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因式分解公式大全

公式及方法大全

待定系数法（因式分解）

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广

泛，这里介绍它在因式分解中的应用.

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法.

常用的因式分解公式：

（x+a）（x+R=X，+S+B）x+必

（d±A）a=d3±2ab+b2

©士®U土如6+%沪土护

a2-b2=（a_b%+b）

J土沪=（fl±a）3干必+沪）

av-bn=（K严+严E+严护十・・・+□严+严）仇为正整数）

an-bn=@+3）（严-严3+（/寿-••十严-旷】）（涵偶数）aB+y=°叫+产审——沪+护“）（潍为奇数）

⑺+占+”二a1+沪+/+2必+2加+2血

+i34-c'1-3abc-（a+b+r）（卅+b2+/-ab-bc-ca）

例1分解因式：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

分析由于

（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y）,

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出n，使问题得到解决.

解设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3=（x+2y+m）（x+y+n）=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3,n=1.所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）.

说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.

例2分解因式：

x4-2x3-27x2-44x+7.

分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是土1,±7（7的约数）,经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式

没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为

（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式.

解设

原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd,

所以有

由bd=7，先考虑b=1,d=7有

所以原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）

说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.

求根法（因式分解）

我们把形如anxn+an-1xn-1+--+a1x+a0（n为非负整

数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x）,g（x），…等记号表示，女口f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多项式f（x）f

（1）=12-3x

我们把形如anxn+an-ixn-1+…+玄ix+ao（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x）,g（x）,…等记号表示，如

f（x）=x2-3x+2,g（x）=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示.如对上面的多

项式f（x）

f

（1）=12-3xi+2=0;

f（-2）=（-2）2-3X（-2）+2=12.

若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根.

定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a.

根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键

是求多项式f（x）的根.对于任意多项式f（x），要求出它的根

是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.

定理2

的根，则必有p是ao的约数,q是an的约数.特别地，当ao=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数.

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.

例2分解因式：

x3-4x2+6x-4

分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，

必是-4的约数，逐个检验-4的约数：

±1，±2，±4，只有

f

（2）=23-4X22+6X2-4=0,

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因

式x-2．

解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．

原式=（x3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）

=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

=（x-2）（x2-2x+2）．

解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），

所以

原式=（x-2）（x2-2x+2）

说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

例3分解因式：

9x4-3x3+7x2-3x-2．

分析因为9的约数有土1,±3,±9;-2的约数有土1,

为:

所以，原式有因式9x2-3x-2.

解9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2

=（9x2-3x-2）（x2+1）

=（3x+1）（3x-2）（x2+1）

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分

数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程.

总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因

式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）

低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分

解了.

双十字相乘法（因式分解）

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十

字相乘法分解因式.例如，分解因式

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式按x降幕排列，并把

y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3）,可

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二

元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我们将上式

按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3）,

可以看作是关于x的二次三项式.

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用

十字相乘法，分解为

即-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=[x+（2y-3）][2x+（-11y+1）]=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把

这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进

行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相

乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、

第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第

三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1分解因式：

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；

（2）x2-y2+5x+3y+4；

（3）xy+y2+x-y-2；

（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解

（1）

原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．

（2）

原式=（x+y+1）（x-y+4）．

（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=（y+1）（x+y-2）．

（4）

原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．

说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．

笔算开平方

对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可

例求316.4841的平方根.

第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗

号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一

段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而（1+1）2=4>3.

第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，

组成第一余数，在本例中第一余数为216.

第四步，找出试商，使（20x初商+试商）x试商不超过第一余数，而【20x初商+（试商+1）】x（试商+1）则大于第一余数第五步，把第一余数减去（20x初商+试商）x试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7,第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.

第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的

小数点位置对齐.本例的算式如下：

17.79

^3,16.48,41

1

20X1=20

2

16

・第一余数

十7

27

1

89

……27X7

20X17=340

27

48

-第二余数

+

7

347

24

29

347X7

20X177=3540

3

1941…

…第「余数

+9

3549319413549X9

0

根式的概念

【方根与根式】数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为「~（n为大于1的自然数）.作为代数式称为根式.n称为根指数，a称为根底数.在实数范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.

【算术根】正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.

【基本性质】由方根的定义，有

（烷y“■畅

国根式运算

【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；

反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即

【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,

即

【根式的乘方】5