高三最新 不等式应用三套题 精品.docx

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不等式的性质及解法

知识要点：

不等式与等式有许多不同，主要包括：

1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，

即

2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。

3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。

不等式的性质可分为：

1）、公理

这也是将不等式问题——比较两个实数a、b的大小，转化为恒等变形问题的依据。

2）、基本性质：

（1）对称性

这个性质等式中也存在，即

，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：

这个基本不等式本身就有

及

两种形式，要能灵活运用。

当然若进行等价转化还会有许多变式。

（2）传递性

这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。

（3）移项法则

如：

，相当于在

这个不等式两边同时加上－3得到的。

3、运算性质：

（1）加法运算：

（2）减法运算：

统一成加法运算

（3）乘法运算：

（4）除法运算：

统一成乘法运算

（由

在（0，+

）上是减函数，

）

（5）乘方运算：

（6）开方运算：

4、函数的单调性：

（1）

（

）

（2）

（

）

诸如此类：

上是减函数）已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。

我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。

一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。

解不等式的每一步都要求是同解变形。

一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）的基础。

高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。

在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。

为此，要注意不等式两边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要注意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。

在解不等式或不等式组的过程中，要熟练掌握集合的交、并运算；要充分运用数轴与图象的直观，找全辅助不等式，把每一个解不等式问题等价转化为解不等式组问题。

方程与函数的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想在解不等式问题中都有着广泛的应用。

解不等式的方法有：

图象法——一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；转化法——分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。

1、一元二次不等式的解法

解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有密切联系——求根、画图象、写解集

例1：

解关于x的不等式

其中

解：

由一元二次方程

的根为

知

（1）当

，即

时二次函数

的草图为：

故原不等式的解为

（2）

即

时二次函数

的草图为：

故原不等式的解为（

）

（3）

，即a=1时二次函数

的草图为：

故原不等式的解为

综上，当

时原不等式的解集为

；当

时原不等式解集为

；当

时原不等式解集为

。

例2：

已知关于x的不等式

的解集是

。

求关于x的不等式

的解集。

解：

此题是对一元二次不等式的解进行讲行讨论——知解集求原不等式中待定常数的值。

∵

的解集是

∴y=

的草图应为：

故：

∴不等式

可化为

解得其解集为

2、高次不等式的解法

解高次不等式的方法是图象法，具体步骤是求根、画图象、写解集。

例：

解不等式

解：

方程

可化为

知其根为

故函数

的草图为：

因此，原不等式的解集为

3、分式不等式的解法

解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。

首先将不等式经过同解变形，化成

或

（

）的形式，然后再利用同种变形：

或

例：

解不等式

解：

移项，通分得

∴

转化为

∴

解得，所求不等式的解集为

说明：

高次不等式中对重根的处理分奇次重根、偶次重根两种。

如

或

时不等式成立（若为大于零，则

时不等式不成立）。

4、无理不等式的解法

解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。

5、指数不等式和对数不等式的解法

解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。

时，

注意分类与归纳思想的正确运用。

若解关于x的不等式，对x进行讨论，最终结果应求并集，如解无理不等式。

若解关于x的不等式，对除x以外的字母进行讨论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。

不等式

知识要点：

本讲主要内容有不等式的性质、解不等式和不等式的证明。

不等式的性质是解不等式和不等式证明理论依据。

不等式不仅是高中数学的重点内容，也是学习高等数学的基础和工具，不等式一直是高考的重点内容，尤其是将不等式与方程和函数有机结合，综合地考查运算能力，逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力。

一、基础知识

1、不等式的性质

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

对不等式的性质，关键是正确理解和运用，分清条件和结论之间的关系，防止出错。

2、解不等式

一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的不等式，其它不等式，如高次不等式、其它不等式，如高次不等式、分式不等式、无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。

解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它的特点，变形过程的程序和特殊性，注意归纳解各类不等式的思路和方法。

（1）高次不等式

若

可以分解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。

（2）分式不等式

要正确运用以下同解原理。

不等式

与不等式

同解；

不等式

与不等式组

同解

（3）无理不等式

将无理不等式变形为与它同解的不等式组。

不等式

的同解不等式组是

不等式

的同解不等式组是

（4）指数、对数不等式

指数不等式

的同解不等式：

当

时，为

；

当

时，为

。

对数不等式

的同解不等式：

当

时，为

当

时，为

因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意利用对数的性质化为同底不等式。

（5）绝对值不等式

解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），主要方法：

对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的方法化为等价的不含绝对值的不等式组。

（6）含字母系数的不等式

对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解。

3、不等式的证明

证明不等式时，常用的方法有比较法、综合法、分析法、数字归纳法和反证法。

证明不等式的基本依据：

（1）实数大小的比较原则；

（2）不等式的性质；

（3）几个重要不等式，特别是算术——几何平均值不等式

（4）已知函数的增减性；

（5）实系数一元二次方程的根的判别式。

用比较法证明不等式:

比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式：

（1）求差比较法，要点是：

作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

（2）求商比较法，要点是：

作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

用分析法证明不等式:

用分析法证明不等式，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。

它是证明包含根式的不等关系成立的有效方法，也是一种普通适用的方法，这种方法的实质是“充分条件”的化简。

用综合法证明不等式:

综合法是中学数学的重要方法之一，它提供了一种“执因索果”的证题模式，在解决数学许多问题中有广泛的应用。

用综合法证明不等式主要是围绕运用平均值定理展开的。

用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已知的不等式就适当呢？

一般有两条途径。

（1）从分析法找思路，

（2）从“重要不等式”，特别是平均值不等式找思路。

综合法要求基础知识、基本技能、基本方法熟练，要求有一定综合分析的能力，有一定的难度。

用数学归纳法证明不等式:

有关自然数的命题，（当然这里是不等式）可用数学归纳法证明。

有关自然数的命题成立的条件有二：

一是它必需具备特殊性，二是它必需具备递推性。

数学归纳法就是证明有关自然数的命题具有上述两条性质，从而确定其正确性。

不等式证明的综合问题:

用代数方法证明不等式是考查思维能力的重要内容，但随着对思维能力考查的力度的增加，运用多种方法证明不等式和综合代数、三角等的有关内容而产生的有关不等式证明的综合问题应充分重视。

在不等式证明中常用的基本不等式：

（1）若

则

；

若

则

；

由此可推出：

若

同号，则

（2）若

，则

由此推出：

（3）

不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决这个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法（比较法、分析法、综合性、反证法、数学归纳法），以用运用放缩、增量、构造（函数或不等式）、判别式

等方法。

4、不等式的应用

不等式是研究方程、函数的重要工具，在历年高考题中，多次用到不等式解决函数的定义域、值域、最大值或最小值，函数的单调性以及用不等式讨论方程中根与系数的关系，运用不等式去解决有关应用问题。

不等式的证明及应用

知识要点：

1．不等式证明的基本方法：

（1）比较法：

用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）综合法：

利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a2>0;|a|>0;

;

等），推论出所要证的不等式。

综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。

（3）分析法：

“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式。

证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。

2．不等式证明的其它方法：

（1）反证法：

理论依据

等价。

先否定命题结论，提出假设，由此出发运用已知及已知定理推出矛盾。

根据原命题与逆否命题等价，

得证。

（2）放缩法：

理论依据a>b,b>ca>c

（3）函数单调性法。

3．数（式）大小的比较：

（1）作差或作比法

（2）媒介法

（3）函数单调性法

4．不等式在函数中的应用：

（1）求函数的定义域

（2）求函数的值域

（3）研究函数的单调性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：

要求各项为正，一边为常数，等号可取。

（2）绝对值不等式

的应用。

其中

取等号的条件是ab<0且|a