等差等比数列练习题含答案以与基础知识点.docx
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等差等比数列练习题含答案以与基础知识点
、等差等比数列基础知识点
(一)知识归纳:
1.概念与公式:
1等差数列:
1°.定义:
若数列{an}满足an1and(常数),则{an}称等差数列;
2
2°.通项公式:
ana1(n1)dak(nk)d;
2.简单性质:
a
1°.若{an}是等差数列,则a1ana2n1a3an2;
a
2°.若{an}是等比数列,则a1ana2n1a3an2.②中项及性质:
ab
1°.设a,A,b成等差数列,则A称a、b的等差中项,且A;
2
2°.设a,G,b成等比数列,则G称a、b的等比中项,且Gab.
③设p、q、r、s为正整数,且pqrs,
1°.若{an}是等差数列,则apaqaras;
2°.若{an}是等比数列,则apaqaras;
④顺次n项和性质:
n
2n
3n
则
ak
ak,
ak,
ak
组成公差为
k1
kn1
k2n1
n
2n
3n
则
a
k,ak
ak
组成公差为
k1
kn1
k2n1
1°.若{an}是公差为d的等差数列,
2°.若{an}是公差为q的等比数列,
nd的等差数列;
qn的等比数列.(注意:
当q=-1,n为
偶数时这个结论不成立)
⑤若{an}是等比数列,
a,aan
2n2n12n2a3n组成公比这qn2的等比数列
⑥若{an}是公差为d的等差数列
1°.若n为奇数,则Snna中且S奇S偶a中(注:
a中指中项,即a中an1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶
2
数项的和);nd2°.若n为偶数,则S偶S奇.
2
(二)学习要点:
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,
22
c
[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:
根据“中项”性质、根据“定义”判断,
①
(Ⅱ)等比数列的项数n为奇数,且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为
a5a14d
数列{akn}的公比q3,
a1a1
n1
n1
a1
(kn1)d
2d(kn
1)d
得kn23n11,
n
ak而a
k
(ad)(ad32)a2
2
(a4)(ad)(ad)
3d232d640,d8
d232d32a0
2
2
8a16d
8,得a10或26,
a1q242
(1)
求数列{kn}的前n项和.
2
[解析]a1,a5,a17成等比数列,a5a1a17,
2
(a14d)a1(a116d)d(a12d)0
d0,a12d,
39
2
原三数为2,10,50或,26,338
10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数
999(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为
[解析]设此四数为a15,a5,a5,a15(a15)
(a152)(a5)2(a5)2(a15)2(2m)2(mN)
22
4a5004m(ma)(ma)125,
1251125525,
ma与ma均为正整数,且mama,
ma1ma2
ma125ma25
解得a62或a12(不合),所求四数为47,57,67,77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.
、等差等比数列练习题
选择题
的前n项和为
n(3n13)
n
(B)35
(A)
2
12、下列命题中是真命题的是
A.数列an是等差数列的充要条件是
3n10n3
C)
2
anpnq(p0)
3n110n3
B.已知一个数列
an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列
那么此数列也是等比数列
C.数列an是等比数列的充要条件
anabn1
D.如果一个数列
an的前n项和Snabnc(a0,b0,b1),则此数列是等比数列的充要条件是
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列
an,公比q1a5,a7,a8,成等差数列,则公比q=
14、已知等差数列
,公差d0,a1,a5,a17成等比数列,则
a5a17
a
2a618
n,则an
15、已知数列an满足Sn1a
4
则插入的这两个数的等比中项为
16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,二、解答题
17、已知数列
an是公差d不为零的等差数列,数列
abn是公比为q的等比数列,
b11,b210,b3
46
,求公比q及bn。
a33b3,a55b5,求an,bn。
18、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等,且都等于d(d0,d1),a1b1
19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为
216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数
20
20、已知an为等比数列,a32,a2a4,求an的通项式
3
Ⅰ)求
an的通项公式;
Ⅱ)等差数列
bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列,求Tn
22、已知数列an满足a11,an12an1(nN*).
(I)求数列an的通项公式;
(II)若数列bn满足4b11.4b21...4bn1(an1)bn(nN),证明:
bn是等差数列;
数列综合题
、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
A
A
C
A
D
D
D
D
、填空题
26
14.
29
15
13.
2
三、解答题
41n
15.()
33
16.63
由{abn}为等比数例,得(a1+9d)
17.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d
2
=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.
∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna
项,及abn=ab1·4n-1
=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1
2a1(1-3d2)=-2da1(1-5d4)=-4d
∴bn=3·4n-1-2
2
18.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d
a5=5b5,a1+4d=5a1d4,
①②,得15d
13d
4
2
=2,∴d2=1
2
或d2
=1,由题意,
5
d=
5n-1
a1=-5。
∴an=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-5·(5)n-1
555
19.设这四个数为
a
a,aq,2aqaq
a
·aaq216
则q
aaq(3aqa)36
由①,得
a3=216,a=6③
③代入②,得3aq=36,q=2
∴这四个数为3,6,12,18
20.解:
设等比数列
{an}的公比为q,
则q≠0,a2=a3=
2
a4=a3q=2q
q
q
所以
2
20
1
q+2q=3
解得q1=3,q2
=3,
1
1n-1
18
3-n
当q1=
a=18.所以
a=18×()=
n-1=2
×3.
3
3
3
2
当q=3时,a1=,
所以an=2×3n-
1=2×3n
-3.
99
21.解:
(I)由an1
2Sn1可得an
2Sn1
1n2
,
两式相减得
a
n1an
2an,an13an
n2
又a22S
113∴a2
3a1
故an是首项为1,公比为3得等比数列
∴an3n1
(Ⅱ)设bn的公差为d
由T315得,可得b1b2b315,可得b25故可设b15d,b35d
又a11,a23,a39
2
由题意可得5d15d953
解得d12,d210
∵等差数列bn的各项为正,∴d0
∴d2
nn12
∴Tn3n2n2n
2
a
22(I):
n12an(1n,)N*
an112(an1),
an1是以a112为首项,2为公比的等比数列。
an12n.
221(nN*).
II)证法一:
4b114b21...4bn1(an1)bn
4(b1b2...bn)n
nbn
2[(b1b2...bn)n]nbn,
)
2[(b1b2...bnbn1(n1)](n1)bn1.
②-①,得2(bn11)(n1)bn1nbn,
即(n1)bn1nbn20,
nbn2