高等数学绪论 (1).ppt
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数学是什么数学是什么高等数学是什么高等数学是什么数学的历史数学的历史如何学习高等数学如何学习高等数学绪绪论论2021/6/242021/6/2411恩格斯：
恩格斯：
“数学是研究现实世界中的数量数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。
关系与空间形式的一门科学。
”从数学的学科结构看，数学是模型；从数学的过程看，数学是推理与计算；从数学的表现形式看，数学是符号；从数学对人的指导看，数学是方法论；从数学的价值看，数学是工具。
一、数学是什么？
一、数学是什么？
2021/6/242021/6/24221）哲学说哲学说2）符号说符号说3）科学说科学说4）工具说工具说5）逻辑说逻辑说6）创新说创新说7）直觉说直觉说8）集合说集合说15种种“数学的定义数学的定义”9）结构说（关系说）结构说（关系说）10）模型说模型说11）活动说活动说12）精神说精神说13）审美说审美说14）艺术说艺术说15）万物皆数说万物皆数说数学文化导论数学文化导论2021/6/242021/6/24331、数学是一种哲学数学是一种哲学亚里士多德：
亚里士多德：
“新的思想家把数学和哲学新的思想家把数学和哲学看作是相同的。
看作是相同的。
”牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他把这本书他把这本书“作为哲学的数学原理的著作作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。
欧几里得：
欧几里得：
“点是没有部分的那种东西；点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度。
线是没有宽度的长度。
”几何原本几何原本2021/6/242021/6/2444伽利略伽利略（Galeleo）说：
说：
“展现在我们眼前的宇宙展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。
言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。
”1965年获得了年获得了Nobel奖的物理学家费格曼奖的物理学家费格曼（RichardFegnman）曾说：
曾说：
“若是没有数学语言，宇宙似乎是若是没有数学语言，宇宙似乎是不可描述的。
不可描述的。
”Nobel物理学奖获得者温伯格物理学奖获得者温伯格（StevenWeinberg）说过：
说过：
“这是不可思议的，当一个物理学家得到一个这是不可思议的，当一个物理学家得到一个思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。
思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。
”2、数学是一种语言，数学是一种语言，一切科学的共同语言一切科学的共同语言2021/6/242021/6/2455F.F.F.F.培根说：
培根说：
培根说：
培根说：
“知识就是力量知识就是力量知识就是力量知识就是力量”“”“”“”“数学是打开数学是打开数学是打开数学是打开科学大门的钥匙科学大门的钥匙科学大门的钥匙科学大门的钥匙”。
没有没有没有没有MaxwellMaxwell方程就不可能有电磁波理论，就不会有方程就不可能有电磁波理论，就不会有方程就不可能有电磁波理论，就不会有方程就不可能有电磁波理论，就不会有现代的通讯技术；现代的通讯技术；现代的通讯技术；现代的通讯技术；没有没有没有没有RiemannRiemann几何，不可能产生广义相对论；几何，不可能产生广义相对论；几何，不可能产生广义相对论；几何，不可能产生广义相对论；没有没有没有没有Navier-StokesNavier-Stokes方程，就不会有流体力学的理论方程，就不会有流体力学的理论方程，就不会有流体力学的理论方程，就不会有流体力学的理论基础，也不可能产生航空学；基础，也不可能产生航空学；基础，也不可能产生航空学；基础，也不可能产生航空学；没有数理逻辑和量子力学，就没有现代的计算机；没有数理逻辑和量子力学，就没有现代的计算机；没有数理逻辑和量子力学，就没有现代的计算机；没有数理逻辑和量子力学，就没有现代的计算机；3、数学是一把钥匙，数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙一把打开科学大门的钥匙2021/6/242021/6/2466诺依曼诺依曼（VonNeumann）认为：
认为：
“数学处于数学处于人类智能的中心领域人类智能的中心领域数学方法渗透、支配数学方法渗透、支配着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成为着一切自然科学的理论分支，它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。
衡量成就的主要标志。
”马克思说：
马克思说：
“一门科学只有当它达到能够一门科学只有当它达到能够成功地运用数学时，才算真正发展了。
成功地运用数学时，才算真正发展了。
”2021/6/242021/6/2477人体器官的三维图像人体器官的三维图像（一维数学模型一维数学模型）数据压缩技术数据压缩技术（小波分析小波分析）数学在工程学、经济学、管理学、心理数学在工程学、经济学、管理学、心理学、政治科学诸领域也有重要的作用，产生学、政治科学诸领域也有重要的作用，产生了很多交叉学科，如了很多交叉学科，如数理经济学、数理语言数理经济学、数理语言学、数学心理学、数学政治科学、对策论学、数学心理学、数学政治科学、对策论等。
等。
4、数学是一种工具，一种思维的工具数学是一种工具，一种思维的工具2021/6/242021/6/2488简洁美简洁美和谐美和谐美对称美对称美奇异美奇异美5、数学是一门艺术，一门创造性艺术数学是一门艺术，一门创造性艺术2021/6/242021/6/2499两个黑洞的斗争两个黑洞的斗争2021/6/242021/6/241010分形现象分形现象2021/6/242021/6/241111蝴蝶吸引子蝴蝶吸引子2021/6/242021/6/241212数学努力的目标目标是：
将杂乱整理为有序，使经验升华为规律，使复杂演变为简单。
数学不仅是一种重要的工具和方法，同时是一种思维模式，即“数学思维”；不仅是一种知识，而且是一种素质。
结语结语:
2021/6/242021/6/241313二、数学的历史二、数学的历史第一阶段：
数学萌芽时期第一阶段：
数学萌芽时期（远古时代（远古时代-公元前公元前55世纪）世纪）形成了数的概念，产生了数的运算方法。
几何学有了初步发展。
第二阶段：
常量数学时期第二阶段：
常量数学时期（公元前（公元前66、77世纪世纪-17-17世纪中叶）世纪中叶）数学形成了一门独立的、演绎的科学这个时期的基本成果，已构成现在中学数学课本的主要内容。
2021/6/242021/6/241414第一个特征：
第一个特征：
其所研究的对象是不变的量（常量）或孤立不变的规则几何图形；第二个特征第二个特征：
表现在其研究方法上。
既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通过计算用代数方法来解决几何问题。
初等代数与初等几何是互不相关的问题，本阶段特征：
本阶段特征：
如：
匀速运动；匀加速运动；直边图形；圆弧边如：
匀速运动；匀加速运动；直边图形；圆弧边图形等图形等2021/6/242021/6/241515第三阶段：
变量数学时期第三阶段：
变量数学时期（1717世纪中叶世纪中叶-19-19世纪中叶）世纪中叶）笛卡尔的几何学；恩格斯指出：
数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
牛顿、莱布尼茨创立微积分.这个时期的基本成果是解析几何、微积分、微分方程等，它们是现今高等院校中的基础课程。
2021/6/242021/6/241616第四阶段：
现代数学阶段第四阶段：
现代数学阶段（1919世纪至今）世纪至今）主要分支：
主要分支：
非欧几何、群论、泛函分析、拓扑学、函数逼近论、常微分方程定性理论、数理逻辑等.1、几何、代数、数学分析变得更为抽象。
2、与其它学科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘学科和综合性学科。
2021/6/242021/6/241717三、高等数学是什么？
三、高等数学是什么？
1、高等数学的涵义、高等数学的涵义广义广义第三阶段的主要成果。
包括微积分、解析几何、线性代数和概率论等，即大学阶段的数学。
狭义狭义高等数学课程。
主要内容：
极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、级数理论、空间解析几何和简单微分方程等。
理论基础：
极限理论。
2021/6/242021/6/241818高等数学课程的重要性高等数学课程的重要性高等数学高等数学其它数学课程其它数学课程物理学、天文学、工程技术、管理学、物理学、天文学、工程技术、管理学、经济学、信息科学经济学、信息科学支持支持推动推动2021/6/242021/6/241919“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”例：
趣味数学题例：
趣味数学题
（1）割圆术：
割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之割之弥细，所失弥少，割之割之弥细，所失弥少，割之割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与又割，以至于不可割，则与又割，以至于不可割，则与又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣圆周合体而无所失矣圆周合体而无所失矣圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽刘徽刘徽
（2）截丈问题：
截丈问题：
2021/6/242021/6/242020（3）s等于多少悖论：
等于多少悖论：
设则：
（1）
（2）（3）s=1-s解得s=1/2认为答案为1/2.主要是当时还没有级数收敛的概念主要是当时还没有级数收敛的概念.这个问题据说曾令众多大师为难,莱布尼茨都2021/6/242021/6/242121“飞矢不动飞矢不动”（4）芝诺悖论：
芝诺悖论：
“矢”指的是弓箭中的箭。
如果我们截取“飞矢”的静止的，所以，“飞矢”是“不动”的。
每一个瞬间，它在空中都是“静止”的。
既然每一个瞬间都是静止的，所有的瞬间加起来也应该是“芝诺悖论芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等的错误就在于，他将无穷小彻底等同同于零于零。
2021/6/242021/6/242222离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
芝诺讲：
阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。
阿基里斯和乌龟的距“阿基里斯追不上乌龟阿基里斯追不上乌龟”阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。
（4）芝诺悖论：
芝诺悖论：
2021/6/242021/6/2423232、微积分的涵义、微积分的涵义微积分学是微分学微分学和积分学积分学的总称。
它是一种数学思想数学思想：
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，如：
如：
子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，“无限细分限细分”就是微分，“无限求和限求和”就是积分。
它是用一种运动的思想看待问题。
子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念2021/6/242021/6/242424求曲线的长度、区域的面积、求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；物体的体积等；微积分是从四个方面的问题来的：
求曲线的切线；求曲线的切线；求运动物体的速度；求运动物体的速度；求一些问题的极大、极小值。
求一些问题的极大、极小值。
例：
例：
图中阴影的面积、曲线的长度、阴影绕坐标轴的旋转的立体的体积及表面积。
2021/6/242021/6/242525例例例例.不规则图形面积不规则图形面积不规则图形面积不规则图形面积2021/6/242021/6/2426262021/6/242021/6/242727解决问题的思想和方法：
解决问题的思想和方法：
分割分割化整为零求和求和积零为整取极限取极限精确值求近似取极限微分微分积分积分2021/6/242021/6/2428283、高等数学课程的作用、高等数学课程的作用.为其他后续数学课程奠定良好的数学基础。
为其他后续数学课程奠定良好的数学基础。
线性代数、概率论与数理统计、线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换、数值分析等复变函数与积分变换、数值分析等.为同学们学习相关基础课程及本专业的专业为同学们学习相关基础课程及本专业的专业课程奠定数学基础。
课程奠定数学基础。
大学物理、计算机理论基础、大学物理、计算机理论基础、控制理论基础等控制理论基础等2021/6/242021/6/242929.逐步培养学生应该具有的能力与素质：
逐步培养学生应该具有的能力与素质：
抽象概括问题的能力抽象概括问题的能力；例例:
（七桥问题七桥问题）科尼斯堡有条布勒格尔河上有七座桥，“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只走一次最后又回到出发点？
”2021/6/242021/6/2430302021/6/242021/6/243131逻辑推理能力；逻辑推理能力；例：
例：
例：
例：
某外企招考员工的一道题：
有三个筐，一个筐里某外企招考员工的一道题：
有三个筐，一个筐里装着橘子，一个筐里装着苹果，一个筐里混装着橘装着橘子，一个筐里装着苹果，一个筐里混装着橘子和苹果，装完后封好。
然后做子和苹果，装完后封好。
然后做“橘子橘子”、“苹果苹果”、“混装混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上。
三个标签，分别贴到上述三个筐上。
由于马虎，结果全贴错了。
请想一个办法，只许从由于马虎，结果全贴错了。
请想一个办法，只许从某一个筐里拿出一个水果，就能够纠正所有的标签。
某一个筐里拿出一个水果，就能够纠正所有的标签。
数学文化顾沛著，高等教育出版社。
数学文化顾沛著，高等教育出版社。
2021/6/242021/6/243232例：
例：
例：
例：
微软公司招考员工的一道面试题：
微软公司招考员工的一道面试题：
一个屋子里一个屋子里有有5050个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。
假定有如下条件：
部分病狗。
假定有如下条件：
a.a.狗的病不会传染，狗的病不会传染，也不会不治而愈；也不会不治而愈；b.b.狗的主人不能直接看出自己的狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能看别人的狗，从而推理发现自狗是否有病，只能看别人的狗，从而推理发现自己的狗是否有病；己的狗是否有病；c.c.一旦主人发现自己的狗是一只一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗；病狗，就会在当天开枪打死这条狗；d.d.狗只能由它狗只能由它的主人开枪打死。
结果，第一天没有枪声，第二的主人开枪打死。
结果，第一天没有枪声，第二天没有枪声，天没有枪声，第十天发出了一片枪声，问，第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？
有几条狗被打死？
数学文化，顾沛著，高等教育出版社。
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2021/6/242021/6/243333空间想象能力；空间想象能力；自学能力；自学能力；比较熟练的运算能力；比较熟练的运算能力；综合运用所学知识去分析问题和解决问题综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力；的能力；例：
例：
证明：
在凸凹不平的地面上，将四条腿桌子旋转调整几次，一定可以使其放稳。
金属环加热过程中，环上必存在具有相同温度的关于圆心对称的两点.2021/6/242021/6/243434具有处理数据和图形的能力，重点是加强应具有处理数据和图形的能力，重点是加强应用意识和数学建模的能力；用意识和数学建模的能力；具有进行逻辑推理和选择计算方法的能力；具有进行逻辑推理和选择计算方法的能力；具有判断计算和推理结果正确性的能力；具有判断计算和推理结果正确性的能力；例：
例：
某公司的一个岗位三年聘期，提供了两种薪酬支付方式，A：
月薪1000，每月加薪100；B：
季薪6000，每季度加薪300，若你在这个岗位上，请问你选择哪种支付方式？
2021/6/242021/6/243535四、如何学习高等数学？
四、如何学习高等数学？
听懂、练会、考好、用活听懂、练会、考好、用活1.1.培养兴趣。
培养兴趣。
兴趣是最好的老师！
没有兴趣的学习是痛苦的折磨。
22.多加练习。
多加练习。
听数学不如读“数学”，读数学不如做“数学”2021/6/242021/6/2436363.3.掌握规律掌握规律复习-学习新知识-练习-总结学习中要抓住三个问题：
基本概念，基本原理，典型范例。
要求要求：
基本概念要准确；基本理论要清楚；基本运算技能要熟练。
2021/6/242021/6/243737博雷尔博雷尔：
数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
4.4.要勤于思考，勤于提问要勤于思考，勤于提问康托康托:
数学的本质在于它的自由。
在数学领域，提出问题的艺术比解决问题的艺术更为重要。
罗素罗素：
“数学是所有形如p蕴含q的命题类”而最前面的命题p是否对，却无法判断，因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。
”2021/6/242021/6/243838喜欢数学的爱上数学喜欢数学的爱上数学讨厌数学的喜欢上数学讨厌数学的喜欢上数学2021/6/242021/6/243939
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