当x1f（x2），那么就说函数
就说函数f（x）在区间A上是增加的
f（x）在区间A上是减少的
图象描述
自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的
2.单调区间的定义
如果函数y＝f（x）在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．
易误提醒求函数单调区间的两个注意点：
（1）单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．
（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，
不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
必记结论
1．单调函数的定义有以下若干等价形式：
设x1，x2∈[a，b]，那么
fx1－fx2
①>0?
f（x）在[a，b]上是增函数；
x1－x2
fx1－fx2
<0?
f（x）在[a，b]上是减函数．
x1－x2
②（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0?
f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0?
f（x）在[a，b]上是减函数．
2．复合函数y＝f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f（u）与u＝g（x）若具
有相同的单调性，则
y＝f[g（x）]为增函数，若具有不同的单调性，则
y＝f[g（x）]必为减函数．
[自测练习]
1．下列函数中，在区间
（0，＋∞）上单调递减的是（
）
1
2
A．f（x）＝x
B．f（x）＝（x－1）
C．f（x）＝ex
D．f（x）＝ln（x＋
1）
2．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是________．
－x2－ax－5，x≤1，
3．已知函数f（x）＝a
在R上为增函数，则a的取值范围是（）
x，x>1
A．[－3,0）
B．[－3，－2]
C．（－∞，－2]
D．（－∞，0）
知识点二
函数的最值
前提
设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f（x）≤M
对于任意x∈I，都有f（x）≥M
存在x0∈I，使得f（x0）＝M
存在x0∈I，使得f（x0）＝M
结论
M为最大值
M为最小值
易误提醒
在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性．
必备方法
求函数最值的五个常用方法
（1）单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
（2）图象法：
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
（3）换元法：
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
（4）基本不等式法：
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
（5）导数法：
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
[自测练习]
1
4．函数f（x）＝
1＋x2（x∈R）的值域是（
）
A．（0,1）
B．（0,1]
C．[0,1）
D．[0,1]
5．已知函数f（x）＝x2＋2x（－2≤x≤1且x∈Z），则f（x）的值域是（）
A．[0,3]
B．[－1,3]
C．{0,1,3}
D．{－1,0,3}
考点一函数单调性的判断|
1．下列四个函数中，在
（0，＋∞）上为增函数的是（）
A．f（x）＝3－x
B．f（x）＝x2－3x
1
C．f（x）＝－x＋1
D．f（x）＝－|x|
给出解析式函数单调性的两种判定方法
1．定义法（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）．
2．导数法（基本步骤为求定义域、求导、变形、判断）．
考点二函数的单调区间的求法|
求下列函数的单调区间：
（1）y＝－x2＋2|x|＋1；
（2）y＝log1（x2－3x＋2）．
2
函数单调区间的四种求法
（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
（2）定义法：
先求定义域，再利用单调性定义．
（3）图象法：
如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性
写出它的单调区间．
（4）导数法：
利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
函数y＝|x|（1－x）在区间A上是增函数，那么区间
A是（）
A．（－∞，0）
B.
0，1
2
1
C．[0，＋∞）
D.
2，＋∞
考点三函数单调性的应用|
函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探
究角度有：
1．求函数的值域或最值．
2．比较两个函数值或两个自变量的大小．
3．解函数不等式．
4．求参数的取值范围或值．
探究一求函数的值域或最值
1．（2015高·考浙江卷）已知函数
x＋
2－3，x≥1，
f（x）＝
x
则f（f（－3））＝________，f（x）
lgx2＋1
，x<1，
的最小值是________．
探究二
比较两个函数值或两自变量的大小
2
1
，若x1
2
2．已知函数f（x）＝log
x＋1－x
∈（1,2）
，x∈（2，＋∞），则（）
A．f（x）<0，f（x）<0
B．f（x）<0，f（x）>0
1
2
1
2
C．f（x1）>0，f（x2）<0
D．f（x1）>0，f（x2）>0
探究三
解函数不等式
x3，x≤0，
3．（2015西·安一模）已知函数f（x）＝若f（2－x2）>f（x），则实数x的取值
lnx＋1，x>0，
范围是（）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
C．（－1,2）
D．（－2,1）
探究四利用单调性求参数的取值范围
2－ax＋1x<1，
满足对任意
x12
4．（2015江·西新余期末质检
）已知
f（x）＝
≠x，都有
axx≥1
fx
－fx
2
1
x1－x2
>0成立，那么a的取值范围是（）
3，2
3
A.2
B.1，2
C．（1,2）
D．（1，＋∞）
函数单调性应用问题的四种类型及解题策略
（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号
脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
（3）利用单调性求参数．
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调
区间比较求参数；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
（4）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式
【典例】（12分）函数f（x）对任意a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，且当x>0时，
有f（x）>1.
（1）
求证：
f（x）是R上的增函数；
（2）
若f（4）＝5，解不等式f（2t－1）－f（1＋t）<2.
[思路点拨]
（1）用单调性的定义证明抽象函数的单调性；
（2）结合题意，将含“f”的不等
式f（2t－1）－f（1＋t）<2转化为f（m）
[模板形成]
A组考点能力演练
1．（2015
吉·林二模）下列函数中，定义域是
R且为增函数的是（）
－
B．y＝x
A．y＝e
x
C．y＝lnx
D．y＝|x|
2．（2015
·南信阳期末调研河
）下列四个函数：
1
①y＝3－x；②y＝x2＋1；
－x
x≤0，
③y＝x2＋2x－10；④y＝
1
－x
x>0.
其中值域为R的函数有（
）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．若函数f（x）＝－x2＋2ax与函数g（x）＝a在区间[1,2]上都是减函数，则实数
a的取
x＋1
值范围为（）
A．（0,1）∪（0,1）
B．（0,1）∪（0,1]
C．（0,1）
D．（0,1]
x2－4x＋3，x≤0，
）
4．已知函数f（x）＝
则不等式f（a2－4）>f（3a）的解集为（
－x2－2x＋3，x>0，
A．（2,6）
B．（－1,4）
C．（1,4）
D．（－3,5）
fx
5．（2016浦·东一模）如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数，且函数y＝x
在区间I上是减函数，那么称函数
y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间
I叫作“缓增区间”．若函数f（x）＝
1
2－x＋3是区间I上的“缓增函数”，则
2x
2
“缓增区间”I为（）
A．[1，＋∞）
B．[0，3]
C．[0,1]
D．[1，3]
fx2－fx1
6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有
x2－x1
<0，则f（3），f（－2），f
（1）的大小关系为________．
1，x>0，
7．设函数f（x）＝0，x＝0，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减区间是________．
－1，x<0，
8．（2015长·春二模）已知函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，则a的取值范围
是________．
9．已知f（x）＝x（x≠a）．
x－a
（1）
若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）上单调递增；
（2）
若a>0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求
a的取值范围．
1
10．已知函数g（x）＝x＋1，h（x）＝，x∈（－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f（x）
＝g（x）·h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a＝1时，求函数f（x）的值域．
4
B组高考题型专练
1．（2014
高·考北京卷）下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（）
A．y＝x＋1
B．y＝（x－1）2
C．y＝2
－x
D．y＝log0.5（x＋1）
2．（2013
高·考安徽卷）“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）内单调递增”
的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
－x＋6，x≤2，
3．（2015·考福建卷高）若函数f（x）＝（a>0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），
3＋logax，x>2
则实数a的取值范围是________．
4．（2015·考湖北卷高）a为实数，函数f（x）＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g（a）．当a＝________时，g（a）的值最小．
1
1.解析：
根据函数的图象知，函数f（x）＝x在（0，＋∞）上单调递减，故选A.答案：
A
1
2.解析：
要使y＝log5（2x＋1）有意义，则2x＋1>0，即x>－2，而y＝log5u为（0，＋∞）
11
上的增函数，当x>－2时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是－2，＋∞.答案：
－12，＋∞
3.解析：
要使函数在R上是增函数，
－a2≥1，
则有a<0，
－1－a－5≤a，
解得－3≤a≤－2，即a的取值范围是[－3，－2]．答案：
B
4.解析：
因为1＋x2≥1,0<
1
≤1，所以函数值域是（0,1]，选B.答案：
B
1＋x2
5.解析：
依题意，f（－2）＝f（0）＝0，f（－1）＝－1，f
（1）＝3，因此
f（x）的值域是{－1,0,3}，
选D.答案：
D
1.解析：
当x>0时，f（x）＝3－x为减函数；
3
当x∈0，2时，f（x）＝x2－3x为减函数，
当x∈32，＋∞时，f（x）＝x2－3x为增函数；
当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－1为增函数；x＋1
当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．故选C.答案：
C
－2x
2．判断函数g（x）＝在（1，＋∞）上的单调性．
x－1
2.解：
法一：
定义法
任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1
－2x
1
－2x
2
2x－x
1
2
则g（x1）－g（x2）＝－
＝
，
x1－1x2－1
x1－1x2－1
因为1，
所以x1－x2<0，（x1－1）（x2－1）>0，
因此g（x1）－g（x2）<0，即g（x1）
故g（x）在（1，＋∞）上是增函数．法二：
导数法
－2x－1
＋2x
2
∵g′（x）＝
＝
x－12>0，
x－1
2
∴g（x）在（1，＋∞）上是增函数．
1.[解]
（1）由于
－x2＋2x＋1，x≥0，
y＝
－x2－2x＋1，x<0，
－x－12＋2，x≥0，
即y＝
－x＋12＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．
2.
（2）令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作
1
的复合函数．
y＝logu与u＝x2－3x＋2
2
令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.
1
∴函数y＝log2（x2－3x＋2）的定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）．
又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2在（－∞，1）上是单调减函数，在（2，＋∞）上是单调增函数．
1
而y＝log2u在（0，＋∞）上是单调减函数，
∴y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间为
2
（2，＋∞），单调递增区间为
（－∞，1）．
解析：
y＝|x|（1－x）
x1－xx≥0，－x2＋xx≥0，
＝＝
－x1－xx<0x2－xx<0
11
－x－22＋4x≥0，
＝
x－12－1x<0.
24
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在
1
0，2上单调递增．
答案：
B
1.解析：
由题知，
f（－3）＝1，f
（1）＝0，即f（f（－3））＝0.又
f（x）在（－∞，0）上单调递减，在
（0,1）上单调递增，在（1，
2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，所以
f（x）min＝min{f（0），
f
（2）}＝22－3.
答案：
0
22－3
1
2.解析：
∵函数f（x）＝log2x＋在（1，＋∞）上为增函数，且f
（2）＝0，
1－x
∴当x1∈（1,2）时，f（x1）（2）＝0，
当x2∈（2，＋∞）时，f（x2）>f
（2）＝0，
即f（x1）<0，f（x2）>0.
答案：
B
3.解析：
∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲
线．∵当x≤0时，函数f（x）＝x3为增函数，当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）也是增函数，且当x1<0，
x2>0时，f（x1）R上的增函数．因此，不等式
f（2－x2）>f（x）等价于
2
－x2>x，即
x2＋x－2<0，解得－
2D.
答案：
D
2－a>0，
4.解析：
依题意，
f（x）是在
R上的增函数，于是有
a>1，
3
解得2≤a<2，
2－a×1＋1≤a1.
故选A.
答案：
A
[规范解答]
（1）证明：
设x1，x2∈R且x10，
∴f（x2－x1）>1.（2分）
根据条件等式有
f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1>0，
∴f（x1）
（2）由f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，得f（a＋b）－f（a）＝f（b）－1，
∴f（2t－1）－f（1＋t）＝f（t－2）－1，（8分）
∴f（2t－1）－f（1＋t）<2，即f（t－2）－1<2，
∴f（t－2）<3.
又f（2＋2）＝f
（2）＋f
（2）－1＝5，∴f
（2）＝3，
∴f（t－2）<3＝f
（2）．（10分）
∵f（x）是R上的增函数，
∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为（－∞，4）．（12分）
1.解析：
因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选
答案：
B
B.
－x
x≤0
，
2.解析：
依题意，注意到
y＝3－x与函数
y＝
1
－x
x>0
的值域均是
R，函数
y＝
1的值域是（0,1]，函数y＝x2＋2x－10＝（x＋1）2－11的值域是[－11，＋∞），因此选B.x2＋1
答案：
B
a≤1，
3.解析：
注意到f（x）＝－（x－a）2＋a2；依题意得即0a>0，
答案：
D
4.解析：
作出函数f（x）的图象，如图所示，则函数f（x）在R上是单调递减的．由f（a2－
4）>f（3a），可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即（a＋1）（a－4）<0，解得－1
等式的解集为（－1,4）．
答案：
B
1
2
－x＋
3
x＝1，所以函数
y＝f（x）在区间[1，＋∞）
5.解析：
因为函数
f（x）＝2x
2
的对称轴为
fx
1
3
1
3
13
上是增函数，又当x≥1
时，x
＝2x－1＋2x，令g（x）＝2x－1＋2x（x≥1），则g′（x）＝2－2x2
x2－3
fx
1
3
＝2x2，由g′（x）≤0得1≤x≤3，即函数x＝2x－1＋2x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，3]．
答案：
D
6.解析：
由x1，x2∈（0，＋∞）时，
fx2－x1
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