排列组合计算公式及经典例题汇总.docx

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排列组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式

排列A------和顺序有关

组合C-------不牵涉到顺序的问题

排列分顺序,组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"

把5本书分给3个人,有几种分法"组合"

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A（n,m）表示.

A（n,m）=n（n-1）（n-2）……（n-m+1）=n!

/（n-m）!

（规定0!

=1）.

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c（n,m）表示.

c（n,m）=A（n,m）/m!

=n!

/（（n-m）!

*m!

）；c（n,m）=c（n,n-m）;

3．其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A（n,r）/r=n!

/r（n-r）!

.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为

n!

/（n1!

*n2!

*...*nk!

）.

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c（m+k-1,m）.

排列（Anm（n为下标，m为上标））

Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！

/（n-m）！

（注：

！

是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！

；0！

=1；An1（n为下标1为上标）=n

组合（m（n为下标，m为上标））

m=Anm/Amm；m=n！

/m！

（n-m）！

；n（两个n分别为上标和下标）=1；1（n为下标1为上标）=n；m=n-m

2008-07-0813:

30

公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

！

-阶乘，如    9！

＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1）*（n-2）..（n-r+1）;

               因为从n到（n-r+1）个数为n－（n-r+1）＝r

举例：

Q1:

    有从1到9共计9个球，请问，可以组成多少个三位数？

A1:

    123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列A”计算X畴。

      上问题中，任何一个只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝A（3，9）＝9*8*7,（从9倒数3个的乘积）

Q2:

   有从1到9共计9个球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:

    213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算X畴。

       上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

　　例1　设有3名学生和4个课外小组．

（1）每名学生都只参加一个课外小组；

（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

    解

（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

　　点评  由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

    例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

　　解  依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

　　　　∴符合题意的不同排法共有9种．

　　点评  按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．

　　例３　判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

　　（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

　　（4）有8盆花：

①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

　　分析　

（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

　　（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．

　　（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

　　例４　证明．

　　证明　左式

　　　　　　　　　　　　右式．

　　　　　∴等式成立．

　　点评　这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．

　　例5　化简．

　　解法一　原式

　　解法二　原式

　　点评  解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

　　例6　解方程：

（1）；

（2）．

　　解

（1）原方程

　　　　　　　　　　　　　　解得．

（2）原方程可变为

　　　　　∵，，

　　　　　∴原方程可化为．

　　　　　即，解得

第六章  排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

（一）加法原理乘法原理

说明  加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.

例1  5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

解：

  5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35（种）

（二）排列、排列数公式

说明  排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2  由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（    ）

A.60个        B.48个        C.36个        D.24个

解  因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A12；小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有A13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A33，得A13A33A12＝36（个）

由此可知此题应选C.

例3  将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解：

  将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为

3A13=9（种）.

例四　例五可能有问题，等思考

三）组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明  历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（    ）

A.140种      B.84种      C.70种       D.35种

解：

  抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种

根据加法原理可得总的取法有

C24·C25+C24·C15=40+30=70（种）

可知此题应选C.

例5  甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?

解：

  甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680（种）.

（四）二项式定理、二项展开式的性质

说明  二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.

例6  在（x-）10的展开式中，x6的系数是（    ）

A.-27C610        B.27C410        C.-9C610        D.9C410

解  设（x-）10的展开式中第γ+1项含x6，

因Tγ+1=Cγ10x10-γ（-）γ，10-γ=6,γ=4

于是展开式中第5项含x6，第5项系数是C410（-）4=9C410

故此题应选D.

例7    （x-1）-（x-1）2＋（x-1）3-（x-1）+（x-1）５的展开式中的x２的系数等于                

解：

此题可视为首项为x-1，公比为-（x-1）的等比数列的前5项的和，则其和为

在（x-1）6中含x3的项是C36x3（-1）3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-20.

（五）综合例题赏析

例8  若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为（    ）

A.1                        B.-1             C.0           D.2

解：

A.

例9  2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生