全国卷2理科数学含答案.docx
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全国卷2理科数学含答案
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅱ卷）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合A={-2，-1，0，2}，B={x|（x-1）（x+2）＜0}，则A∩B=【A】
（A）{-1，0}（B）{0，1}（C）{-1，0，1}（D）{0，1，2}
（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=【B】
（A）-1（B）0（C）1（D）2
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：
万吨）柱形图，以下结论不正确的是【D】
A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.
C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.
D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.
1
1
1
1
（A）
（B）
（C）
（D）
8
7
6
5
7）过三点A
（1,3），B（4,2），
C（1,-7）
的圆交于
y轴于M、N两点，则
MN
=【C】
序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=【B】
（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为【C】
A．36πB.64πC.144πD.256π
（10）.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为【B】
120°，则E的离心率为【D】
A．5B．2C．3D．2
第Ⅱ卷
二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。
α=3
1（16）设Sn是数列{an}的前项和，且a11,an1snsn1，则Sn=n
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17）（本小题满分12分）
?
ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?
ABD是?
ADC面积的2倍。
1
解：
（Ⅰ）S△ABD＝2AB·ADsin∠BAD，
1
S△ADC＝2AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
2，
2，
（Ⅱ）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC及DC
所以BD＝2.
在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由（Ⅰ）知AB＝2AC，所以AC＝1.
（18）（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用
户对产品的满意度评分如下：
A地区：
62
73
81
92
95
85
74
64
53
76
78
86
95
66
97
78
88
82
76
89
B地区：
73
83
62
51
91
46
53
73
64
82
93
48
65
81
74
56
54
76
65
79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评
分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：
“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。
解：
（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下（画图注意数据不重不漏）：
16，4，10，8，
20，20，20，20，
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
（Ⅱ）记CA1表示事件：
“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：
“A地区用户的满意度等级为非常满意；”
CB1表示事件：
“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：
“B地区用户的满意度等级为满意”．
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
C＝CB1CA1∪CB2CA2，P（C）＝P（CB1CA1∪CB2CA2）＝P（CB1CA1）＋P（CB2CA2）＝P（CB1）P（CA1）＋P（CB2）P（CA2）．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为
P（C）＝10×16＋8×4＝0.48.
P（C）＝20202020
19）（本小题满分12分）
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值
解：
（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图①：
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH2－EM2＝6，所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图①所示的空间直角坐标系D－xyz，则
A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8），＝（10，0，0），＝（0，－6，8）．
设n＝（x，y，z）是平面EHGF的一个法向量，
所以可取n＝（0，4，3）．
又＝（－10，4，8），
故|cos〈n，〉|＝＝4155，
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为45.15
20）（本小题满分12分）
222
l与C有两个交点
已知椭圆C：
9xym（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，
A，B，线段AB的中点为M.
（Ⅰ）证明：
直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；
（m,m）
Ⅱ）若l过点3，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？
若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
解：
（Ⅰ）设直线l：
y＝kx＋b（k≠0，b≠0），
A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．
于是直线OM的斜率kOM＝y＝－9，即kOM·k＝－9.xMk
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（Ⅱ）四边形OAPB可以为平行四边形．理由如下：
因为直线l过点（m3，m），所以l不过原点与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
9
由（Ⅰ）得OM的方程为y＝－k9x.设点P的横坐标为xP.
将点（m3，m）的坐标代入l的方程得b＝m（33－k）
33
±kmk（k－3）m
于是3k2＋9＝2×3（k2＋9），
解得k1＝4－7，k2＝4＋7.
因为ki>0，ki≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB为平行四边形．
21）（本小题满分12分）
mx2
设函数f（x）emxx2mx
（Ⅰ）证明：
f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1,1]，都有｜f（x1）-f（x2）｜≤e-1，求m的取值范围．
解：
（Ⅰ）f′＝（x）m（emx－1）＋2x.（一般利用导函数正负判断函数单调性）
若m≥0，则当x∈（－∞，0）时，emx－1≤0，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，emx－1≥0，f（x）>0.
若m<0，则当x∈（－∞，0）时，emx－1>0，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，emx－1<0，f（x）>0.
所以，f（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m，f（x）在［－1，0］单调递减，在［0，1］单调递增，故f（x）在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈［－1，1］，|f（x1）－f（x2）|≤e－1的充要条件是f
（1）－f（0）≤e－1em－m≤e－1
，即－m.①
f（－1）－f（0）≤e－1e－m＋m≤e－1
设函数g（t）＝et－t－e＋1，则g′（＝t）et－1.
当t<0时，g′（t）<0；当t>0时，g′（t）>0故.g（t）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增．
又g
（1）＝0，g（－1）＝e－1＋2－e<0，
故当t∈［－1，1］时，g（t）≤0.
当m∈［－1，1］，g（m）≤0，g（－m）≤0，即①式成立；
当m>1时，由g（t）的单调性，g（m）>0，即em－m>e－1，不符题意；
当m<－1时，g（－m）>0，即e－m＋m>e－1，不符题意．
综上，m的取值范围是［－1，1］．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清
题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：
几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边
（Ⅰ）证明：
EF∥BC
解：
（Ⅰ）由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于E，F，
所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．
又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．
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