第一章 13 第2课时 补集.docx

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第一章13第2课时补集

第2课时　补　集

学习目标

　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算．

知识点　全集与补集

1．全集

（1）定义：

如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）记法：

全集通常记作U.

思考　全集一定是实数集R吗？

答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.

2．补集

自然语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

图形语言

思考　∁UA包含哪三层意思？

答案　①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．

1．全集一定含有任何元素．（　×　）

2．集合∁RA＝∁QA.（　×　）

3．一个集合的补集一定含有元素．（　×　）

4．存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.（　×　）

5．设全集U＝R，A＝

，则∁UA＝

.（　×　）

一、补集的运算

例1　

（1）设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM等于（　　）

A．{x|－2≤x≤2}B．{x|－2

C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}

答案　A

解析　如图，在数轴上表示出集合M，

可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．

（2）设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2

答案　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5}

解析　方法一　在集合U中，∵x∈Z，

则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，

∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．

又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，

∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

方法二　可用Venn图表示．

则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

（学生）

反思感悟　求补集的方法

（1）列举法表示：

从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．

（2）由不等式构成的无限集表示：

借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．

跟踪训练1　

（1）已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3

答案　{x|x＝－3或x>4}

解析　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}．

（2）已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________．

答案　{2,3,5,7}

解析　方法一　（定义法）：

因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．

方法二　（Venn图法）：

满足题意的Venn图，如图所示．

由图可知B＝{2,3,5,7}．

二、交、并、补集的综合运算

例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解　如图所示．

∵A＝{x|－2

U＝{x|x≤4}，

∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

∁UB＝{x|x<－3或2

A∪B＝{x|－3≤x<3}．

故A∩B＝{x|－2

（∁UA）∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，

A∩（∁UB）＝{x|2

∁U（A∪B）＝{x|x<－3或3≤x≤4}，

（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x<－3或3≤x≤4}，

∁U（A∩B）＝{x|x≤－2或2

（∁UA）∪（∁UB）＝{x|x≤－2或2

反思感悟　解决集合交、并、补运算的技巧

（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．

（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

跟踪训练2　已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，（∁UA）∩

（∁UB），A∩（∁UB），（∁UA）∪B.

解　方法一　（直接法）：

由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁UA＝{1,2,6,7,8}，

∁UB＝{1,2,3,5,6}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{1,2,6}，A∩（∁UB）＝{3,5}，（∁UA）∪B＝{1,2,4,6,7,8}．

方法二　（Venn图法）：

画出Venn图，如图所示，

可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，

（∁UA）∩（∁UB）＝{1,2,6}，A∩（∁UB）＝{3,5}，

（∁UA）∪B＝{1,2,4,6,7,8}．

三、与补集有关的参数值的求解

例3　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1

解　因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，

所以∁UA＝{x|－2

因为（∁UA）∩B＝B，所以B⊆（∁UA）．

当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，

所以m≥6，满足（∁UA）∩B＝B.

当B≠∅时，由

无解．

故m的取值范围是{m|m≥6}．

延伸探究

1．若把本例的条件“（∁UA）∩B＝B”改为“（∁UA）∪B＝B”，则实数m的取值范围为________．

答案　

解析　因为（∁UA）∪B＝B，所以（∁UA）⊆B，

所以

解得－4≤m≤－

，

故实数m的取值范围为

.

2．若将本例的条件“（∁UA）∩B＝B”改为“（∁UA）∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________．

答案　{m|m≤－9或m≥1}

解析　当B＝∅时，m≥6.

当B≠∅时，m<6时，m＋7≤－2或2m＋1≥3，解得m≤－9或1≤m<6.

故实数m的取值范围为{m|m≤－9或m≥1}．

（学生）

反思感悟　利用补集求参数应注意两点

（1）与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．

（2）不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．

跟踪训练3　已知集合A＝{x|x0}．若A∩（∁RB）＝∅，求实数a的取值范围．

解　∵B＝{x|x<－1或x>0}，

∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，

要使A∩（∁RB）＝∅，结合数轴分析（如图），

可得a≤－1.

即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．

1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于（　　）

A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}

答案　D

解析　∵U＝{0,1,2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}．

2．设U＝R，A＝{x|－1

A．{x|x≤－1或x>0}B．{x|－1≤x<0}

C．{x|x<－1或x≥0}D．{x|x≤－1或x≥0}

答案　A

解析　因为U＝R，A＝{x|－1

所以∁UA＝{x|x≤－1或x>0}．

3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则（∁RA）∩B等于（　　）

A．{－2，－1}B．{－2}

C．{－1,0,1}D．{0,1}

答案　A

解析　因为集合A＝{x|x>－1}，

所以∁RA＝{x|x≤－1}，

则（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．

4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.

答案　5

解析　∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.

5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

答案　{x|x≤2或x≥10}　{x|2

解析　把全集R和集合A，B在数轴上表示如图：

由图知，A∪B＝{x|2

∴∁R（A∪B）＝{x|x≤2或x≥10}．

∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}，

∴（∁RA）∩B＝{x|2

1．知识清单：

（1）全集和补集的概念及运算．

（2）并、交、补集的综合运算．

（3）与补集有关的参数值的求解．

2．方法归纳：

正难则反的补集思想、数形结合．

3．常见误区：

求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．

1．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于（　　）

A．{x|0≤x<1或x>1}B．{x|x<1}

C．{x|x<1或x>1}D．{x|x>1}

答案　A

解析　因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，

所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．

2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，则（∁UB）∩A等于（　　）

A．{1,6}B．{1,7}

C．{3,4}D．{3,4,5}

答案　C

解析　∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，

∴∁UB＝{1,2,3,4,5}，∴（∁UB）∩A＝{3,4}．

3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩（∁RB）等于（　　）

A．{x|x>1}B．{x|x≥1}

C．{x|1

答案　D

解析　由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤2}．

4.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}

C．{x|1

答案　A

解析　阴影部分表示的集合为N∩（∁UM）＝{x|－2≤x<1}．

5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，

则∁U（A∪B）＝{3,5}，共有2个元素．

6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩（∁UB）＝________.

答案　{x|0

解析　∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．

又∵A＝{x|x>0}，

∴A∩（∁UB）＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0

7．设全集U＝R，集合A＝{x|0

答案　4

解析　∵U＝R，A＝{x|0