指数与指数函数知识点.docx
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指数与指数函数知识点
指数函数
（一）整数指数幂
1•整数指数幕概念：
n
aaa、k；a（nN）
n个a
a0=1a=0
1
a』na=0,nN
a
2.整数指数幕的运算性质：
（1）ama^amnm,n・Z
/c、/mnmn_v
（2）aam,nZ
（3）（ab）n=anbn（Z）
』nn
-Ktm・nm_nm_niaJ,n._na
其中a^a=aa=a，一丨=（ab）=ab=r.
lb丿b
3.a的n次方根的概念
一般地，如果一个数的n次方等于an•1,n•N”，那么这个数叫做a的n次方根，即：
若xn=a，则x叫做a的n次方根，n-1,n•N
例如：
27的3次方根‘27=3，-27的3次方根3-27=「3，
32的5次方根■.32=2，—32的5次方根•--32=-2.
说明：
①若n是奇数，则a的n次方根记作Va；若a》0则>0，若avo则FacO;
2若n是偶数，且a>0则a的正的n次方根记作n，，a,a的负的n次方根，记作：
-n.a;（例如：
8的平方根一.8=2、216的4次方根一416二2）
3若n是偶数，且a：
：
：
0则na没意义，即负数没有偶次方根；
④00n=0（n>1,n^N1"）
V0=0；
a叫被开方数。
•••（=a.
⑤式子叮a叫根式，
n叫根指数，
4.a的n次方根的性质
一般地，若n是奇数，
贝V2an=a；
若n是偶数,
贝U=<
a—“
aa兰0
、—aacO
（二）分数指数幕
1•分数指数幕：
菁二
10
12
2飞*、
：
a=a5（a：
>0）
3/124
Va=a
=a3（a>0）
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幕的形式;knkn
如果幕的运算性质
（2）aki；-akn对分数指数幕也适用，
例如：
若a0，则
2
3a2=a3
4
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幕的形式。
m
规定：
（1）正数的正分数指数幕的意义是
an=：
ama0,m,nN,n1；
（2）正数的负分数指数幕的意义是
m11
a"m「ma°，m,nN,n.1•a〒na
2.分数指数幕的运算性质：
整数指数幕的运算性质对于分数指数幕也同样适用
即（1jara$=ar卡（anO,r,s€Q）
rsrs
2aaa0,r,sQ
rrr
3abi；-aba0,b0,r：
二Q
说明：
（1）有理数指数幕的运算性质对无理数指数幕同样适用；
（2）0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没意义。
二、指数函数
1•指数函数定义:
般地，函数y=ax（a0且a=1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.
2•指数函数y二ax在底数a1及0：
：
：
a：
：
：
1这两种情况下的图象和性质:
函数名
称
指数函数
定义
函数y=ax（a>0且a工1）叫做指数函数
图象
a>1/
\0cac1
y」
y=1
7y=a,/
（0,1）
\y=ax"
\y
（0,1）
O
x
O
x
定义域
R
值域
（0,+%）
过定点
图象过定点（0,1）,
即当x=0时，y=1.
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
函数值
的
y>1（x>0）,y=1（x=0）,0vyv1（xv0）
y>1（xv0）,y=1（x=0）,0vyv1（x>0）
变化情
况
a变化
在第一象限内，a越大图象越咼，越
在第一象限内，a越小图象越咼，越靠
对
靠近y轴；
近y轴；
图象影
在第二象限内，a越大图象越低，越
在第二象限内，a越小图象越低，越靠
响
靠近x轴.
近X轴.
1.1实数指数幕及其运算
（一）
（一）选择题
1.下列正确的是（）
0
_21
—1
~2
A.a=1
B.a2
C.10=0.1
D.、aa
a
4
2..16的值为（
）
A.±2
B.2
C.—2
D.
4
125|企
3.（）3的值为（
27
）
25
9
25
9
A.
B.
C.—
D.
—
9
25
9
25
3,
55
4.化简a2、a5a
2a6的结果是（
）
2
A.a
B.a3
C.a2
D.
3a
（二）填空题
5•把下列根式化成分数指数幕的形式（其中a,b>0）
13阳
（1｝膏二—（2"'=—
39r
7.化简Ym2m2=
11
&（0.25）°5（丄）飞-625°.25=
27
（三）解答题
11“12
1•
9.计算2a4b3（-一a4b3）
4
36—
10•计算23.1.5.12
1.2实数指数幕及其运算
（二）
（一）选择题（每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的）
1.下列说法正确的是（n€N）（）
A.正数的n次方根是正数
B.负数的n次方根是负数
C.0的n次方根是0
n—
D.a是无理数
3—21
yx—3的定义域为（
Vx
A.
R
B.[0,+s）
12
8
3.
（X3x3）
5可以简化为（）
1
2
A.
X飞
B.x5
2•函数
2
2-33
xxx
4.化简一18的结果是（）
C.
（0,+s）
D.
（-m,1]
4
4
C.
x亦
D.
x第
x3x^x3
4
A.x3B.x2
3
C.x
4
D.x
（二）填空题
-31_21
61253（2宀（万）
7•计算（［迈5-力25）+返5=.
—12一2
8•右a+a=3，贝Ua+a=
（三）解答题
2x
10.右a
■2-1,求
3x2x
aa
axa」
的值.
1.3指数函数
（一）
（一）选择题（每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的）
1.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分
裂一次.现在将一个该细胞放入一个容器,裂到充满容器一半时需要的天数是（
A.
2.
A.
3.
A.
4.
A.
发现经过
）
5B.9
下列函数中为指数函数的是（
y=23xB.y=-3x
若0.2m=3，则（）
m>0B.mv0
函数f（x）=ax+1（其中a>0且a^（0,1）
B.（0,2）
10天就可充满整个容器，则当细胞分
C.6
D.8
—x
C.y=3
D.y=1x
C.m=0
D.以上答案都不对
杲一定经过点（
）
C.（0,3）
D.（1,3）
（二）填空题
5.若函数
f（x）是指数函数且f（3）=8,则f（x）=
6.函数y
=1-2x的定义域为
7.函数y=2x-1的图象一定不经过第
象限；若函数
y=（丄广b的图象不经过
2
第一象限，则实数b的取值范围是
&若2m>4，则m的取值范围是1，则t的取值范围是
9•指数函数y=（a2—1）x在R上是减函数，则实数a的取值范围是
（三）解答题10•根据函数f（x）=2x的图象，画出下列函数的草图.
xxIxI
（1）y=—2
（2）y=—2+1（3）y=2
i
11.求函数y=2x1的定义域和值域.
12.已知a>0且a^1,函数fqx）=a
x2-3x：
；1
2
f2（x）=ax
:
；；2x_5
，若f1（X）Vf2（X）,求x的取
值范围.
1.4指数函数
（二）
（一）选择题（每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的）
1.若Q）x27，则x的取值范围是（）
3
A.（—m,—3]B.（—m,—3）C.[—3,+^）D.R
—032一32一032
2.已知三个数M=0.32',P=0.32.,Q=3.2.，则它们的大小顺序是（）
B.
A.MvPvQ
3.如图是指数函数①
QvMvPC.PvQvMD.PvMvQ
y=ax,②y=bx,③y=C，④y=dx的图象，贝Ua,b,c,d与0
和1的大小关系是（）
A.0vavbv1vcvd
C.1vavbvcvd
4.函数y=2x—2—x（）
A.在R上减函数
B.在R上是增函数
B.0vbvav1vdvc
D.0vavbv1vdvc
C.在（—m,0）上是减函数，在（0,+m）上是增函数
D.无法判断其单调性
（2）填空题
5•函数y=3x□-2的图象是由函数y=3x的图象沿x轴向移单位，再
沿y轴向移单位得到的.
6.函数f（x）=3x+5的值域是
x1
7.函数y=a+1（其中a>0且a*1）的图象必经过点
1
&若指数函数y=ax在区间［0,1］上的最大值和最小值的差为一，则底数a=
2
2x2x
9.函数g（x）=x_x的单调增区间是函数y=2的单调增区间是
（3）解答题
10.函数f（x）是R上的奇函数，且当x>0时，f（x）=2x_1，求xv0时函数的解析式.
11.若关于x的方程丨2x_1|=a有两个解，借助图象求a的取值范围.
2xx+1
12.已知函数f（x）=2_2_3，其中x€[0,1],求f（x）的值域.
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