九年级数学+相似三角形的证明与性质及详细分析答案.docx

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九年级数学+相似三角形的证明与性质及详细分析答案

九年级数学相似三角形的证明与性质

一．选择题（共7小题）

1．（2014•南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：

S△ABC=（　　）

A．

1：

B．

2：

C．

1：

D．

1：

2．（2014•沈阳）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2014•宁津县模拟）将一副三角板如图叠放，则△AOB与△DOC的面积比是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（2014•桓台县模拟）如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2014•惠山区二模）如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，AD：

DC=1：

2，△ABC的面积是18，则△DEC的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　）

A．

2：

B．

2：

C．

4：

D．

：

7．（2014•崇明县一模）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过G作GE∥BC交AC于点E，如果AD=1，BC=3，GE：

BC等于（　　）

A．

1：

B．

1：

C．

1：

D．

2：

二．解答题（共13小题）

8．（2014•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，DE=2，BC=3，求的值．

9．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，

求证：

AB2=AD•AC．

10．（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．

11．（2014•厦门模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．

（1）若BC=8，求FD的长；

（2）若AB=AC，求证：

△ADE∽△DFE．

12．（2014•集美区一模）已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：

△ABC∽△DBE．

13．（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：

△ABD∽△CBE．

14．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：

△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

15．（2013•南充模拟）如图，已知矩形ABCD中，E为AD上一点，BE⊥CE．

（1）求证：

△EAB∽△CDE；

（2）若AB=3，AD=8，求AE的长．

16．（2013•宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为

（1）求证：

△BDF∽△DCF；

（2）求BC的长．

17．（2013•迎江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，CF⊥AB交AD于点G，F为垂足，

（1）求证：

△ACG∽△DBE；

（2）CD=BD，BC=2AC时，求．

18．（2014•南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．

（1）求证：

△ADE≌△CFE；

（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．

19．（2013•百色）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：

△ABF∽△ECF；

（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．

20．（2012•厦门）已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9

（1）求的值；

（2）若BD=10，求sin∠A的值．

九年级数学相似三角形的证明与性质

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2014•南平）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：

S△ABC=（　　）

A．

1：

B．

2：

C．

1：

D．

1：

考点：

分析：

在△ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是△ABC的中位线，即可证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答：

解：

∵△ABC中，AD、BE是两条中线，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DE=AB，

∴△EDC∽△ABC，

∴S△EDC：

S△ABC=（）2=．

故选：

D．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．

2．（2014•沈阳）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

常规题型．

分析：

由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．

解答：

解：

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∵BD=2AD，

∴=，

∵DE=5，

∴=，

∴BC=15．

故选：

C．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

3．（2014•宁津县模拟）将一副三角板如图叠放，则△AOB与△DOC的面积比是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

因为AB∥CD，所以△AOB∽△DOC．欲求它们的面积比，必须先求出它们的相似比，以BC为中间值，利用直角三角形的性质来得到AB、CD的比值，从而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得结果．

解答：

解：

∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD；

根据题意，AB=BC，CD=BC，即CD=AB；

∴=（）2=，故选C．

点评：

考查了相似三角形的性质：

面积比等于相似比的平方．

4．（2014•桓台县模拟）如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．

解答：

解：

如图所示，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴S△DEF：

S△BCF=（）2，

又∵E是AD中点，

∴DE=AD=BC，

∴DE：

BC=DF：

BF=1：

2，

∴S△DEF：

S△BCF=1：

4，

∴S△BCF=4，

又∵DF：

BF=1：

2，

∴S△DCF=2，

∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．

故选B．

点评：

本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF的面积．

5．（2014•惠山区二模）如图，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE∥AB，AD：

DC=1：

2，△ABC的面积是18，则△DEC的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

证△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质得出=（）2，代入求出即可．

解答：

解：

∵AD：

DC=1：

2，

∴CD：

CA=2：

3，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴=（）2=（）2=，

∵△ABC的面积是18，

∴△DEC的面积是8，

故选A．

点评：

本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：

相似三角形的面积比等于相似比的平方．

6．（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　）

A．

2：

B．

2：

C．

4：

D．

：

考点：

专题：

几何图形问题．

分析：

先求出△CBA∽△ACD，求出=，cos∠ACB•cos∠DAC=，得出△ABC与△DCA的面积比=．

解答：

解：

∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC

又∵∠B=∠ACD=90°，

∴△CBA∽△ACD

==，

AB=2，DC=3，

∴===，

∴=，

∵=

∴△ABC与△DCA的面积比为4：

9．

故选：

C．

点评：

本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=．

7．（2014•崇明县一模）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过G作GE∥BC交AC于点E，如果AD=1，BC=3，GE：

BC等于（　　）

A．

1：

B．

1：

C．

1：

D．

2：

考点：

分析：

由AD∥BC，GE∥BC，易证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=3，点G是BD的中点，根据相似三角形的对应边成比例，易得OG=OD，继而求得答案．

解答：

解：

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∵AD=1，BC=3，

∴OD：

OB=AD：

BC=1：

3，

∴OD=BD，

∵点G是BD的中点，

∴DG=BD，

∴OD=OG，

∵GE∥BC，

∴△OGE∽△OBC，

∴GE：

BC=OG：

OB=OD：

OB=1：

3．

故选B．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

二．解答题（共13小题）

8．（2014•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，DE=2，BC=3，求的值．

考点：

分析：

由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．

解答：

解：

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵DE=2，BC=3，

∴==．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

9．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，

求证：

AB2=AD•AC．

考点：

专题：

证明题．

分析：

利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出，整理得出答案即可．

解答：

证明：

∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

∴AB2=AD•AC．

点评：

此题考查相似三角形的判定与性质：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．④平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．⑤相似三角形的对应边成比例，对应角相等．

10．（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．

考点：

专题：

计算题．

分析：

由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长．

解答：

解：

在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴=，

∵AB=6，AD=4，

∴AC===9，

则CD=AC﹣AD=9﹣4=5．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

11．（2014•厦门模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．

（1）若BC=8，求FD的长；

（2）若AB=AC，求证：

△ADE∽△DFE．

考点：

分析：

（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，进而得出∠AED=∠F，即可得出FD=DE，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠C=∠AED=∠ADE，即可得出∠ADE=∠F，即可得出△ADE∽△DFE．

解答：

解：

（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴，DE∥BC．

∴∠AED=∠C．

∵∠F=∠C，

∴∠AED=∠F，

∴FD==4；

（2）∵AB=AC，DE∥BC．

∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，

∵∠AED=∠F，

∴∠ADE=∠F，

又∵∠AED=∠AED，

∴△ADE∽△DFE．

点评：

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．

12．（2014•集美区一模）已知：

如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：

△ABC∽△DBE．

考点：

专题：

证明题．

分析：

首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB：

AB的值，再计算出EB：

BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE．

解答：

证明：

∵在RT△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∴DB=AD﹣AB=15﹣10=5

∴DB：

AD=1：

2，

又∵EB=CE﹣BC=9﹣6=3，

∴EB：

BC=1：

2，

∴EB：

BC=DB：

AD，

又∵∠DBE=∠ABC，

∴△ABC∽△DBE．

点评：

本题考查了相似三角形的判定，常见的判定方法有：

（1）三边法：

三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（2）两边及其夹角法：

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：

有两组角对应相等的两个三角形相似．

13．（2013•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：

△ABD∽△CBE．

考点：

专题：

证明题；压轴题．

分析：

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．

解答：

证明：

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

点评：

本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对应相等的角是解题的关键．

14．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：

△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．

解答：

（1）证明：

∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

（2）解：

∵▱ABCD，∴CD=AB=8．

由

（1）知△ADF∽△DEC，

∴，∴DE===12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：

AE===6．

点评：

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．

15．（2013•南充模拟）如图，已知矩形ABCD中，E为AD上一点，BE⊥CE．

（1）求证：

△EAB∽△CDE；

（2）若AB=3，AD=8，求AE的长．

考点：

分析：

（1）根据“矩形的四个角都是直角”、“同角的余角相等”推知△EAB和△CDE中的对应角∠A=∠D=90°，∠ABE=∠DEC，则由相似三角形的判定定理可以证得结论；

（2）根据

（1）中的相似三角形的对应边成比例来求线段AE的长度．

解答：

（1）证明：

如图，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°．

∵BE⊥CE，

∴∠BEC=90°，

∴∠ABE=∠DEC，

∴△EAB∽△CDE；

（2）解：

如图，在矩形ABCD中，AB=CD=3．

由

（1）知，△EAB∽△CDE．则

=，即=，

解得，AE=4±．即AE的长度是4±．

点评：

本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质．解题时，利用了“矩形的四个角都是直角”、“矩形的对边相等”的性质．

16．（2013•宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为

（1）求证：

△BDF∽△DCF；

（2）求BC的长．

考点：

分析：

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；

（2）设DE=x，则AC=2x，DF=x+5．由

（1）可知△BDF∽△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到===tan∠B=，则BF=2（x+5），CF=（x+5），BC=BF﹣CF=（x+5），然后在直角△ABC中，根据tan∠B==，得到方程（x+5）=2×2x，解方程求得x=3，进而得到BC=12．

解答：

（1）证明：

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∵E是AC的中点，

∴DE=EC，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠ACB=90°，∠BDC=90°

∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，

∴∠ECD=∠B，

∴∠B=∠FDC，

又∵∠F=∠F，

∴△BDF∽△DCF；

（2）解：

设DE=x，则AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．

∵△BDF∽△DCF，

∴===tan∠B=，

∴BF=2DF=2（x+5），CF=DF=（x+5），

∴BC=BF﹣CF=（x+5），

在直角△ABC中，∵tan∠B==，

∴BC=2AC，即（x+5）=2×2x，

解得x=3

∴BC=（3+5）=12．

点评：

本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．

17．（2013•迎江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，CF⊥AB交AD于点G，F为垂足，

（1）求证：

△ACG∽△DBE；

（2）CD=BD，BC=2AC时，求．

考点：

分析：

（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，根据等角的余角相等，易证得∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，继而可证得△ACG∽△DBE；

（2）首先过点E作EH⊥BC于点H，易证得△BEH∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，可得EH：

AC=BH：

BC=DE：

AD，易证得△DEH是等腰直角三角形，则可求得BH：

BC=1：

3，则可求得答案．

解答：

（1）证明：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，

∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，∠ADC+∠BDE=90°，∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，

∴△ACG∽△DBE；

（2）解：

过点E作EH⊥BC于点H，

∵∠ACB=90°，

∴EH∥AC，

∴△BEH∽△BAC，

∴EH：

AC=BH：

BC=DE：

AD，

∴AC：

BC=EH：

BH，

∵CD=BD，BC=2AC，BC=CD+BD，

∴AC=CD=BD，

∴∠ADC=45°，

∵AD⊥DE，

∴∠EDH=45°，

∴DH=EH，

∴EH：

BH=AC：

BC=1：

2，

∴EH=DH=BH，

∴BH：

BC==，

即EH：

AC=1：

3，

∴=．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

18．（2014•南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．

（1）求证：

△AD

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