初中数学第十九章 一次函数教案人教版.docx

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初中数学第十九章一次函数教案人教版

第十九章　一次函数

19.1　函数/47

19.1.1　变量与函数/47

第1课时　变量/47

第2课时　函数/49

19.1.2　函数的图象/51

19.2　一次函数/54

19.2.1　正比例函数/54

19.2.2　一次函数/56

第1课时　一次函数/56

第2课时　求一次函数的表达式/59

19.2.3　一次函数与方程、不等式/61

19.3　课题学习　选择方案/63

第十九章　一次函数

主题

一次函数

课型

新授课

上课时间

教学内容

19.1函数;19.1.1变量与函数;19.1.2函数的图象;19.2一次函数;19.2.1正比例函数;

19.2.2一次函数;19.2.3一次函数与方程、不等式;19.3课题学习　选择方案

教材分析

本章是在前面学习了利用方程知识来解决实际问题的基础上,进一步学习变量之间的关系,让学生初步体会函数的概念,进而研究其中最为简单的一种函数——一次函数.通过对一次函数的剖析,使学生了解函数的有关性质和研究方法,并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.

教学目标

1.知识与技能

（1）了解常量、变量的意义和函数的概念,了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）,能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.

（2）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.

（3）能根据已知条件确定它们的表达式,会画它们的图象,能结合图象讨论这些函数的增减变化,能利用这些函数分析和解决简单实际问题.

（4）以选择方案为问题情境,进一步体会建立数学模型的方法与作用,提高综合运用函数知识和解决实际问题的能力.

2.过程与方法

（1）以实际问题为情境,引出正比例函数和一次函数的概念、图象和增减变化规律.

（2）通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已学过的方程等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.

3.情感、态度与价值观

以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立函数模型表示变量之间的对应关系,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.

教学

重难点

重点:

一次函数的概念、图象、性质及其应用.

难点:

对函数的意义的理解,函数的表示方法以及利用函数分析和解决实际问题.

知

识

结

构

课题

变量与函数

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）认识变量、常量.

（2）学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

2.过程与方法

（1）经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点.

（2）逐步感知变量间的关系.

3.情感、态度与价值观

（1）积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.

（2）形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

教学重

难点

重点:

（1）认识变量、常量.

（2）用式子表示变量间关系.

难点:

用含有一个变量的式子表示另一个变量.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

情景问题:

一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米.行驶时间为t小时.

1.请同学们根据题意填写下表:

t/小时

1

2

3

4

5

s/千米

2.在以上这个过程中,变化的量是　　　　.不变的量是　　　　.

3.试用含t的式子表示s.

通过本节课的学习,相信大家一定能够解决这些问题.

探索新知

合作探究

自学指导

自学课本,尝试完成课本练习.

合作探究

探究内容设计:

1.每张电影票售价为10元,如果早场售出票150张,日场售出205张,晚场售出310张.三场电影的票房收入各多少元.设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?

2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度?

教师:

引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.

学生:

在教师的启发引导下,经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论.

续表

探索新知

合作探究

通过上述探究活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,那么数值始终不变的量称之为常量.

教师指导

1.归纳小结:

在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.

2.方法规律:

（1）变量和常量往往是相对的,相对于某个变化过程,在不同研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的.

（2）常量、变量与字母的指数没有关系,如S=πr2中,不能说自变量是r2.

当堂训练

1.分别指出下列各式中的常量与变量.

（1）圆的面积公式S=πr2;

（2）正方形的周长:

l=4a;

（3）大米的单价为2.50元/千克,则购买的大米的数量x（kg）与金额y的关系为y=2.5x.

2.写出下面问题的关系式,并指出常量和变量.

如图,每个图中是由若干个盆花组成的图案,每条边（包括两个顶点）有n盆花,每个图案的花盆总数是S,求S与n之间的关系式.

板书设计

变量

1.什么是常量

2.什么是变量

3.常量与变量的区分

教学反思

课题

变量与函数

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.

（2）进一步理解掌握确定函数关系式.

（3）会确定自变量取值范围.

2.过程与方法

（1）经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力.

（2）通过从图或表格中寻找两个变量间的关系,提高识图及读表能力,体会函数的不同表达方式.

3.情感、态度与价值观

（1）积极参与活动、提高学习兴趣.

（2）形成合作交流意识及独立思考的习惯.

教学重

难点

重点:

1.进一步掌握确定函数关系的方法.

2.确定自变量的取值范围.

难点:

认识函数、领会函数的意义.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如图,水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆,它的面积随着半径的变化而变化;随着半径的确定而确定.

在上述例子中,每个变化过程中的两个变最.当其中一个变量变化时,另一个变量也随着发生变化;当一个变量确定时,另一个变量也随着确定.

你能举出一些类似的实例吗?

从今天开始,我们就研究和此有关的问题——函数.

探索新知

合作探究

自学指导

自学课本,尝试完成课本练习

合作探究

我们来看下面的问题,通过观察、思考、讨论后回答:

如图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?

续表

探索新知

合作探究

我们通过观察不难发现在上述问题的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应.

一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

据此我们可以认为:

上节情景问题中时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,t=2.5时的函数值s=150,…,同样地,在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏部位的生物电流y是x的函数.

从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.

教师指导

1.归纳小结:

函数:

一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

2.方法规律:

对函数概念的理解,主要应该抓住以下三点:

①有两个变量.②一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化.③自变量每确定一个值,函数有一个并且只有一个值与之对应（但可以有多个自变量数值对应一个函数值）.

当堂训练

1.下列问题中哪些量是自变量?

哪些量是自变量的函数?

试写出用自变量表示函数的式子.

（1）改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.

（2）秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.

2.一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.

（1）写出表示y与x的函数关系式.

（2）指出自变量x的取值范围.

（3）汽车行驶200km时,油桶中还有多少汽油?

板书设计

函数

1.函数的概念

2.函数自变量的取值范围

3.函数值

教学反思

课题

函数的图象

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）学会用列表、描点、连线画函数图象.

（2）学会观察、分析函数图象信息.

2.过程与方法

（1）提高识图能力、分析函数图象信息能力.

（2）体会数形结合思想,并利用它解决问题,提高解决问题能力.

3.情感、态度与价值观

（1）体会数学方法的多样性,提高学习兴趣.

（2）认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识.

教学重

难点

重点:

1.函数图象的画法.

2.观察分析图象信息.

难点:

分析概括图象中的信息.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

在太阳和月球引力的影响下,海水定时涨落的现象称为潮汐.如图是我国某港某天0时到24时的实时潮汐图.

图中的平滑曲线,如实记录了当天每一时刻的潮位,揭示了这一天里潮位y（m）与时间t（h）之间的函数关系.

本节课我们就研究函数图象.

探索新知

合作探究

自学指导

我们先来看这样一个问题:

正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?

其中自变量x的取值范围是什么?

计算并填写表格:

x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

S

独立思考一下,表示x与S的对应关系的点有多少个?

如果全在坐标中指出的话是什么样子?

可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看.

得出结论:

这样的点有无数多个,如果全描出来太麻烦,也不可能.我们只能描出其中一部分,然后想象出其他点的位置,用光滑曲线连接起来.这样我们就得到了一幅表示S与x关系的图.图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系.如点（2,4）表示x=2时S=4.

续表

探索新知

合作探究

一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.

函数图象可以通过数形结合来研究函数,给我们带来便利.

合作探究

探究一:

如图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息?

教师引导学生从两个变量的对应关系上认识函数,体会函数意义;可以指导学生找出一天内最高、最低气温及时间;在某些时间段的变化趋势;认识图象的直观性及优缺点;总结变化规律…….学生在教师引导下,积极探寻,合作探究,归纳总结.

探究二:

如图反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.

根据图象探究下列问题:

（1）菜地离小明家多远?

小明走到菜地用了多少时间?

（2）小明给菜地浇水用了多少时间?

（3）菜地离玉米地多远?

小明从菜地到玉米地用了多少时间?

（4）小明给玉米地锄草用了多长时间?

（5）玉米地离小明家多远?

小明从玉米地走回家平均速度是多少?

教师引导学生分析图象、寻找图象信息,特别是图象中有两段平行于x轴的线段的意义.学生在教师引导下,积极思考、大胆参与、探求答案.

探究三:

我们通过以上两个活动已学会了如何观察分析图象信息,那么已知函数关系式,怎样画出函数图象呢?

例:

在下列式子中,对于x的每个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.请画出下列函数的图象.

（1）y=x+0.5;

（2）y=

（x>0）.

总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤:

第一步:

列表.在自变量取值范围内选定一些值.通过函数关系式求出对应函数值列成表格.

第二步:

描点.在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数值为纵坐标,描出表中对应各点.

续表

探索新知

合作探究

第三步:

连线.按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连接起来.

教师指导

1.归纳小结:

函数的图象:

一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.

2.方法规律:

（1）函数图象上的点（x,y）与函数自变量x及对应函数值y的关系:

函数图象上任意一点P（x,y）中的x和y的值满足函数关系式;满足函数关系式的x与y构成的点（x,y）必定在函数图象上;

（2）判断点（x,y）是否在函数图象上的方法是:

将点的坐标（x,y）代入函数关系式,即自变量等于横坐标x,函数值等于纵坐标y,如果满足函数关系式,则这个点就在函数图象上,否则这个点就不在函数图象上.

当堂训练

1.在下雨天放置一个无盖的容器,如果雨水均匀地落入容器,容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示,那么这个容器的形状可能是（　　）

2.“珍重生命,注意安全!

”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全.小明骑单车上学,当他骑了一段时,想起要买某本书,于是又折回到刚经过的新华书店,买到书后继续去学校,以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:

（1）小明家到学校的路程是多少米?

（2）小明在书店停留了多少分钟?

（3）本次上学途中,小明一共行驶了多少米?

一共用了多少分钟?

（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度.问:

在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快,速度在安全限度内吗?

板书设计

函数的图象

1.函数图象的意义

2.函数图象的应用

教学反思

课题

19.2.1　正比例函数

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）认识正比例函数的意义.

（2）掌握正比例函数解析式的特点.

（3）理解正比例函数图象性质及特点.

（4）能利用所学知识解决相关实际问题.

2.过程与方法

通过现实生活中的具体事例引入正比例函数,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.

3.情感、态度与价值观

培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯,同时渗透热爱大自然和生活的教育.

教学重

难点

重点:

1.理解正比例函数意义及解析式特点.

2.掌握正比例函数图象的性质特点.

3.能根据要求完成转化,解决问题.

难点:

正比例函数图象性质特点的掌握.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它（每月按30天计算）.

这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间可以用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.

类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?

我们这节课就来学习.

探索新知

合作探究

自学指导

首先思考下面一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?

这些函数有什么共同特点?

1.圆的周长C随半径r的大小变化而变化.

2.铁的密度为7.8g/cm3.铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化.

3.每个练习本的厚度为0.5cm.一些练习本摞在一起的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化.

4.冷冻一个0℃的物体,使它每分钟下降2℃.物体的温度T（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化.

观察以上函数关系式,不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=200x的形式一样.

一般地,形如y=kx（k是常数,k≠0）的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢?

续表

探索新知

合作探究

合作探究

探究一:

画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.

（1）y=2x;

（2）y=-2x.

探究设计意图:

通过探究,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.

探究二:

经过原点与点（1,k）的直线是哪个函数的图象?

画正比例函数的图象时,怎样画最简单?

为什么?

探究设计意图:

通过这一探究,让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系,完成由图象到关系式的转化,进一步理解数形结合思想的意义,并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.

教师指导

1.归纳小结:

（1）正比例函数y=kx（k≠0）必须满足两个条件:

一是自变量x的次数是1,二是比例系数k不等于0.

（2）正比例函数的性质

k>0

k<0

性质

①图象在第一、三象限;

②y随x的增大而增大

①图象在二、四象限;

②y随x的增大而减小

③自变量x的取值范围是全体实数;

④正比例函数y=kx中,|k|越大,直线y=kx越靠近y轴,即直线与x轴正半轴的夹角越大;|k|越小,直线y=kx越靠近x轴,即直线与x轴正半轴的夹角越小

2.方法规律:

（1）要确定正比例函数y=kx（k≠0）的解析式,只要知道图象上的一点.

（2）有关函数增减性的问题,除了利用性质解决外,还可以通过画草图来解决.

当堂训练

1.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是（　　）

（A）y=

（B）y=x+2（C）y=x2（D）y=2x

2.若函数y=（m-3）x|m|-2是正比例函数,则m值为（　　）

（A）3（B）-3（C）±3（D）不能确定

3.已知正比例函数y=kx图象经过点（3,-6）,求:

（1）这个函数的解析式;

（2）判断点A（4,-2）是否在这个函数图象上;

（3）图象上两点B（x1,y1）,C（x2,y2）,如果x1>x2,比较y1,y2的大小.

板书设计

正比例函数

1.正比例函数的图象　　　　　2.正比例函数的性质

3.正比例函数解析式的确定

教学反思

课题

19.2.2　一次函数

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

（1）知道一次函数与正比例函数关系.

（2）理解一次函数图象特征与解析式的联系规律.

（3）会用简单方法画一次函数图象.

2.过程与方法

通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法多样性.

3.情感、态度与价值观

利用数形结合思想,进一步分析一次函数与正比例函数的联系,从而提高比较鉴别能力.

教学重

难点

重点:

1.一次函数解析式特点.

2.一次函数图象特征与解析式联系规律.

3.一次函数图象的画法.

难点:

1.一次函数与正比例函数关系.

2.一次函数图象特征与解析式的联系规律.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

问题:

某登山队大本营所在地的气温为15℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.

分析:

从大本营向上当海拔每升高1km时,气温从15℃就减少6℃,那么海拔增加xkm时,气温从15℃减少6x℃.因此y与x的函数关系式为:

y=15-6x（x≥0）

当然,这个函数也可表示为:

y=-6x+15（x≥0）

这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?

它的图象又具备什么特征?

我们这节课将学习这些问题.

探索新知

合作探究

自学指导

我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?

它们又有什么共同特点?

1.有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关,即C的值约是t的7倍与35的差.

2.一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值.

3.某城市的市内电话的月收费额y（元）包括:

月租费22元,拨打电话x分钟的计时费（按0.01元/分钟收取）.

续表

探索新知

合作探究

4.把一个长10cm,宽5cm的矩形的长减少xcm,宽不变,矩形面积y（cm2）随x的值而变化.

这些问题的函数解析式分别为:

（1）C=7t-35;

（2）G=h-105;

（3）y=0.01x+22;（4）y=-5x+50.

它们的形式与y=-6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.

如果我们用b来表示这个常数的话.这些函数形式就可以写成:

y=kx+b（k≠0）.

一般地,形如y=kx+b（k,b是常数,k≠0）的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

合作探究

探究一:

画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.并比较两个函数图象,探究它们的联系及解释原因.

通过探究,加深对一次函数与正比例函数关系的理解,认清一次函数图象特征与解析式联系规律.

教师:

引导学生从图象形状,倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象,从而认识两个图象的平移关系,进而了解解析式中k,b在图象中的意义,体会数形结合在实际中的表现.

结论:

一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移）.

画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.

过（0,-1）点与（1,1）点画出直线y=2x-1.

过（0,1）点与（1,0.5）点画出直线y=-0.5x+1.

探究二:

画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象.由它们联想:

一次函数解析式y=kx+b（k,b是常数,k≠0）中,k的正负对函数图象有什么影响?

通过探究,熟悉一次函数图象画法.经历观察发现图象的规律,并根据它归纳总结出关于数值大小的性质.体会数形结合的探究方法在数学中的重要性,进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.归纳小结:

一次函数和正比例函数的概念

一次函数:

一般地,形如y=kx+b（k,b为常数,且k≠0）的函数,叫做一次函数,其中x是自变量,y是x的函数.

特别地,当b=0时,y=kx（k为常数,且k≠0）,y叫做x的正比例函数.由此可以看出,正比例函数是一种特殊的一次函数.

2.方法规律:

（1）如果一个函数是一次函数,则含有自变量x的式子是一次的,系数k不等于0,而b可以为任意实数.

（2）自