全国卷2理科数学含答案.docx

1、全国卷2理科数学含答案绝密 启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷）注意事项：1.本试卷分第卷 （选择题 ）和第卷 （非选择题 ）两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5页 .2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 .3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 .4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 .第卷一、选择题： 本大题共 12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的（1） 已知集合 A= -2，-1，0， 2，B=x|（x-1）（x+2）0，则 AB=【A】（A）-1，0 （B）0，1 （

2、C） -1，0，1 （ D）0，1，2（2） 若 a 为实数且（ 2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=【B】（A）-1 （B） 0 （C）1 （D）2（3） 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结 论不正确的是 【 D】A ） 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 .C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 .D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 .1111（A）（B）（C）（D）87657）过三点 A（1,3），B（4,2），C(1,-7)的

3、圆交于y 轴于 M、N 两点，则MN=【C】序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=【B】（9）已知 A,B是球 O 的球面上两点， AOB=90， C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体 积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 【 C】A 36 B.64 C.144 D.256 (10).如图，长方形 ABCD的边 AB=2，BC=1，O是 AB的中点，点 P沿着边 BC，CD与DA运 动，BOP=x.将动点 P到A，B两点距离之和表示为 x的函数 f(x)，则f(x)的图像大致为 【B】120 ，则 E 的离心率为 【D 】A 5 B2 C 3 D 2第卷二、填空

4、题本大题共四个小题，每小题 5 分。= 31 （16）设 Sn是数列 an的前项和，且 a1 1,an1 snsn1，则 Sn= n三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17 ）（本小题满分 12 分）? ABC中， D是BC上的点， AD平分 BAC，?ABD是?ADC面积的 2倍。1解：()SABD2ABADsinBAD ，1SADC 2AC AD sin CAD.因为 S ABD 2S ADC ， BAD CAD ，所以 AB 2AC.2，2，()因为 SABD SADC BD DC 及 DC所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理知 AB2AD2BD22AD

5、BDcosADB ，AC2AD 2 DC22ADDCcosADC.故 AB 2 2AC 23AD 2BD22DC26.由（）知 AB 2AC ，所以 AC1.（18） （本小题满分 12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：6273819295857464537678869566977888827689B 地区：7383625191465373648293486581745654766579（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出

6、具体值，得出结论即可） ；)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件 C： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”，假设两地区用户的评价 结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率。解： ()两地区用户满意度评分的茎叶图如下 (画图注意数据不重不漏 )：16， 4 ， 10， 8 ，20，20，20，20，通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均 值； A 地区用户满意度评分比较

7、集中， B 地区用户满意度评分比较分散()记 CA1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ；CA2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意； ”CB1 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” ；CB2表示事件： “ B 地区用户的满意度等级为满意” 则 CA1 与 CB1 独立， CA2 与 CB2 独立， CB1 与 CB2 互斥，CCB1CA1 CB2CA2 ， P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2)由所给数据得 CA1，CA2，CB1，CB2 发生的频率分别为P(C)101

8、6 840.48.P(C) 20 20 20 2019)(本小题满分 12 分)如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4， 过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值解： （）交线围成的正方形 EHGF 如图：（）作 EM AB，垂足为 M，则 AMA1E4，EMAA18.因为 EHGF 为正方形，所以 EHEF BC10.于是 MH EH 2EM 2 6，所以 AH10.以 D 为坐标原点，的

9、方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）， （10，0，0）， （0， 6，8）设 n（x，y， z）是平面 EHGF 的一个法向量，所以可取 n （0，4， 3）又 （10，4，8），故|cos n， | 4155，所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 4 5. 1520） （本小题满分 12 分）2 2 2l与 C有两个交点已知椭圆 C：9x y m （m0），直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴，A，B，线段 AB 的中点为 M.（ ） 证明：直线 OM 的斜率与的斜率的乘

10、积为定值；（m,m）若 l 过点 3 ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否平行四边行？若能， 求此时 l 的斜率；若不能，说明理由解： （）设直线 l： ykxb（k 0，b0），A（x 1， y1 ）， B（x 2 ，y2）， M（x M，yM）于是直线 OM 的斜率 kOMy 9，即 kOMk 9. xM k所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值（ ）四边形 OAPB 可以为平行四边形理由如下：因为直线 l 过点（m3 ， m），所以 l 不过原点与 C有两个交点的充要条件是 k0，k3.9由 （ ）得 OM 的方程为 y k9x. 设点 P 的横坐标为

11、xP.将点（m3 ，m）的坐标代入 l 的方程得 bm（33k）33km k（ k3）m于是3 k292 3（k29），解得 k14 7， k2 4 7.因为 ki0，ki 3，i 1，2，所以当 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四 边形21） （本小题满分 12 分）mx 2设函数 f （x） emx x2 mx（）证明： f（x）在（ -， 0）单调递减，在（ 0，+）单调递增；（ ）若对于任意 x1,，x2-1,1，都有 f（x1）- f（x2）e-1，求 m的取值范围解： （）f （x）m（emx1）2x.（一般利用导函数正负判断函数单调性 ）若 m0，则当

12、x（，0）时，emx10，f （x）0.若m0，f （x）0 ；当 x（0，）时，emx10.所以， f（x）在（， 0）单调递减，在 （0， ）单调递增()由()知，对任意的 m，f(x)在1，0单调递减，在 0， 1单调递增，故 f(x)在 x0 处 取得最小值所 以对于 任意 x1 ， x2 1 ， 1 ， |f(x1) f(x 2)| e 1 的充要条件是 f(1)f(0) e1 emme1，即 m . f( 1) f(0) e1 em me1设函数 g(t) ette1，则 g(t) et1.当 t0 时，g(t)0 时， g(t)0故. g(t)在( ， 0)单调递减，在 (0，

13、)单调递增又 g(1) 0，g(1)e12e1 时，由 g(t) 的单调性， g(m)0 ，即 em me 1，不符题意；当 m0，即 emme1，不符题意综上， m 的取值范围是 1，1请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。(22 )(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M 、N 两点，与底边 ( )证明： EF BC解：()由于 ABC是等腰三角形， ADBC， 所以 AD是 CAB的平分线又因为 O分别与 AB，AC相切于 E， F，所以 AE AF，故 AD EF.从而 EF BC.()由( )知，AEAF，ADEF， 故 AD是 EF 的垂直平分线又 EF为 O 的弦，所以 O在 AD上