？ f ( X) mina恒成立的转化与应用 . 而对于证明不等式时得注意对不等式的放缩或数学归纳法的应用等 .热点四 利用导数识别函数图象给出函数关系式描绘或者识别其图象 . 除根据一般方法研究其性质外 ， 求导也有独到的 技巧 .例4 (2014 江西)在同一直角坐标系中，函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a( a R)的图象不 可能是 ( ).【审题】 本题主要考查函数的图象及性质、导数的运算力、运算求解能力【求解】 当 a=0 时，D 符合x=

8、对函数 y=ax-2ax2+x+a 求导得22x2=y= 3a2x2- 4ax+1=(3 ax- 1)( ax- 1),y= 0, x1=,对称x= 介 于 两 个 极 值点八、x1=, x2=之间，所以B是错误的所以选择B.演练经典习题1. (2014 全国新课标I )已知函数f (x) =ax3- 3x2+1,若f (x)存在唯一的零点 X。,且x0,则a的取值范围是( ).A. (2, +s)B. (1, +g)C. ( -g, -2)D. ( - g, -1)2. (2014 全国新课标II)若函数f (x) =kx-l nx在区间(1, +g)单调递增，则k的取值范围是( ).A.

9、( -g, -2B. ( - g, -1C. 2, +g)D. 1, +g)3 2 . .3. (2014 辽宁)当x -2,1时,不等式ax-x+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是( ).A. -5,-3B.C. -6,-2D. -4,-34. (2014 江西)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线 2x-y+仁0,则点P的坐标是5. (2014 全国新课标3 2I)已知函数f (x) =x-3x +ax+2,曲线y=f (x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求 a; 证明：当k1时，曲线y=f (x)与直线y=kx- 2只有一个交点6.(2014 重庆)已知

10、函数f(x)= ,其中aR, 且 曲 线 y=f(x) 在 点 (1, f(1) 处 的 切 线 垂 直 于 直 线y= . 求 :(1)a 的值 ;(2)函数f(x)的单调区间与极值.7.(2013 东北三校联合模拟)已知函数f(x)=(1+x)ln x.(1) 求 f ( x) 在 x=1 处的切线方程 ;,对任意 x (0,1), g(x)v-2,求(2) 设 g( x)= 实数 a 的取值范围8. (2013 海淀区期末)已知函数f (x)=ex( x2+ax-a),其中a是常数.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f (1)处的切线方程； 求f (x)在区间0, +R)上

11、的最小值.9. (2013 青岛质检)已知函数f (x) =(1)若不等式f(x)k-2005对于x -2,3恒成立，求最小的正整数 k;(2) 令函数,求曲线 y=g(x)在(1, g(l)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值参考答案与解析演练经典习题上 单 调 递 增上单调递减，又f(0) =1,所以函数f(x)存在小于 0 的零点，不符合题意；当 a0 时，函数 f (x)在只需, 解得 a0,由题可知 f (x) 0,即得kx-10,得x( k0 时不满足 ), 因为函数f(x)在区间(1, +s)上单调递增，所以 1.4. (e, e) 解析 : 由题意知 , y=ln x+1

12、, 直线斜率为 2. 由导数的几何意义知 , 令 ln x+1=2, 得x=e, 所以 y=elne=e, 所以 P(e, e) .25. (1) f ( x) =3x2- 6x+a, f (0) =a.曲线y=f (x)在点(0, 2)处的切线方程为y=ax+2., 所以 a=1.由题设得32(2)证明：由(1)知，f(x)=x-3x+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题设知 1-k0.2当 xw 0 时,g (x) =3x -6x+1-k 0, g(x) 单调递增 , g(-1)=k-10 时,令 h( x) =x3- 3x2+4,则 g(x)

13、=h(x) +(1 -k ) xh( x) .h(x)=3x2-6x=3x(x-2), h(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, )上单调递增，所以 g(x)h(x) h(2) =0.所以g( x) =0在(0, +g)上没有实根.综上，g(x) =0在R有唯一实根，即曲线y=f(x)与直线y=kx- 2只有一个交点.6. (1)对f (x)求导得,由 f(x)在点(1, f (1)解得处的切线垂直于直线令 f (x) =0, 解得 x=-1 或 x=5.因为x=-1不在f(x)的定义域(0, +X)内，故舍去当x (0, 5)时,f (x)0,故f(x)在(5, +8)上为增函数由此知函数

14、f (x)在x=5时取得极小值f=-ln5 .7. (1)由题意知函数f(x)的定义域为(0, +8),因为，所以 f (1) =2, 且切点为 (1,0)故 f(x) 在 x=1 处的切线方程为 y=2x- 2.设 m( x) =x2+(2 - 4a) x+1,方程 m(x) =0 的判别式 A = 6a(a-1).若 a (0,1), A 0, h (x) 0, h(x)在(0,1)上是增函数，又 h(i)=0,所以 x (0,1) 时, h(x)0, m(0) =10, m(1) =4(1 -a) 0,故存在 xo (0,1),使得 m(x) 0, h (x)0, h(x)在(xo,1)上是减函数，又