1、最新高中数学必修2空间几何讲义与习题及答案精品文档 数学必修2第一章讲义与习题 一、学习目标: 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 2. 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图与直观图,能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。 二、重点、难点: 重点:空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征;空间几何体的三视图与直观图的画法。 难点:柱、锥、台、球结构特征的概括;识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图,计算组合体的表面积和体积。 三、考点分析: 三视图是新课程改革中出
2、现的内容,是新课程高考的热点之一,几乎每年都考,同学们要予以足够的重视。在高考中经常以选择、填空题的形式出现,属于基础或中档题,但也要关注三视图以提供信息为目的,出现在解答题中。这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。 多面体1. 棱柱、棱锥、棱台 旋转体2. 圆柱、圆锥、圆台、球 三视图3. )正视图、侧视图、俯视图(1 )三种视图间的关系(2 直观图4. 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 4. 多面体的面积和体积公式 名称 )侧面积(S侧全面积(S) 全积(V) 体 棱 柱棱柱 l 直截面周长 +2SS底侧Sh=Sh 直截面底 直棱柱ch Sh 底 棱 锥 棱锥 各侧面面
3、积之和 S+S底侧1Sh 底3 正棱锥1 ch2 棱 台 棱台 各侧面面积之和S+S+S 下底侧上底1h(S+S+下底上底3S?S) 下底上底 正棱台1 (c+c)h2 表中S表示面积,c、c分别表示上、下底面的周长,h表示高度,h表示斜高,l表示侧棱长。 精品文档精品文档 5. 旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧2rl rl (r+r)l 21 S全2r(l+r) r(l+r) 22)l+(r) +r+r(r21212 4RV 22 l)rrh(即12rh 3122h(r+rr+r) 2112343R 3 表中l、h分别表示母线长、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底面 半径
4、,r、r分别表示21圆台上、下底面的半径,R表示半径。 知识点一 柱、锥、台、球的结构特征 例1. 下列叙述正确的是( ) 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台。 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。 直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。 直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。 用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分是圆台。 通过圆锥侧面上一点,有无数条母线。 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成球体。 A. B. C. D. 思
5、路分析:遇到概念判断问题,一定要在理解透彻相关概念的基础上,仔细分析,如果判断它是正确的,必须能紧扣定义,而不是模棱两可地去作判断;如果判断它是错误的,只需找到一个反例即可。 解答过程:如图所示,由图(1)可知是错误的;由图(2)可知是错误的;由图(3)可知是错误的;由图(4)可知是错误的。 因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线,所以“通过圆锥侧面上一点,有无数条母线。”是错误的,即是不正确的。 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的应该是球面,半圆面旋转一周形成的才是球体。所以是错误的。 所以只有是正确的。故应选D。 解题后的思考:在作判断的时候没有严格的根据定义进行多
6、角度分析,而是只抓住定义中的某一点就作出判断,容易导致错误。 精品文档精品文档 知识点二 组合体 例2. 如图,下列组合体是由哪几种简单几何体组成的? 解答过程: )由一个三棱锥和一个四棱锥组成,为左右结构(1 )由两个三棱锥组成,为上下结构(2 )由圆锥和圆台组成,为上下结构(3 柱、锥的侧面展开图知识点三 ,FE、C、D、例3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母,分别是:A、B ”相对的面所写的字母是哪一个?其平面展开图如图所示,那么在该正方体盒子中,和“A 格标明,将B:在每个格子中标明你所想象的面的位置,如将A格标明“上”思路分析 “前”等等。 ”解答过程:为字母“E 本题突
7、出考查了学生将正方体各面展开图复原为正方体的空间想象能力。解题后的思考: 这六个F,E,如图所示,为一个封闭的立方体,在它的六个面上标出A,BC,D例4. 对面C,B,字母,现放成下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已标明,则字母A )的字母分别是( F D. E,D, C. E,F,D E B. F ,A. DE,F ,D, 思路分析:本题处理方法比较灵活,要将几个图结合起来一起分析。C,D相邻,结合第(3)个图知,B,与(:解答过程由(1)2)两个图知,AB,C 。,C的对面分别为DE,故选择B,同理的对面为共顶点,所以与FAFB)进行判3)本题考查推理能力以及空间想象能力。也可先结合
8、图(解题后的思考:1( 断。 精品文档 精品文档 ?3 和例5. 用长和宽分别是的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,求圆柱的底面半径? 要注意哪条边是圆柱的母线,哪条边是圆柱底面的圆周。思路分析:?r?32r,设圆柱底面圆的半径为,由题意可知矩形长为底面圆的周长时,解答过程:331?r?2?rr?或。故圆柱的底面半径为。矩形宽为底面圆的周长时,解得,解得 2221 。 2 ?3作为本题学生经常会丢解,即主观认为只有图中所示的情况,即以解题后的思考: 底面周长,而忽视了它也可作为母线这种情况。 旋转体中的有关计算知识点四 22?cm12cmcm425 ,求:一个圆台的母线长,两底面面积分别为和例6. (1
9、)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长。 思路分析:通过作截得此圆台的圆锥的轴截面,构造直角三角形与相似三角形求解。 OA?AH :(1)作解答过程122?525?r?4?r?2RR? 3?AH? 2215?33H?A?12? 1OVA?O?VA )与相似2(11OVAA111? AOVA20VA? :通过构造旋转体的轴截面,将立体问题转化为平面问题。解题后的思考 ?85 7. 例已知球的两个平行截面的面积分别为和3,且距离为,求这个球的半径。 精品文档 精品文档的同侧,另一种是两截面的相互位置可能出现两种情况,一种是在球心O思路分析: O的异侧。在球心 O的同侧时,解答过程:(1)当两
10、截面在球心dd,r,r,球到截面的距离分别为如图所示,设这两个截面的半径分别为,球心O2121 R。的半径为 2222?8,?r?r?5,r?r?85 。211222222d?dr?R?r 又,221122223rd?dr? ,12123?dd)(d?d)( 。即22113d?d? ,又21,2dd?3,?d?112? 解得?.11,d?d?d?212?0?d?, 这种情况不成立。又23d?d? 的异侧时,O(2)当两截面在球心213d)?(d?d)(d? 由上述解法可知,2211,2?d?3,dd?112? 解得?.?1?d1,dd?221223?5?R?r?d4? 。11 。综上所述,这个
11、球的半径为3而忽略对另一种位置关系:同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论,解题后的思考 的讨论。 画几何体的三视图 知识点五 画出如图所示的三棱柱的三视图。例8. 侧视图是从左侧看三棱柱投中间的竖线看不到,应画成虚线;思路分析:在正视图中,而应该是过底面正三角射到竖直的正对着的平面上的正投影,所以不是三棱柱的一个侧面, 形的一条高线的矩形。 解答过程: 精品文档精品文档 ,还要注意实线与画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐”解题后的思考: 虚线的区别。 三视图中的推测问题知识点六 9. 根据下列三视图,说出各立体图形的形状。例 正视图反映物体的三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的
12、三个视图。思路分析:而俯视图和正视图共同反映物体主要体现物体的长和高,主要形状特征,不反映物体的宽。 的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形状。 3)螺帽。)圆台;(2)正四棱锥;(1解答过程:(,另外,还要“宽相等”三视图的画法里要注意“长对正”,“高平齐”,解题后的思考: 熟悉基本空间几何体的三视图。 七、直观图的还原与计算问题a的斜二测水平直观图,那么ABC是水平放置的边长为的正三角形ABC已知例10. _ABC的面积为。 精品文档 精品文档 直观图的边长及夹角求解。先根据题意,画出直观图,然后根据思路分析:ABC 如图甲、乙所示的实际图与直观图。解答过
13、程: 31?aOC?BC?AB?a,AO则,于。在图乙中作CDABD 426116622?a?C?aa?D?ASBaCD?OC以所故填。? ? ?C?BA168228262a 。 16需先求出直观图的底和该题求直观图的面积,:因此应在直观图中求解,解题后的思考 高,然后用三角形面积公式求解。本题旨在考查同学们对直观图画法的掌握情况。 cm1它是水平放置的一个平面图形的直观图,B的边长为,C 例11.如图所示,正方形OA 。则原图形的周长是_ 思路分析:先根据题意,由直观图画出原图形,易知BC=OA逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示,由BC/OA且解答过程:222 为平行四边形。在上图中,易
14、求OBOB=,所以。OABC22?322)AB?1?(中,所以在又OA=1RtBOA。 cm8)8(cm?13?2(?) 故原图形的周长是。,应填 解题后的思考:该题考查的是直观图与原图形之间的关系,及逆用斜二测画法的规则。上底面的中心在下底面的投影是下面底中心)已知正三棱台12例:(上、下底是正三角形, 精品文档 精品文档6 与4cmcm,侧棱长是,试求该三棱台的体积。的上、下底面边长分别是2cm利用棱台的体积计算公式,求出棱台的高,上、下底面的面积,代入公式即 思路分析: 可。?OBOBOOOO,在平如图所示,、是上、下底面的中心,连结 解答过程:?OBEBBOO?BE 于内作。面?O?ACB 是中心,2是边长为 的等边三角形,3223?B?O?2? , 3323234?OB?OBBE?OB 。,则同理 3332?EB?BRt6?BB?BE 在,中, , 34242?E?B ,即棱台高为cm。 33 为积台的体 所以三棱?3144233371?3?4?V16?4?16? )(cm。
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