初三数学九上圆所有知识点总结和常考题型练习题.doc
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圆知识点
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
四、垂径定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙中，∵∥
∴弧弧
五、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：
①；②；
③；④弧弧
六、圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：
∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：
在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：
在⊙中，∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3：
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：
在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
七、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
八、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
九、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
∵、是的两条切线
∴
平分
十、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：
；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：
（1）弧长公式：
；
（2）扇形面积公式：
：
圆心角：
扇形多对应的圆的半径：
扇形弧长：
扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图（选学）
=
（2）圆锥侧面展开图（选学）
（1）=
十二、圆与圆的位置关系（选学）
外离（图1）无交点；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5）无交点；
圆练习
一.选择题
1．在⊙O中，弦ABＡ．OE>OFＢ．OE=OFＣ．OE2．如图,AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm,CD=8cm，则A、B两点到直线CD的距离之和为（）
Ａ．12cmＢ．10cmＣ．8cmＤ．6cm
3．下列命题正确的是（ ）
Ａ．相等的圆心角所对的弧是等弧Ｂ．等圆周角对等弧
Ｃ．任何一个三角形只有一个外接圆Ｄ．过任意三点可以确定一个圆
4．如图，圆内接四边形ABCD中，AC、BD交于E点，且BC=DC,则图中共有相似三角形（ ）
Ａ．2对Ｂ．4对Ｃ．6对Ｄ．8对
5．如图，弦AB∥CD,E为弧CD上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（ ）
Ａ．3个Ｂ．4个Ｃ．5个Ｄ．6个
6．两个扇形的面积相等，其圆心角分别为、，且，则两个扇形的弧长之比（ ）Ａ．1:
2Ｂ．2:
1Ｃ．4:
1Ｄ．1:
7．一段铁路弯成圆弧形，圆弧的半径是2km，一列火车以每小时28km的速度行驶，经过10s通过弯道，那么弯道所对的圆心角的度数为（ ）
Ａ．4.4°Ｂ．44°Ｃ．2.2°Ｄ．22°
8．在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
Ａ．Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4
9.如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：
度），那么y与点P运动的时间x（单位：
秒）的关系图是（ ）
二、填空题
1．若三角形的三条边长分别为5,12,13，则这个三角形外接圆的半径为___________．
2．一条弦把圆分成2:
3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为______________．
3．如图,A、B、C是⊙O上顺次三点，若，则＝_______________．
4．如图△ABC是圆内接三角形，AB是直径，BC=4cm,∠A=30°,则AC=______________.
5．如图，=100°，则圆周角=__________.
6．已知扇形周长为14cm,面积为12cm2，则扇形的半径为_____________cm.
7．如图，以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆，阴影部分的面积记为m，空白部分的面积记为n，则m与n的关系为_____________．
8．若⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D,且,则=___________.
9.如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：
①DQ＝1；②；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）
三、解答题
1．如图27-13，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m,当水面上升0.2m时水面宽多少？
2．已知圆环内直径为acm，外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么，这条锁链拉直后的长度为多少？
3．如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD
B
A
C
D
E
G
O
F
交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：
BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
5.如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
C
P
D
O
B
A
E
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
6.如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．
（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求线段CD长的最小值；
（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为 ．
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