最新高中数学必修2空间几何讲义与习题及答案.docx
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最新高中数学必修2空间几何讲义与习题及答案
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数学必修2第一章讲义与习题
一、学习目标：
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。
二、重点、难点：
重点：
空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。
难点：
柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。
三、考点分析：
三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。
在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。
这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。
多面体1.
棱柱、棱锥、棱台旋转体2.
圆柱、圆锥、圆台、球三视图3.
）正视图、侧视图、俯视图
（1）三种视图间的关系（2直观图4.
水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法4.多面体的面积和体积公式
名称
）侧面积（S侧
全面积（S）全
积（V）体
棱柱
棱柱
l直截面周长×
+2SS底侧
S·h=S·h直截面底
直棱柱
ch
S·h底
棱锥
棱锥
各侧面面积之和
S+S底侧
1S·h底3
正棱锥
1ch′2
棱台
棱台
各侧面面积之和
S+S+S下底侧上底
1h（S+S+下底上底3S?
S）下底上底
正棱台
1（c+c′）h′2
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。
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5.旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π（r+r）l21
S全
2πr（l+r）
πr（l+r）
22）l+π（r）+r+rπ（r2121
24πR
V
22l）πrπrh（即
12πrh3
122πh（r+rr+r）21123
43πR3
表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r、r分别表示21圆台上、下底面的半径，R表示半径。
知识点一柱、锥、台、球的结构特征
例1.下列叙述正确的是（）
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。
④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。
⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。
⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。
⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。
⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。
A.①②③④⑤⑥⑧B.①③④⑦⑧
C.①②⑤⑧D.⑤
思路分析：
遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。
解答过程：
如图所示，由图
（1）可知①是错误的；由图
（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的。
因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。
”是错误的，即⑦是不正确的。
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。
所以⑧是错误的。
所以只有⑤是正确的。
故应选D。
解题后的思考：
在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判断，容易导致错误。
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知识点二组合体
例2.如图，下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？
解答过程：
）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构
（1）由两个三棱锥组成，为上下结构
（2）由圆锥和圆台组成，为上下结构（3
柱、锥的侧面展开图知识点三
，FE、、C、D、例3.小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：
A、B”相对的面所写的字母是哪一个？
其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A
格标明，将B：
在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A格标明“上”思路分析“前”等等。
”解答过程：
为字母“E本题突出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。
解题后的思考：
这六个F，E，，如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A，BC，D例4.
对面C，B，字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A）的字母分别是（
FD.E，D，C.E，F，DEB.F，A.DE，F，D，
思路分析：
本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。
C，D相邻，结合第（3）个图知，B，与（：
解答过程由
（1）2）两个图知，AB，C。
，C的对面分别为DE，故选择B，，同理的对面为共顶点，所以与FAFB）进行判3）本题考查推理能力以及空间想象能力。
也可先结合图（解题后的思考：
1（断。
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?
?
3和例5.用长和宽分别是的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？
要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。
思路分析：
?
?
r?
32r，设圆柱底面圆的半径为，由题意可知矩形长为底面圆的周长时，解答过程：
331?
?
r?
2?
rr?
或。
故圆柱的底面半径为。
矩形宽为底面圆的周长时，解得，解得
2221。
2
?
3作为本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以解题后的思考：
底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。
旋转体中的有关计算知识点四
22?
?
cm12cmcm425，求：
一个圆台的母线长，两底面面积分别为和例6.
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长。
思路分析：
通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相似三角形求解。
OA?
AH：
（1）作解答过程122?
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525?
r?
4?
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r?
2RR?
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3?
AH?
2215?
33H?
A?
12?
1OVA?
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O?
VA）与相似2（11OVAA111?
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AOVA20VA?
?
：
通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。
解题后的思考
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?
857.例已知球的两个平行截面的面积分别为和3，且距离为，求这个球的半径。
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精品文档的同侧，另一种是两截面的相互位置可能出现两种情况，一种是在球心O思路分析：
O的异侧。
在球心O的同侧时，解答过程：
（1）当两截面在球心dd,r,r，球到截面的距离分别为如图所示，设这两个截面的半径分别为，球心O2121R。
的半径为
2222?
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8,?
r?
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5,,r?
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85。
211222222d?
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R?
r又，221122223rd?
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，12123?
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dd）（d?
d）（。
即22113d?
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d?
，又21,2dd?
3,?
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112?
解得?
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.11,d?
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d?
d?
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212?
0?
d?
这种情况不成立。
又23d?
d?
的异侧时，，O
（2）当两截面在球心213d）?
（d?
d）（d?
由上述解法可知，2211,2?
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d?
3,dd?
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112?
解得?
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1?
d1,dd?
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221223?
5?
R?
r?
d4?
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。
11。
综上所述，这个球的半径为3而忽略对另一种位置关系：
同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论，解题后的思考的讨论。
画几何体的三视图知识点五画出如图所示的三棱柱的三视图。
例8.
侧视图是从左侧看三棱柱投中间的竖线看不到，应画成虚线；思路分析：
在正视图中，而应该是过底面正三角射到竖直的正对着的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一个侧面，形的一条高线的矩形。
解答过程：
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，还要注意实线与画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐”解题后的思考：
虚线的区别。
三视图中的推测问题知识点六9.根据下列三视图，说出各立体图形的形状。
例
正视图反映物体的三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
思路分析：
而俯视图和正视图共同反映物体主要体现物体的长和高，主要形状特征，不反映物体的宽。
的长相等。
侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。
据此就不难得出该几何体的形状。
3）螺帽。
）圆台；
（2）正四棱锥；（1解答过程：
（，另外，还要“宽相等”三视图的画法里要注意“长对正”，“高平齐”，解题后的思考：
熟悉基本空间几何体的三视图。
七、直观图的还原与计算问题a的斜二测水平直观图，那么A′B′C′是水平放置的边长为的正三角形ABC已知△例10.
_________A′B′C′△的面积为。
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精品文档直观图的边长及夹角求解。
先根据题意，画出直观图，然后根据△思路分析：
A′B′C′如图甲、乙所示的实际图与直观图。
解答过程：
31?
?
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?
?
aOC?
BC?
AB?
a,AO则′，于′。
在图乙中作CD′⊥A′B′D
426116622?
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a?
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C?
aa?
D?
ASBaCD?
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OC以所故填。
。
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C?
BA168228262a。
16需先求出直观图的底和该题求直观图的面积，：
因此应在直观图中求解，解题后的思考高，然后用三角形面积公式求解。
本题旨在考查同学们对直观图画法的掌握情况。
cm1它是水平放置的一个平面图形的直观图，B的边长为，′C′例11.如图所示，正方形O′A′。
则原图形的周长是____________
思路分析：
先根据题意，由直观图画出原图形，易知BC=OA逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示，由BC//OA且解答过程：
222为平行四边形。
在上图中，易求O′B′OB==，所以。
OABC22?
322）AB?
1?
（中，，所以在又OA=1Rt△BOA。
cm8）8（cm?
13?
2（?
）故原图形的周长是。
，应填
解题后的思考：
该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。
上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）已知正三棱台12例：
（上、下底是正三角形，精品文档．
精品文档6与4cmcm，侧棱长是，试求该三棱台的体积。
的上、下底面边长分别是2cm利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即思路分析：
可。
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?
?
OBOBOOOO，在平如图所示，、、、是上、下底面的中心，连结解答过程：
?
?
?
OBEBBOO?
BE于内作。
面?
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O?
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ACB是中心，2是边长为的等边三角形，3223?
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B?
O?
2?
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，
3323234?
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OB?
OBBE?
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OB。
，则同理
3332?
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EB?
BRt6?
BB?
BE在，中，，
34242?
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E?
B，即棱台高为cm。
33
为积台的体所以三棱?
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3144233371?
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3?
4?
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V16?
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4?
16?
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）（cm。
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