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第二十四章《圆》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

（一）圆的有关概念

1、圆（两种定义）、圆心、半径；

2、圆的确定条件：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3、弦、直径；

4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；

5、等圆、等弧，同心圆；

6、圆心角、圆周角；

7、圆内接多边形、多边形的外接圆；

8、割线、切线、切点、切线长；

9、反证法：

假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，

从而得到原命题成立。

（二）圆的基本性质

1、圆的对称性①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。

*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

2、圆的弦、弧、直径的关系①垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

*[引申]一条直线若具有：

Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。

（注意：

具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）

3、弧、弦、圆心角的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

归纳：

在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的

其余各组量也相等。

4、圆周角的性质

①定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

③推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，OP=d则：

点P在圆内d

d=r；点P在圆外

d>r.

2、直线与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：

直线l与⊙O相交d

直线和圆有两个公共点；

直线l与⊙O相切d=r

直线和圆只有一个公共点；

直线l与⊙O相离d>r

直线和圆没有公共点。

3、圆与圆的位置关系①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含；

如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切；如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。

②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则：

两圆外离d＞r2＋r1；

两圆外切d＝r2＋r1；

两圆相交r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）；

两圆内切d＝r2－r1（r2＞r1）；

两圆内含0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。

（四）圆的切线

1、定义：

和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、性质：

①圆的切线到圆心的距离等于半径。

②定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

③切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

3、判定：

①利用切线的定义。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③定理：

经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。

（五）圆与三角形

1、三角形的外接圆

（1）定义：

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

（2）三角形外心的性质：

①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相

等；③外心的位置：

锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝

角三角形外心在三角形外面。

2、三角形的内切圆

（1）定义：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形内心的性质：

①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都

在三角形内。

（六）圆与四边形

1、由圆周角定理可以得到：

圆内接四边形对角互补。

*2、由切线长定理可以得到：

圆的外切四边形两组对边的和相等。

（七）圆与正多边形

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形与圆的关系

把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆

叫做正n边形的外接圆。

3、正多边形的有关计算（11个量）

边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，

边心距rn，周长ln，面积Sn（Sn=1/2lnrn）

4、正多边形的画法

画正多边形的步骤：

首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结

各等分点。

如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。

注意减少累积误差。

（八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式

l弧长

nR

S

＝nR2

＝

1lR

（其中l为弧长）

S圆锥侧＝rl

（其中l为母线长）

180

扇形

2

360

（九）直角三角形的一个判定

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（十）本章常见的辅助线

课后反思