新教材人教B版数学必修第三册教师用书第8章 82 824 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积.docx

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新教材人教B版数学必修第三册教师用书第8章82824第2课时三角函数的积化和差与和差化积

第2课时　三角函数的积化和差与和差化积

学习目标

核心素养

1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．（难点）

2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．（重点）

1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．

2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.

1.积化和差公式

cosαcosβ＝

[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；

sinαsinβ＝－

[cos（α＋β）－cos（α－β）]；

sinαcosβ＝

[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；

cosαsinβ＝

[sin（α＋β）－sin（α－β）]．

2.和差化积公式

设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝

，β＝

.这样，上面的四个式子可以写成，

sinx＋siny＝2sin

cos

；

sinx－siny＝2cos

sin

；

cosx＋cosy＝2cos

cos

；

cosx－cosy＝－2sin

sin

.

思考：

和差化积公式的适用条件是什么？

[提示]　只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．

1.计算sin105°cos75°的值是（　　）

A．

　　　B．

　　　C．－

　　　D．－

B　[sin105°cos75°＝

（sin180°＋sin30°）＝

.]

2.sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为（　　）

A．－

　B．

C．

　D．－

B　[sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°

＝

＋

[cos（10°－50°）－cos

]＝

＋

＝

－

sin50°＋

cos40°

＝

－

sin50°＋

sin50°＝

.故选B．]

3.下列等式正确的是（　　）

A．sinx＋siny＝2sin

sin

B．sinx－siny＝2cos

cos

C．cosx＋cosy＝2cos

cos

D．cosx－cosy＝2sin

sin

C　[由和差化积公式知C正确．]

积化和差问题

【例1】

（1）求值：

sin20°cos70°＋sin10°sin50°.

（2）求值：

sin20°sin40°sin60°sin80°.

[思路探究]　利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．

[解]

（1）sin20°cos70°＋sin10°sin50°

＝

（sin90°－sin50°）－

（cos60°－cos40°）

＝

－

sin50°＋

cos40°

＝

－

sin50°＋

sin50°＝

.

（2）原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°

＝

cos10°cos50°cos70°

＝

＝

cos70°＋

cos40°cos70°

＝

cos70°＋

（cos110°＋cos30°）

＝

cos70°＋

cos110°＋

＝

.

积化和差公式的功能与关键

（1）功能：

①把三角函数的一种形式（积的形式）转化为另一种形式（和差的形式）.

②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.

（2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.

1.求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．

[解]　原式＝

＋

＋

（sin70°－sin30°）

＝1＋

（cos100°－cos40°）＋

sin70°－

＝

＋

（－2sin70°sin30°）＋

sin70°

＝

－

sin70°＋

sin70°＝

.

和差化积问题

【例2】　已知cosα－cosβ＝

，sinα－sinβ＝－

，求sin（α＋β）的值．

[思路探究]　利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．

[解]　∵cosα－cosβ＝

，

∴－2sin

sin

＝

.①

又∵sinα－sinβ＝－

，

∴2cos

sin

＝－

.②

∵sin

≠0，

∴由①②，得－tan

＝－

，即tan

＝

.

∴sin（α＋β）＝

＝

＝

＝

.

1.（变结论）本例中条件不变，试求cos（α＋β）的值．

[解]　因为cosα－cosβ＝

，

所以－2sin

sin

＝

.①

又因为sinα－sinβ＝－

，

所以2cos

sin

＝－

.②

因为sin

≠0，

所以由①②，得－tan

＝－

，即tan

＝

.

所以cos（α＋β）＝

＝

＝

＝－

.

2.（变条件）将本例中的条件“cosα－cosβ＝

，sinα－sinβ＝－

”变为“cosα＋cosβ＝

，sinα＋sinβ＝－

”，结果如何？

[解]　因为cosα＋cosβ＝

，

所以2cos

cos

＝

.①

又因为sinα＋sinβ＝－

，

所以2sin

cos

＝－

.②

所以cos

≠0，所以由①②，得tan

＝－

，

所以sin（α＋β）＝

＝

＝

＝－

.

和差化积公式应用时的注意事项

（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.

（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：

①运用公式之后，能否出现特殊角；

②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.

（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如

－cosα＝cos

－cosα.

公式的综合应用

[探究问题]

1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？

[提示]　注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．

2.在△ABC中有哪些重要的三角关系？

[提示]　在△ABC中的三角关系：

sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，

sin

＝cos

，cos

＝sin

，

sin（2A＋2B）＝－sin2C，cos（2A＋2B）＝cos2C．

【例3】　在△ABC中，求证：

sinA＋sinB－sinC

＝4sin

sin

cos

.

[思路探究]　利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.

[解]　左边＝sin（B＋C）＋2sin

·cos

＝2sin

cos

＋2sin

cos

＝2cos

＝4sin

sin

cos

＝右边，

∴原等式成立．

证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.

2.在△ABC中，求证：

sinA＋sinB＋sinC＝4cos

cos

·cos

.

[证明]　由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－（A＋B），

即

＝90°－

，∴cos

＝sin

.

∴sinA＋sinB＋sinC

＝2sin

·cos

＋sin（A＋B）

＝2sin

·cos

＋2sin

·cos

＝2sin

＝2cos

·2cos

·cos

＝4cos

cos

cos

，

∴原等式成立．

1.公式的记忆

和差化积公式记忆口诀：

“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”

（正代表sinα，余代表cosα）

2.公式的应用

注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.

1.sin75°－sin15°的值为（　　）

A．

　　　　　B．

C．

D．－

B　[sin75°－sin15°＝2cos

sin

＝2×

×

＝

.故选B．]

2.函数y＝sin

cosx的最大值为（　　）

A．

B．

C．1D．

B　[∵y＝sin

cosx

＝

＝

＝

sin

－

.

∴函数y的取最大值为

.]

3.已知sin（α＋β）＝

，sin（α－β）＝

，则sinαcosβ＝________.

　[sinαcosβ＝

sin（α＋β）＋

sin（α－β）＝

×

＋

×

＝

.]

4．化简下列各式：

（1）

；

（2）

.

[解]

（1）原式＝

＝

＝

＝tan

.

（2）原式＝

＝

＝

＝

.