一元二次方程求解公式法求解.docx
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一元二次方程求解公式法求解
一元二次方程求解（公式法求解）
一．选择题（共2小题）
1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3
2．一元二次方程x2+2
x﹣6=0的根是（ ）
A．x1=x2=
B．x1=0，x2=﹣2
C．x1=
，x2=﹣3
D．x1=﹣
，x2=3
二．填空题（共19小题）
3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 ．
4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为 ．
5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．
6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么
= ．
7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ，条件是 ．
8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．
9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 ．
10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 ．
11．
（1）解下列方程：
①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；
（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 ．
12．已知x=
（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为 ．
13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为 ．
14．方程x2﹣3x+1=0的解是 ．
15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac= ．
16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是 ．
17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是 ．
18．有一个数值转换机，其流程如图所示：
若输入a=﹣6，则输出的x的值为 ．
19．已知a＜b＜0，且
，则
= ．
20．方程x2﹣5x+3=0的解是 ．
21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则
= ．
三．解答题（共19小题）
22．解方程：
x2﹣3x+1=0．
23．解方程：
x2﹣5x+2=0．
24．解方程：
x2﹣3x﹣7=0．
25．2x2+3x﹣1=0．
26．解下列方程
（1）用配方法解方程：
2x2+5x+3=0；
（2）用公式法解方程：
（x﹣2）（x﹣4）=12．
27．解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2
x﹣5=0（公式法）
28．解方程：
2x2﹣5x+1=0．
29．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
30．解方程：
2x2+3x﹣1=0．
31．解方程：
x2+3x+1=0．
32．
（1）解方程：
x2=3（x+1）．
（2）用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0．
33．用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
34．解方程：
x2+3x﹣2=0．
35．解方程：
2x2﹣3x﹣1=0．
36．解方程：
3x2﹣6x﹣2=0．
37．用公式法解方程：
x2+x﹣1=0．
38．解方程
（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）
（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）
39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
40．解方程：
3x2﹣4x﹣1=0．
一元二次方程求解（公式法求解）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2014•荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3
【分析】先求出方程的解，再求出
的范围，最后即可得出答案．
【解答】解：
解方程x2﹣x﹣1=0得：
x=
，
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，
∴a=
，
∵2＜
＜3，
∴3＜1+
＜4，
∴
＜
＜2，
故选：
C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
2．（2014•淄博）一元二次方程x2+2
x﹣6=0的根是（ ）
A．x1=x2=
B．x1=0，x2=﹣2
C．x1=
，x2=﹣3
D．x1=﹣
，x2=3
【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=
，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．
【解答】解：
∵a=1，b=2
，c=﹣6
∴x=
=
=
=﹣
±2
，
∴x1=
，x2=﹣3
；
故选：
C．
【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
二．填空题（共19小题）
3．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是
或
．
【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．
【解答】解：
当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；
∴x=
；
当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；
∴x=
，
∴x=
；
故答案为
或
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．
4．（2014•下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为 6
．
【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．
【解答】解：
方程x2﹣12x+31=0，
变形得：
x2﹣12x=﹣31，
配方得：
x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，
开方得：
x﹣6=±
，
解得：
x=6+
或x=6﹣
，
当x=6﹣
时，2x=12﹣2
＜20﹣12+2
，不能构成三角形，舍去，
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+
．
故答案为：
6+
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5．（2015秋•彭阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=
．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：
根据题意得：
7x（x+5）+10+9x﹣9=0，
整理得：
7x2+44x+1=0，
这里a=7，b=44，c=1，
∵△=442﹣28=1908，
∴x=
=
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
6．（2012•呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么
=
．
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的
的未知数的次数知，方程的两边同时乘以
，即可得到关于
的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．
【解答】解：
由原方程，得
两边同时乘以
得：
（
）2+3
﹣2=0
设
=t，则上式方程即为：
t2+3t﹣2=0，
解得，t=
，
所以
=
；
故答案是：
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于
的一元二次方程．
7．（2016秋•新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
，条件是 b2﹣4ac≥0 ．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．
【解答】解：
由一元二次方程ax2+bx+c=0，
移项，得ax2+bx=﹣c
化系数为1，得x2+
x=﹣
配方，得x2+
x+
=﹣
+
即：
（x+
）2=
当b2﹣4ac≥0时，
开方，得x+
=
解得：
x=
．
故答案为：
，b2﹣4ac≥0．
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
8．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= 41 ，x1=
，x2=
．
【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=
求出即可．
【解答】解：
2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x=
=
，
∴x1=
，x2=
，
故答案为：
41，
，
．
【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．
9．（2011•齐齐哈尔）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=2+
，a2=2﹣
．
【分析】用公式法直接求解即可．
【解答】解：
a=
=
=2±
，
∴a1=2+
，a2=2﹣
，
故答案为：
a1=2+
，a2=2﹣
．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：
用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：
①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第 四 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 平方根的定义 ．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．
【解答】解：
小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：
第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
11．（2000•朝阳区）
（1）解下列方程：
①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③
2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；
（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式
．
【分析】
（1）直接代入公式计算即可．
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．
【解答】解：
（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，
∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，
∴x=
=
=1
，
∴x1=1+
，x2=1
．
②解方程2x2+3x﹣l=0，
∵a=2，b=3，c=﹣1，
∴x=
=
，
∴x1=
，x2=
．（2分）
③解方程2x2﹣4x+1=0，
∵a=2，b=﹣4，c=1，
∴x=
=
=
，
x1=
，x2=
．（3分）
④解方程x2+6x+3=0，
∵a=1，b=6，c=3
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