完整word版三角函数的图像与性质教案.docx
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完整word版三角函数的图像与性质教案
三角函数的图象与性质
教学目标
1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质.
2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、
3.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.
重点难点
重点是通过复习,能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点,特别是三角函数的周期性,是需要重点明确的问题.
难点是,在研究复合函数性质时,有些需要先进行三角变换,把问题转化到四种三角函数上,才能进行研究,这就增加了问题的综合性和难度.
教学过程
三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题,要熟练、准确地掌握.特别是三角函数的周期性,反映了三角函数的特点,在复习“三角函数的性质与图象”时,要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容,认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用.这样才能把性质理解透彻.
一、三角函数性质的分析
1.三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在y轴上的角.
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ,kπ+π)(k∈Z),这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在x轴上的角.
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同.
例1 求下列函数的定义域:
π](k∈Z).
形使函数定义域扩大.
的某些区间与-3≤x≤3的交集不空,这些区间可以通过k取特殊值得到.注意不要遗漏.
(3)满足下列条件的x的结果,要熟记(用图形更便于记住它的结果).
是 [ ]
所以选C.
2.三角函数的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1.
(2)复合三角函数的值域问题较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换再求值域.
常用的一些函数的值域要熟记.
③y=tanx+cotx∈(-∞,-2]∪[2,+∞).
例4 求下列函数的值域:
(2)y=3cos2x+4sinx
①x∈R;
④x是三有形的一个内角.
(3)y=cosx(sinx+cosx);
(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x).
若把上式中的sinx换成cosx,解法、答案均与上面相同.
sinx=0时,ymax=3,所以y∈[-4,3];
(5)解法一 将cos(50°+x)变为sin(40°-x),和差化积得
y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°,2cos10°].
解法二 用正弦、余弦的两角和与差的公式展开,得
y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)
=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx
=(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx
=2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx
=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°,2cos10°].
评述 以上是求三角函数值域的几种基本情况,它们的共同点在于,经过三角变换,都要转化为四种基本三角函数的值域.
求tanβ的最大值.
解 α为锐角,tanα>0,所以
3.三角函数的周期性
(1)对周期函数的定义,要抓住两个要点:
①周期性是函数的整体性质,因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时,非零常数T才是f(x)的周期.
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值.
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立,所以2kπ(k∈Z,k≠0)是y=sinx的周期,最小正周期是2π.
同理2kπ(k∈Z,k≠0)是y=cosx的周期,最小正周期是2π.
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立,所以kπ(k∈Z,k≠0)是y=tanx的周期,最小正周期是π.
同理kπ(k∈Z,k≠0)是y=cotx的周期,最小正周期是π.
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现,每一个三角函数,都有无数个递增或递减区间,这些递增区间互不连接,递减区间也互不连接.
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化.
③因为三角函数是周期函数,所以画三角函数图象时,只须画一个周期的图象即可.
例6 求下列函数的周期:
上式对定义域中任一个x成立,所以T=π;
4.三角函数的奇偶性,单调性
研究函数的单调性,关键是求函数的单调区间.
[ ]
A.② B.①②C.②③ D.①②③
原点不对称,所以函数①既非奇函数又非偶函数;②因为f(-x)=-f(x),所
但是周期函数,T=2π.因此选C.
评述 在判定函数是奇函数或是偶函数时,一定要注意函数的定义域,一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.因此对①,不能根据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数.
原来的函数既不是奇函数,也不是偶函数.因此在研究函数性质时,若将函数变形,必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数,
例8 给出4个式子:
①sin2>cos2>tan2;②sin2>sin3>sin4;③tan1>sin1>cos1;④cos1>cos2>cos3.正确的序号是______.
而(0,π)是y=cosx 的递减区间,所以④正确.
例9 函数y=-cosx-sin2x在[-π,π)的递增区间是______.
评述 研究函数的性质首先要注意函数的定义域.
[ ]
A.是增函数 B.是减函数
C.可以取得最大值M D.可以取得最小值-M
5.三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期,然后用五点法画出函数一个周期的图象.
(2)函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 图象的对称中心分别为
∈Z)的直线.
例12 画出下列函数在一个周期的图象:
解
(1)T=π.
如图10.
(2)T=2π.如图11.
[ ]
最大或最小值的即是,所以选A.
(4)三角函数图象的平移变换,伸缩变换.
一个周期的图象,则图象的解析式为______.
还可以这样研究:
二、综合题分析
例17 方程sinx=log20x根的个数是______.
分析 在同一坐标系中作出y=sinx、y=log20x的图象.
(2π,4π),(4π,6π)中,两图象分别有1个、2个、2个交点,因此方程根的个数为5个.
例18 已知函数y=sinx·cosx +sinx+cosx,求y的最大、最小值及取得最大、最小值时的x值.
解 令sinx+cosx=t.
(k∈Z)时,ymin=-1;
求:
(1)函数的取值范围;
(2)函数的递减区间.
解 sin3x·sin3x+cos3x·cos3x
实数.
π](k∈Z).
的最小正周期.
有一动点P,过P引平行于OB的直线交OA于Q,求△POQ面积的最大值及此时P点的位置.
解 如图13.
设∠POB=θ∈(0°,120°),则∠QPO=θ.
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2.设θ是第二象限角,则必有 [ ]
[ ]
A.y=tanx B.y=cos2x
4.函数f(cosC)=cos2C-3cosC,则f(sinC)的值域是 [ ]
5.
(1)函数y=cos(tanx)的定义域是______,值域是______;
(7)设a=tan48°+cot48°,b=sin48°+cos48°,c=tan48°+cos48°,d=cot48°+sin48°.将a,b,c,d从小到大排列的结果是______.
6.将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍,纵坐标不变,然
的图象完全相同,则函数y=f(x)的表达式是______.
7.
(1)已知sinα+sinβ=1,则cosα+cosβ的取值范围是______;
(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα,则sin2α+sin2β的取值范围是______.
8.求下列函数的周期:
(1)y=cot2x-cotx;
(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x.
9.求函数y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值.
11.设f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ),求使f(x)为偶函数的充分必要条件.
数a的取值范围.
实数m的取值范围.
答案提示
1.B 2.C 3.D 4.B
(3)奇函数,R
(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°>0,所以d>b;c-
7.
(1)设cosα+cosβ=x,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α
3]
11.sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)
cos(x+θ)-cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)
-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ
-sinθ=cosθ
14.设sinθ=t∈[0,1],题目变成t2-2mt+2m+1>0对t∈[0,1]
设计说明
三角函数的每一条性质都要求记忆和理解,每一个函数的图象也要求熟练掌握,因此在复习时,首先以一些小题为主,使学生把每一条性质都弄清楚.由于在研究性质时必然要涉及三角变换,而这一点对学生来说是难点,所以在复习时不要由于三角变换削弱了性质的复习.
在复习这部分内容时,应抓住核心的两点:
三角函数的图象和三角函数的周期性.