一元二次方程求解公式法求解.docx
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一元二次方程求解公式法求解
一元二次方程求解(公式法求解)
一.选择题(共2小题)
1.已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是( )
A.0<a<1B.1<a<1.5C.1.5<a<2D.2<a<3
2.一元二次方程x2+2
x﹣6=0的根是( )
A.x1=x2=
B.x1=0,x2=﹣2
C.x1=
,x2=﹣3
D.x1=﹣
,x2=3
二.填空题(共19小题)
3.方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 .
4.已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为 .
5.已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x= .
6.若x2+3xy﹣2y2=0,那么
= .
7.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 ,条件是 .
8.用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= ,x1= ,x2= .
9.一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 .
10.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,他是这样做的:
小明的解法从第 步开始出现错误;这一步的运算依据应是 .
11.
(1)解下列方程:
①x2﹣2x﹣2=0;②2x2+3x﹣1=0;③2x2﹣4x+1=0;④x2+6x+3=0;
(2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 .
12.已知x=
(b2﹣4c>0),则x2+bx+c的值为 .
13.方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为 .
14.方程x2﹣3x+1=0的解是 .
15.已知一元二次方程2x2﹣3x=1,则b2﹣4ac= .
16.方程x2﹣4x﹣7=0的根是 .
17.一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是 .
18.有一个数值转换机,其流程如图所示:
若输入a=﹣6,则输出的x的值为 .
19.已知a<b<0,且
,则
= .
20.方程x2﹣5x+3=0的解是 .
21.若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则
= .
三.解答题(共19小题)
22.解方程:
x2﹣3x+1=0.
23.解方程:
x2﹣5x+2=0.
24.解方程:
x2﹣3x﹣7=0.
25.2x2+3x﹣1=0.
26.解下列方程
(1)用配方法解方程:
2x2+5x+3=0;
(2)用公式法解方程:
(x﹣2)(x﹣4)=12.
27.解下列方程:
(1)x2﹣2x=2x+1(配方法)
(2)2x2﹣2
x﹣5=0(公式法)
28.解方程:
2x2﹣5x+1=0.
29.解方程:
(1)x2﹣6x﹣6=0
(2)2x2﹣7x+6=0.
30.解方程:
2x2+3x﹣1=0.
31.解方程:
x2+3x+1=0.
32.
(1)解方程:
x2=3(x+1).
(2)用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0.
33.用公式法解下列方程
2x2+6=7x.
34.解方程:
x2+3x﹣2=0.
35.解方程:
2x2﹣3x﹣1=0.
36.解方程:
3x2﹣6x﹣2=0.
37.用公式法解方程:
x2+x﹣1=0.
38.解方程
(l)2x2﹣3x+1=0(公式法)
(2)3x2﹣6x+4=0(配方法)
39.设关于x的二次方程(k2﹣6k+8)x2+(2k2﹣6k﹣4)x+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.
40.解方程:
3x2﹣4x﹣1=0.
一元二次方程求解(公式法求解)
参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
1.(2014•荆州)已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是( )
A.0<a<1B.1<a<1.5C.1.5<a<2D.2<a<3
【分析】先求出方程的解,再求出
的范围,最后即可得出答案.
【解答】解:
解方程x2﹣x﹣1=0得:
x=
,
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根,
∴a=
,
∵2<
<3,
∴3<1+
<4,
∴
<
<2,
故选:
C.
【点评】本题考查了解一元二次方程,估算无理数的大小的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中.
2.(2014•淄博)一元二次方程x2+2
x﹣6=0的根是( )
A.x1=x2=
B.x1=0,x2=﹣2
C.x1=
,x2=﹣3
D.x1=﹣
,x2=3
【分析】找出方程中二次项系数a,一次项系数b及常数项c,再根据x=
,将a,b及c的值代入计算,即可求出原方程的解.
【解答】解:
∵a=1,b=2
,c=﹣6
∴x=
=
=
=﹣
±2
,
∴x1=
,x2=﹣3
;
故选:
C.
【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解,利用公式法解一元二次方程时,首先将方程化为一般形式,找出二次项系数,一次项系数及常数项,计算出根的判别式,当根的判别式≥0时,将a,b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.
二.填空题(共19小题)
3.(2011春•桐城市月考)方程x2﹣|x|﹣1=0的根是
或
.
【分析】分x>0和x<0两种情况进行讨论,当x>0时,方程x2﹣x﹣1=0;当x<0时,方程x2+x﹣1=0;分别求符合条件的解即可.
【解答】解:
当x>0时,方程x2﹣x﹣1=0;
∴x=
;
当x<0时,方程x2+x﹣1=0;
∴x=
,
∴x=
;
故答案为
或
.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法,要特别注意分类讨论思想的运用.
4.(2014•下城区一模)已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为 6
.
【分析】求出方程的解得到x的值,即为腰长,检验即可得到方程的解.
【解答】解:
方程x2﹣12x+31=0,
变形得:
x2﹣12x=﹣31,
配方得:
x2﹣12x+36=5,即(x﹣6)2=5,
开方得:
x﹣6=±
,
解得:
x=6+
或x=6﹣
,
当x=6﹣
时,2x=12﹣2
<20﹣12+2
,不能构成三角形,舍去,
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+
.
故答案为:
6+
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,三角形的三边关系,以及等腰三角形的性质,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
5.(2015秋•彭阳县月考)已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x=
.
【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值.
【解答】解:
根据题意得:
7x(x+5)+10+9x﹣9=0,
整理得:
7x2+44x+1=0,
这里a=7,b=44,c=1,
∵△=442﹣28=1908,
∴x=
=
.
故答案为:
.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
6.(2012•呼和浩特模拟)若x2+3xy﹣2y2=0,那么
=
.
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的
的未知数的次数知,方程的两边同时乘以
,即可得到关于
的方程,然后利用“换元法”、“公式法”解答即可.
【解答】解:
由原方程,得
两边同时乘以
得:
(
)2+3
﹣2=0
设
=t,则上式方程即为:
t2+3t﹣2=0,
解得,t=
,
所以
=
;
故答案是:
.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法.解答此题的关键是将原方程转化为关于
的一元二次方程.
7.(2016秋•新沂市校级月考)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
,条件是 b2﹣4ac≥0 .
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法,解一元二次方程ax2+bx+c=0.
【解答】解:
由一元二次方程ax2+bx+c=0,
移项,得ax2+bx=﹣c
化系数为1,得x2+
x=﹣
配方,得x2+
x+
=﹣
+
即:
(x+
)2=
当b2﹣4ac≥0时,
开方,得x+
=
解得:
x=
.
故答案为:
,b2﹣4ac≥0.
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法.
8.(2011秋•册亨县校级月考)用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= 41 ,x1=
,x2=
.
【分析】根据已知得出a=2,b=﹣7,c=1,代入b2﹣4ac求出即可,再代入公式x=
求出即可.
【解答】解:
2x2﹣7x+1=0,
a=2,b=﹣7,c=1,
∴b2﹣4ac=(﹣7)2﹣4×2×1=41,
∴x=
=
,
∴x1=
,x2=
,
故答案为:
41,
,
.
【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用,关键是检查学生能否能运用公式求方程的解,本题主要培养了学生的计算能力.
9.(2011•齐齐哈尔)一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=2+
,a2=2﹣
.
【分析】用公式法直接求解即可.
【解答】解:
a=
=
=2±
,
∴a1=2+
,a2=2﹣
,
故答案为:
a1=2+
,a2=2﹣
.
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程无实数根);
③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:
用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:
①a≠0;②b2﹣4ac≥0.
10.(2016•丰台区一模)小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,他是这样做的:
小明的解法从第 四 步开始出现错误;这一步的运算依据应是 平方根的定义 .
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错.
【解答】解:
小明的解法从第四步开始出现错误;这一步的运算依据应是平方根的定义;
故答案为四;平方根的定义.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:
第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
11.(2000•朝阳区)
(1)解下列方程:
①x2﹣2x﹣2=0;②2x2+3x﹣1=0;③
2x2﹣4x+1=0;④x2+6x+3=0;
(2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式
.
【分析】
(1)直接代入公式计算即可.
(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n是整数).然后再利用求根公式代入计算即可.
【解答】解:
(1)①解方程x2﹣2x﹣2=0①,
∵a=1,b=﹣2,c=﹣2,
∴x=
=
=1
,
∴x1=1+
,x2=1
.
②解方程2x2+3x﹣l=0,
∵a=2,b=3,c=﹣1,
∴x=
=
,
∴x1=
,x2=
.(2分)
③解方程2x2﹣4x+1=0,
∵a=2,b=﹣4,c=1,
∴x=
=
=
,
x1=
,x2=
.(3分)
④解方程x2+6x+3=0,
∵a=1,b=6,c=3