随机事件的概率知识点总结.docx
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随机事件的概率知识点总结
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随机事件的概率
一、事件
SS的必然事件．下，一定会发生的事件，叫做相对于条件1．在条件
SS的不可能事件．下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件2．在条件
SS的随机事件．下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件3．在条件
二、概率和频率
1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．
SnAnA出现的次数次试验，观察某一事件2．在相同条件次试验中事件下重复是否出现，称nAnAAfAA出现的频率．为事件出现的频数，称事件）出现的比例＝（为事件
nAnAAfAPA）随着试验次数的增加稳定于概率发生的频率，（（3．对于给定的随机事件），由于事件n
fAPA）．（（）来估计概率因此可以用频率n
三、事件的关系与运算
文字表示
符号表示
包含关系
BA一定发生，这时如果事件发生，则事件BAA称事件包含事件（或称事件包含于事件B）
BAAB）?
?
（或
相等关系
BAABAB相?
若与事件?
，那么称事件，且等
AB＝
并事件（和）事件交事件（积）事件
BA发生或事件若某事件发生当且仅当事件AB与事件的并事发生，则称此事件为事件）（或和事件件BA发生且事件若某事件发生当且仅当事件BA发生，则称此事件为事件与事件的交事）件或积事件（
ABAB）＋∪（或ABAB）（或∩
互斥事件
BABA互与事件为不可能事件，则事件若∩斥
AB＝?
∩
对立事件
BAAB那∩若为不可能事件，∪为必然事件，AB互为对立事件与事件么称事件
范文Word
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四、概率的几个基本性质
PA）≤1.（1．概率的取值范围：
0≤
PE）＝1.2．必然事件的概率（
PF）＝0.3．不可能事件的概率（
4．概率的加法公式：
ABPABPAPB）．）∪＋）＝如果事件与事件（互斥，则（（
5．对立事件的概率：
ABABPABPAPB）．－（互为对立事件，则（∪）为必然事件．＝（∪1）＝1若事件，与事件
MN：
至少一次正面朝上．一次反面朝上；事件1.掷一枚均匀的硬币两次，事件则：
一次正面朝上，下列结果正确的是（）
11PMPN）＝（（）＝A．
3211PMPN）＝（）＝B．（
2213PMPN）（）＝C．（＝
3413PMPN）＝＝D．（（）
24MN包含：
（正、正）、（正、反）、D由条件知事件、包含：
（正、反）（反、正）．事件解析：
选（反、正）．
13PMPN）＝（故.（）＝，
242．（2012·）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
解析：
选DA中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立．
范文Word
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mmAnPnA（））3与．在次重复进行的试验中，事件的关系是发生的频率为，当（很大时，nnmmAPAP＜（（．）≈BA．）nnmmAAPP＝（）＞D．C．（）nnA发生的概率近似等于该频率的稳定值．解析：
选A事件战平的概率年伦敦奥运会中国与韩国选手进行女子重剑决赛．中国选手获胜的概率为.4．2012．为，那么中国选手不输的概率为________.解析：
中国选手不输的概率为＋＝答案：
baab的概率为＜，则5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为，从{1,2,3}中随机选取一个数为．________ba，，（1,3），（2,1））共有15种，即：
（1,1）取出的两个数用数对表示，解析：
（文）则数对（，，（1,2）ba＜（5,1），（5,2），（5,3）．其中，，（2,2），（2,3），（3,1）（3,2），（3,3），（4,1），（4,2）（4,3），种，，，（1,3）（2,3），共3的情形有（1,2）13P故所求概率.＝＝515baba＜{1,2,3}，从中任取一数种取法，满足，共有5×3＝15{1,2,3,4,5}（理）从中任取一数13P＝＝.共，的有（1,2）（1,3），（2,3）3种，故所求概率5151答案：
5还要求互斥事件是不可能同时发生的两个事件，1.而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．．从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集；事2AAB的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集．件
典型例题范文Word
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为了解他）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，[例1]（2012·陕西高考100个进行测试，结果统计如下：
们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取
小时的概率；
（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．200
（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了5＋201＝，用频率估计概率，所以，甲200]
（1）小时的频率为甲品牌产品寿命小于[自主解答10041小时的概率为.品牌产品寿命小于2004所以75根据抽样结果，
（2）寿命大于个，200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是1575200所以已使用了，在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率为＝用频率估计概率，2914515.小时的该产品是甲品牌的概率为29．概率是一个常数，它是频率的科学抽象，将事件发生的频率近似地作为它的概率是求一事件1概率的基本方法．mmAPn）次试验中，事件出现．2．概率公式（＝次n元，某人摸中一等奖的概000在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10）1．（2012·泰安月考）率是，这是指（
1000A．这个人抽次，必有1次中一等奖1010000×＝元．这人个每抽一次，就得奖金BC．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是D．以上说法都不正确只能说明这个人抽一次，某人摸中一等奖的概率是，摸一次彩票相当于做一次试验，选解析：
C
也不能说这个人每抽一次，抽中一等奖的可能性是，1必有0001而不能说这个人抽次，次中一等奖，范文Word
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就得奖金10000×＝10C.元，因此选
互斥事件的概
率
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机2]（2012·湖南高考）[例收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
16至件至14件件及以上5至8件9至12件一次购物量1713yx1025）顾客数（人30结算时间312）人分钟/（
件的顾客占55%.100已知这位顾客中一次购物量超过8yx，确定的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（1）
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2．将频率视为概率）分钟的概率．（yyxx＋][自主解答
（1）由已知得25＝＋1055，＋30＝45＝15，所以＝20.，位顾客一次购物的结算时间可所收集的100该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估100视为总体的一个容量为计，其估计值为1×15＋×30＋2×25＋×20＋3×10）分钟．＝（100AAAA分别表示事件“该顾2分钟”，为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过，，
（2）记312“该顾客一次购物的结客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为分钟”，125153303AAAPPP（.）2算时间为分钟”．将频率视为概率得（）＝＝＝）＝，（＝＝，32141001020100100AAAAAAAPAPAAAPAPAPA）＋）因为＋＝∪∪，且（，，是互斥事件，所以（（）＝（）∪∪）＝（3111223122333317＝＋＋＝.20104107故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.10
AB为出现为出现奇数点，事件）2．（2012·郑州模拟抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件范文Word
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11BPPA．点的概率为）＝点，已知2，则出现奇数点或
（2）＝，（________62211BAPBPABPA.））＝＝（＋解析：
因为事件）与事件＋是互斥事件，所以（（∪＝3622答案：
3对立事件的概
率
1个白球，一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，24个黑球，[例3]
个球，求：
个绿球．从中随机取出1
（1）取出的小球是红球或黑球的概率；
（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率．CAB球为球为黑球}，事件1＝{自主解答[]记事件任取＝{1任取球为红球}，事件1＝{任取112541DCDPAPPBP（，.）（））＝＝＝，＝（＝）＝，事件白球}任取＝{1}球为绿球，∴，（12612123123519BPAPABPP＝）＝＋（（∪＝.
（1）取出的小球是红球或黑球的概率为））（＝＝＋141231215CPCAPPBAPPB＝）＝（＋（＋）＋）
（2）法一：
取出的小球是红球或黑球或白球的概率为＝（（∪∪）2312111＋＝.126故所求概率法二：
“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取出的小球为绿球”互为对立事件，111DPP＝1－.－为＝1＝（）21212求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概
（1）率加法公式计算；APAP求解，即正难则反的＝（1－）间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式
（2）（）数学思想，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．
）3．（2012·长春模拟黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
范文Word
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血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少
ABCD′，它们是互′，AB，O型血的事件分别记为′，′，A解：
（1）对任一人，其血型为，B，PAPBPCPD′）＝.′）＝，斥的．由已知，有（（（′）＝，（′）＝，BD′.根据互斥事型血的人”为事件′＋O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B因为B，PBDPBPD′）＝＋＝.件的加法公式，有（（（′＋′）＋′）＝
AC′，′＋B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件
（2）法一：
由于A，AB型血不能输给PACPAPC′）＝＋＝.′＋′）＋′）＝（且（（法二：
因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，
PBDPBD′）＝1－＝（.′＋故由对立事件的概率公式，有（′＋－′）＝1答：
任找一人，其血可以输给小明的概率为，其血不能输给小明的概率为.
练习
1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至
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