第四届华罗庚金杯少年数学比赛.docx
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第四届华罗庚金杯少年数学比赛
第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛
第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛
第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第一试
第四届华杯赛总决赛二试试题及解答
解答题（共6题，每题10分，写出解答过程）
1.如右图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点。
已知：
AO=1，并且
，那么OC的长是多少？
2.将
化成小数等于0.5，是个有限小数；将
化成小数等于0.090…，简记为
，是纯循环小数；将
化成小数等于0.1666……，简记为
，是混循环小数。
现在将2004个分数
，
，
，…，
化成小数，问：
其中纯循环小数有多少个？
3.计算
。
4.
表示一个十进制的三位数，若
等于由a，b，c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。
5.由
，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定360最多能表示为多少个互不相等的非零自然数的平方之和？
6.有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果。
他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13∶1，问最多有多少名小朋友？
第十届华杯赛决赛试题及解答
一、填空（每题10分，共80分）
1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：
公元历
2005
1985
1910
希伯莱历
5746
伊斯兰历
1332
印度历
1927
2．计算：
①18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13=（ ）; ②
=（ ）。
3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：
0和1。
一个字节由8个“位”组成，记为B。
常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B，1MB=1024KB。
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如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（ ）分钟。
（精确到分钟）
4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。
如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=（ ）。
5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（ ）。
6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（ ）平方米，体积是（ ）立方米。
7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。
现在将这列自然数排成以下数表：
0
3
8
15
…
1
2
7
14
…
4
5
6
13
…
9
10
11
12
…
…
…
…
…
…
规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（ ）行和第（ ）列。
8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（ ）平方厘米。
图2
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）
9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。
请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？
10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，
①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；
②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。
11．一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体。
求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。
12．A码头在B码头的上游，“2005号”遥控舰模从A码头出发，在两个码头之间往返航行。
已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水流的速度是每分钟40米。
出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并向B码头行驶。
求A码头和B码头之间的距离。
三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）
13．已知等式
其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值。
14．两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图4）。
如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？
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