等差等比数列练习题含答案以与基础知识点.docx

1、等差等比数列练习题含答案以与基础知识点、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1概念与公式：1等差数列： 1 . 定义：若数列 a n 满足 a n 1 a n d （ 常数 ）, 则 a n 称等差数列；22 .通项公式： a n a 1 ( n 1)d a k ( n k ) d ;2简单性质：a1 .若 a n 是等差数列，则 a 1 a n a 2 n 1 a 3 a n 2 ;a2 .若 a n 是等比数列，则 a 1 an a 2 n 1 a 3 a n 2 . 中项及性质：ab1 .设 a， A ， b 成等差数列，则 A 称 a、 b 的等差中项，且 A ;22 . 设 a,G

2、,b 成等比数列，则 G 称 a、 b 的等比中项，且 G ab .设 p 、 q、 r、 s 为正整数，且 p q r s,1 . 若 a n 是等差数列，则 a p a q a r a s ;2 . 若 a n 是等比数列，则 a p a q a r a s ;顺次 n 项和性质：n2 n3 n则a k, a k , a k ,a k组成公差为k1k n 1k 2 n 1n2 n3 n则ak , a k, a k组成公差为k1k n 1k 2 n 11 . 若 a n 是公差为 d 的等差数列，2 . 若 a n 是公差为 q 的等比数列，n d 的等差数列；qn 的等比数列 .（注意：当

3、 q= 1，n 为偶数时这个结论不成立）若 a n 是等比数列，a , a a n2 n 2 n 1 2 n 2 a 3 n 组成公比这 q n 2 的等比数列若 a n 是公差为 d 的等差数列1 . 若 n 为奇数，则 S n na 中 且 S 奇 S 偶 a 中 （注 : a 中 指中项 ,即 a 中 a n 1 , 而 S 奇、 S 偶指所有奇数项、所有偶2数项的和）； nd 2 . 若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 .2（二）学习要点：解析 该问题应该选择“中项”的知识解决，22c评析 判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，（）等比数

4、列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024 ，所有偶数项的乘积为a 5 a1 4d数列 a k n 的公比 q 3,a 1 a1n1n1a1(k n 1) d2d ( k n1) d得 k n 2 3 n 1 1,na k 而ak(a d )( a d 32 ) a 22(a 4 ) ( a d )( a d )3d 2 32 d 64 0 , d 8d 2 32 d 32 a 0228 a 16 d8 , 得 a 10 或 26 ,a1 q 2 4 2 (1)求数列 k n 的前 n 项和 .2解析 a1 , a 5 , a17 成等比数列 , a 5 a1 a 17 ,2(a 1

5、 4 d ) a1 ( a1 16 d ) d ( a1 2 d ) 0d 0 , a1 2 d ,392原三数为 2,10 ,50 或 , 26 ,33810，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数9 9 9 （）有四个正整数成等差数列，公差为解析 设此四数为 a 15 , a 5, a 5 , a 15 (a 15 )( a 15 2 ) ( a 5) 2 ( a 5) 2 (a 15 ) 2 (2 m) 2 (m N )224a 500 4 m ( m a )( m a ) 125 ,125 1 125 5 25,m a 与 m a 均为正整数 , 且 m a m a ,m a 1

6、 m a 2m a 125 m a 25解得 a 62 或 a 12(不合 ), 所求四数为 47， 57 ， 67，77评析 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是 主要方法 .、等差等比数列练习题选择题的前 n 项和为n (3 n 13 )n(B) 3 5（A ）212 、下列命题中是真命题的是A 数列 a n 是等差数列的充要条件是3 n 10 n 3C)2a n pn q ( p 0 )3 n 1 10 n 3B 已知一个数列a n 的前 n 项和为 S n an 2 bn a , 如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C数列

7、 a n 是等比数列的充要条件a n ab n 1D 如果一个数列a n 的前 n 项和 S n ab n c （ a 0 , b 0, b 1） , 则此数列是等比数列的充要条件是二、填空题13、各项都是正数的等比数列a n ，公比 q 1 a 5 , a 7 , a 8 ,成等差数列，则公比 q =14 、已知等差数列，公差 d 0 , a1 , a 5 , a 17 成等比数列，则a 5 a17a2 a 6 18n, 则 a n15 、已知数列 a n 满足 S n 1 a4则插入的这两个数的等比中项为16 、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，

8、 二、 解答题17 、已知数列a n 是公差 d 不为零的等差数列，数列ab n 是公比为 q 的等比数列，b1 1, b 2 10 , b 346，求公比 q 及 b n 。a 3 3b3 , a 5 5b 5 , 求 a n , b n 。18 、已知等差数列 a n 的公差与等比数列 b n 的公比相等， 且都等于 d （ d 0, d 1） , a1 b119 、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216 ，后三个数成等差数列，其和为 36 ，求这四个数2020 、已知 a n 为等比数列， a 3 2, a2 a 4 ，求 an 的通项式3）求a n 的通项公式；）等差数列bn

9、的各项为正，其前 n 项和为 T n ，且 T3 15 ，又 a1 b1 , a 2 b2 , a3 b3 成等比数列，求 T n22 、已知数列 a n 满足 a1 1, an 1 2 a n 1（ n N*）.（I ）求数列 a n 的通项公式；（II ）若数列 bn 满足4b1 1.4b 2 1.4 bn 1 （ an 1） bn （ n N ） ，证明： bn 是等差数列；数列综合题、选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD、填空题2614.291513.2三、解答题4 1 n15. ( )3316.6 3由 abn 为等比数例，得（ a1+9d）17.a

10、b1 =a1,a b2 =a 10=a 1+9d,a b 3 =a 46 =a 1+45d2=a1( a1+45d) 得 a1=3d,即 ab1 =3d,a b2=12d,a b3 =48d. q=4 又由 abn 是 an 中的第 bna项，及 abn=ab 14n-1=3d4n -1,a1 +(bn -1)d=3d 4n-12 a1(1-3 d 2 )=-2 d a1(1-5 d 4 )=-4 d bn =3 4n-1-2218. a3 =3b3 , a1+2d=3a 1da5=5b5 , a1 +4d=5 a 1 d4 , ,得 1 5 d1 3 d42=2 ， d2 =12或 d2=

11、1 , 由题意，5d=5 n -1,a1=- 5 。 an=a1+( n-1)d= ( n-6) bn=a1dn -1=- 5 ( 5 )n-15 5 519. 设这四个数为a, a , aq , 2aq a qaa aq 216则 qa aq ( 3aq a) 36由，得a3=216, a=6 代入，得 3aq=36,q=2这四个数为 3，6， 12 ， 1820.解:设等比数列 a n 的公比为 q,则 q 0,a 2=a3 =2, a4=a3 q=2qqq所以2201q + 2q= 3, 解得 q1=3 , q2= 3,11n 1183 n当 q1 =, a =18. 所以a =18 (

12、 ) =n 1 = 23 .3332当 q=3 时, a1= ,所以 an=2 3n1=2 3n 3.9921. 解：(I) 由 a n 12 Sn 1 可得 a n2 Sn 11 n 2，两式相减得an 1 a n2 an , a n 1 3a nn 2又 a2 2 S1 1 3 a 23a1故 a n 是首项为 1 ，公比为 3 得等比数列 a n 3 n 1()设 bn 的公差为 d由 T3 15 得，可得 b1 b2 b3 15 ，可得 b2 5 故可设 b1 5 d , b3 5 d又 a1 1, a 2 3, a3 92由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3解得 d1 2, d

13、 2 10等差数列 bn 的各项为正， d 0 d 2n n 1 2 Tn 3 n 2 n 2n2a22( I)： n 1 2a n (1 n ,)N *a n 1 1 2( a n 1),an 1 是以 a1 1 2 为首项， 2 为公比的等比数列。 a n 1 2 n.2 2 1( n N*).II )证法一： 4b1 1 4b 2 1.4 bn 1 ( an 1) bn4 ( b1 b 2 . b n ) nnb n2( b1 b2 . b n ) n nb n ,)2( b1 b2 . bn bn 1 (n 1) ( n 1) bn 1 .，得 2( b n 1 1) ( n 1) bn 1 nb n ,即 ( n 1) b n 1 nb n 2 0,nb n 2